Óvalo (plano proyectivo)

A la definición de un óvalo: e: línea exterior (de paso), t: tangente, s: secante

En geometría proyectiva, un óvalo es un conjunto de puntos en un plano definido por propiedades de incidencia . Los ejemplos estándar son las cónicas no degeneradas . Sin embargo, una cónica solo se define en un plano de Pappia , mientras que un óvalo puede existir en cualquier tipo de plano proyectivo. En la literatura, existen muchos criterios que implican que un óvalo es una cónica, pero hay muchos ejemplos, tanto infinitos como finitos, de óvalos en planos de Pappia que no son cónicas.

Como ya se mencionó, en geometría proyectiva un óvalo se define por propiedades de incidencia, pero en otras áreas, los óvalos pueden definirse para satisfacer otros criterios, por ejemplo, en geometría diferencial por condiciones de diferenciabilidad en el plano real .

El análogo de mayor dimensión de un óvalo es un ovoide en un espacio proyectivo .

Una generalización del concepto de óvalo es el óvalo abstracto , una estructura que no necesariamente se encuentra en un plano proyectivo. De hecho, existen óvalos abstractos que no pueden estar en ningún plano proyectivo.

Definición de un óvalo

En un plano proyectivo, un conjunto $Ω$ de puntos se denomina óvalo si:

Cualquier línea $l$ intersecta $a Ω$ en como máximo dos puntos, y
Para cualquier punto $P \in Ω$ existe exactamente una línea tangente $t$ que pasa por $P$ , es decir, $t \cap Ω = {P$ }.

Cuando $| l \cap Ω | = 0$ la línea $l$ es una línea exterior (o pasante ), ^{[ 1 ]} si $| l \cap Ω | = 1$ una línea tangente y si $| l \cap Ω | = 2$ la línea es una línea secante .

Para planos finitos (es decir, el conjunto de puntos es finito) tenemos una caracterización más conveniente: ^{[ 2 ]}

Para un plano proyectivo finito de orden $n$ (es decir, cualquier línea contiene $n + 1$ puntos), un conjunto $Ω$ de puntos es un óvalo si y solo si $| Ω | = n + 1$ y no hay tres puntos colineales (en una línea común).

Un conjunto de puntos en un plano afín que satisface la definición anterior se denomina óvalo afín .

Un óvalo afín es siempre un óvalo proyectivo en la clausura proyectiva (añadiendo una línea en el infinito ) del plano afín subyacente.

Un óvalo también puede considerarse como un conjunto cuadrático especial . ^{[ 3 ]}

Ejemplos

Secciones cónicas

Cónica proyectiva en coordenadas no homogéneas: parábola más un punto en el infinito del eje.

Cónica proyectiva en coordenadas no homogéneas: hipérbola más puntos en el infinito de las asíntotas

En cualquier plano proyectivo de Papp existen secciones cónicas proyectivas no degeneradas, y toda sección cónica proyectiva no degenerada es un óvalo. Esta afirmación puede verificarse mediante un cálculo sencillo para cualquiera de las cónicas (como la parábola o la hipérbola ).

Las cónicas no degeneradas son óvalos con propiedades especiales:

El teorema de Pascal y sus diversas degeneraciones son válidos.
Existen muchas proyectividades que dejan un invariante cónico.

Óvalos que no son cónicos

en el plano real

Si se pegan suavemente la mitad de un círculo y la mitad de una elipse , se obtiene un óvalo no cónico.
Si se toma la representación no homogénea de un óvalo cónico como una parábola más un punto en el infinito y se reemplaza la expresión $x 2$ por $x 4$ , se obtiene un óvalo que no es una cónica.
Si se toma la representación no homogénea de un óvalo cónico como una hipérbola más dos puntos en el infinito y se reemplaza la expresión $⁠ 1 / x ⁠$ por $⁠$ $1$ $/$ $x$ $3$ $⁠$ , se obtiene un óvalo que no es una cónica.
La curva implícita $x⁴ + y⁴ = 1 es un$ óvalo no cónico.

en un plano finito de orden par

En un plano papiano finito de orden par, una cónica no degenerada tiene un núcleo (un único punto por el que pasa toda tangente), que puede intercambiarse con cualquier punto de la cónica para obtener un óvalo que no es una cónica.
Para el campo $K = GF(2 m)$ con $2 m$ elementos sea

\Omega =\{(x,y)\in K^{2}\;|y=x^{2^{k}}\;\}\;\cup \;\{(\infty )\}

Para

k \in {2,..., m - 1}

y

k

y

m

coprimos, el conjunto

Ω

es un óvalo que no es una cónica. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Aquí se pueden encontrar más ejemplos finitos: ^{[ 6 ]}

Criterios para que un óvalo sea una cónica

Para que un óvalo sea una cónica, el óvalo y/o el plano deben cumplir condiciones adicionales. Aquí hay algunos resultados:

Un óvalo en un plano proyectivo arbitrario que cumple la condición de incidencia del teorema de Pascal o su degeneración de 5 puntos es una cónica no degenerada. ^{[ 7 ]}
Si $Ω$ es un óvalo en un plano proyectivo de Papp y el grupo de proyectividades que dejan $Ω$ invariante es 3-transitivo, es decir, para 2 ternas $A 1, A 2, A 3; B 1, B 2, B 3$ de puntos existe una proyectividad $π$ tal que $π(A i) = B i, i = 1,2,3$ . En el caso finito , 2-transitivo es suficiente. ^{[ 8 ]}
Un óvalo $Ω$ en un plano proyectivo papiano de característica $\neq 2$ es una cónica si y solo si para cualquier punto $P$ de una tangente existe una perspectividad involutiva (simetría) con centro $P$ que deja $a Ω$ invariante. ^{[ 9 ]}
Si $Ω$ es un óvalo en un plano proyectivo finito de Desarguesian ^{[ 10 ]} (pappiano) de orden impar , $PG(2, q)$ , entonces $Ω$ es una cónica por el teorema de Segre ^{[ 11 ]} ) . Esto implica que, después de un posible cambio de coordenadas, todo óvalo de $PG(2, q)$ con $q$ impar tiene la parametrización :

\{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}.

Para los óvalos topológicos se cumple el siguiente criterio simple:

5. Cualquier óvalo cerrado del plano proyectivo complejo es una cónica. ^{[ 12 ]}

Resultados adicionales sobre óvalos en planos finitos

Un óvalo en un plano proyectivo finito de orden $q$ es un arco ( $q + 1, 2$ ) , es decir, un conjunto de $q$ $+ 1$ puntos, sin tres puntos colineales. Los óvalos en el plano proyectivo de Desargues (o Pappiano) $PG(2,$ $q$ $)$ para $q$ impar son simplemente las cónicas no singulares. Sin embargo, los óvalos en $PG(2,$ $q$ $)$ para $q$ par aún no han sido clasificados.

En un plano proyectivo finito arbitrario de orden impar $q , no existen conjuntos con más de$ $q + 1$ puntos , de los cuales no haya tres colineales, como señaló por primera vez Bose en un artículo de 1947 sobre aplicaciones de este tipo de matemáticas al diseño estadístico de experimentos. Además, según el teorema de Qvist , por cualquier punto que no esté en un óvalo pasan cero o dos líneas tangentes a dicho óvalo.

Cuando q es par, la situación es completamente diferente.

En este caso, conjuntos de $q + 2$ puntos, de los cuales no hay tres colineales, pueden existir en un plano proyectivo finito de orden $q$ y se denominan hiperóvalos ; estos son arcos máximos de grado 2.

Dado un óvalo, existe una tangente única que pasa por cada punto. Si $q$ es par, el teorema de Qvist ^{[ 13 ]} demuestra que todas estas tangentes son concurrentes en un punto $P$ fuera del óvalo. Al añadir este punto (llamado núcleo del óvalo o, a veces, nudo ) al óvalo, se obtiene un hiperóvalo. Por el contrario, al eliminar cualquier punto de un hiperóvalo, se obtiene inmediatamente un óvalo.

Como todos los óvalos en el caso de orden par están contenidos en hiperóvalos, una descripción de los hiperóvalos (conocidos) da implícitamente todos los óvalos (conocidos). Los óvalos obtenidos al eliminar un punto de un hiperóvalo son proyectivamente equivalentes si y solo si los puntos eliminados están en la misma órbita del grupo de automorfismos del hiperóvalo. Solo hay tres pequeños ejemplos (en los planos de Desarguesian) donde el grupo de automorfismos del hiperóvalo es transitivo en sus puntos ^{[ 14 ]} , por lo que, en general, hay diferentes tipos de óvalos contenidos en un solo hiperóvalo.

Caso desarguesiano: PG(2,2 ^h )

Este es el caso más estudiado y, por lo tanto, el que más se conoce sobre estos hiperóvalos.

Cada cónica no singular en el plano proyectivo, junto con su núcleo, forma un hiperóvalo. Estos pueden llamarse hipercónicos , pero el término más tradicional es hiperóvalos regulares . Para cada uno de estos conjuntos, existe un sistema de coordenadas tal que el conjunto es:

\{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}\cup \{(1,0,0)\}.

Sin embargo, se pueden encontrar muchos otros tipos de hiperóvalos de PG(2, q ) si q > 8. Los hiperóvalos de PG(2, q ) para q par solo se han clasificado para q < 64 hasta la fecha.

En PG(2,2 ^h ), h > 0, un hiperóvalo contiene al menos cuatro puntos, de los cuales no hay tres colineales. Por lo tanto, según el Teorema Fundamental de la Geometría Proyectiva, siempre podemos asumir que los puntos con coordenadas proyectivas (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) y (1,1,1) están contenidos en cualquier hiperóvalo. Los puntos restantes del hiperóvalo (cuando h > 1) tendrán la forma (t, f(t),1) donde t recorre los valores del campo finito GF(2 ^h ) y f es una función en ese campo que representa una permutación y puede expresarse de forma única como un polinomio de grado como máximo 2 ^h - 2, es decir, es un polinomio de permutación . Nótese que f(0) = 0 y f(1) = 1 están impuestos por la suposición relativa a la inclusión de los puntos especificados. Otras restricciones sobre f están impuestas por la condición de que no haya tres puntos colineales. Una función f que produce un hiperóvalo de esta manera se denomina o-polinomio . La siguiente tabla enumera todos los hiperóvalos conocidos (hasta 2011) de PG(2,2 ^h ), indicando el o-polinomio y las restricciones sobre el valor de h necesarias para que la función mostrada sea un o-polinomio. Nótese que todos los exponentes deben tomarse módulo (2 ^h - 1).

Hiperóvalos conocidos en PG(2,2 ^h )

^a) El polinomio o de Subiaco viene dado por: $f(t)={{d^{2}t^{4}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{3}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{2}+d^{2}t} \over {t^{4}+d^{2}t^{2}+1}}+t^{1/2},$ cuando sea $tr(1/d)=1{\hbox{ and }}d\not \in GF(4){\hbox{ if }}h\equiv 2({\bmod {4}})$ , donde tr es la función traza absoluta de GF(2 ^h ). Este o-polinomio da lugar a un hiperóvalo único si $h\not \equiv 2({\bmod {4}})$ y a dos hiperóvalos no equivalentes si $h\equiv 2({\bmod {4}}),h>2$ .

^b) Para describir los hiperóvalos de Adelaida, comenzaremos en un entorno un poco más general. Sea F = GF(q) y K = GF(q ² ) . Sea $b\in K$ ser un elemento de norma 1, diferente de 1, es decir b ^q+1 = 1, $b\neq 1$ . Consideremos el polinomio, para $t\in F$ ,

f(t) = ( tr (b)) ⁻¹tr (b ^m )(t + 1) + ( tr (b)) ⁻¹tr ((bt + b ^q ) ^m )(t + tr (b)t ^½ + 1) ^1−m + t ^½ ,

donde tr (x) = tr _K/F (x) = x + x ^q . Cuando q = 2 ^h , con h par y m = ±(q - 1)/3, la f(t) anterior es un o-polinomio para el hiperóvalo de Adelaida.

^c) El polinomio σ de Penttila-O'Keefe viene dado por:

f(t) = t ⁴ + t ¹⁶ + t ²⁸ + η ¹¹ (t ⁶ + t 10 ⁺ t ^{14 + t}¹⁸ + t ²² + t ²⁶ ) + η ²⁰ (t ⁸ + t ²⁰ ) + η ⁶ (t ¹² + t ²⁴ ),

donde η es una raíz primitiva de GF(32) que satisface η ⁵ = η ² + 1.

Hiperóvalos en PG(2, q), q par, q ≤ 64

Como los hiperóvalos en los planos de Desarguesian de órdenes 2, 4 y 8 son todos hipercónicos, solo examinaremos los planos de órdenes 16, 32 y 64.

PG(2,16)

En ( Lunelli y Sce 1958 ) se dan los detalles de una búsqueda computarizada de arcos completos en planos de orden pequeño realizada a sugerencia de B. Segre. En PG(2,16) encontraron varios hiperóvalos que no eran hipercónicos. En 1975, M. Hall Jr. demostró, ^{[ 15 ]} también con considerable ayuda de una computadora, que solo había dos clases de hiperóvalos proyectivamente no equivalentes en este plano, los hipercónicos y los hiperóvalos encontrados por Lunelli y Sce. De los 2040 o-polinomios que dan el hiperóvalo de Lunelli-Sce , mostramos solo uno:

f(x) = x ¹² + x ¹⁰ + η ¹¹ x ⁸ + x ⁶ + η ² x ⁴ + η ⁹ x ² ,

donde η es un elemento primitivo de GF(16) que satisface η ⁴ = η + 1.

En su artículo de 1975, Hall describió varias colineaciones del plano que estabilizaban el hiperóvalo de Lunelli-Sce, pero no demostró que generaran el grupo de automorfismos completo de este hiperóvalo. Payne y Conklin (1978), utilizando propiedades de un cuadrángulo generalizado relacionado , demostraron que el grupo de automorfismos no podía ser mayor que el grupo dado por Hall. Korchmáros (1978) proporcionó de forma independiente una demostración constructiva de este resultado y también demostró que, en los planos desarguesianos, el hiperóvalo de Lunelli-Sce es el único hiperóvalo irregular (no hipercónico) que admite un grupo de automorfismos transitivo (y que los únicos hipercónicos que admiten tal grupo son los de órdenes 2 y 4).

O'Keefe y Penttila (1991) reprobaron el resultado de clasificación de Hall sin el uso de una computadora. Su argumento consiste en encontrar una cota superior en el número de o-polinomios definidos sobre GF(16) y luego, al examinar los posibles grupos de automorfismos de hiperóvalos en este plano, demostrar que si existiera un hiperóvalo distinto de los conocidos en este plano, entonces se excedería la cota superior. Brown y Cherowitzo (2000) proporcionan una construcción teórica de grupos del hiperóvalo de Lunelli-Sce como la unión de órbitas del grupo generado por las elaciones de PGU(3,4) considerado como un subgrupo de PGL(3,16). También se incluye en este artículo una discusión de algunas propiedades notables relativas a las intersecciones de hiperóvalos de Lunelli-Sce e hipercónicos. En Cherowitzo et al. (1996) se demuestra que el hiperóvalo de Lunelli-Sce es el primer miembro no trivial de la familia Subiaco ^{[ 16 ]} En Cherowitzo, O'Keefe y Penttila (2003) se demuestra que es el primer miembro no trivial de la familia Adelaide.

PG(2,32)

Dado que h = 5 es impar, varias de las familias conocidas tienen un representante aquí, pero debido al pequeño tamaño del plano hay algunas equivalencias espurias, de hecho, cada uno de los hiperóvalos de tipo Glynn es proyectivamente equivalente a un hiperóvalo de traslación, y el hiperóvalo de Payne es proyectivamente equivalente al hiperóvalo de Subiaco (esto no ocurre en planos más grandes). Específicamente, hay tres clases de hiperóvalos (de tipo monomio), los hipercónicos (f(t) = t ² ), los hiperóvalos de traslación propia (f(t) = t ⁴ ) y los hiperóvalos de Segre (f(t) = t ⁶ ). ^{[ 17 ]} También hay clases correspondientes a los hiperóvalos de Payne y los hiperóvalos de Cherowitzo. ^{[ 18 ]} En O'Keefe, Penttila y Praeger (1991) se han determinado los grupos de colineación que estabilizan cada uno de estos hiperóvalos. Cabe señalar que, en la determinación original del grupo de colineación para los hiperóvalos de Payne, el caso de q = 32 tuvo que tratarse por separado y dependió en gran medida de resultados computacionales. En O'Keefe, Penttila y Praeger (1991) se presenta una versión alternativa de la demostración que no depende de cálculos computacionales.

En 1991, O'Keefe y Penttila descubrieron un nuevo hiperóvalo en este plano mediante una investigación detallada de las propiedades de divisibilidad de los órdenes de los grupos de automorfismos de hiperóvalos hipotéticos. ^{[ 19 ]} Uno de sus o-polinomios viene dado por:

f(x) = x ⁴ + x ¹⁶ + x ²⁸ + η ¹¹ (x ⁶ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁸ + x ²² + x ²⁶ ) + η ²⁰ (x ⁸ + x ²⁰ ) + η ⁶ (x ¹² + x ²⁴ ),

donde η es una raíz primitiva de GF(32) que satisface η ⁵ = η ² + 1. El grupo de automorfismos completo de este hiperóvalo tiene orden 3.

Penttila y Royle (1994) diseñaron ingeniosamente una búsqueda exhaustiva por computadora de todos los hiperóvalos en este plano. El resultado fue que la lista anterior está completa; solo hay seis clases de hiperóvalos en PG(2,32).

PG(2,64)

Al extender las ideas de O'Keefe y Penttila (1992) a PG(2,64), Penttila y Pinneri (1994) pudieron buscar hiperóvalos cuyo grupo de automorfismos admitiera una colineación de orden 5. Encontraron dos y demostraron que no existe ningún otro hiperóvalo en este plano que tenga tal automorfismo. Esto resolvió afirmativamente una pregunta abierta de larga data de B. Segre, quien quería saber si existían otros hiperóvalos en este plano además de las hipercónicas. Los hiperóvalos son:

f(x) = x ⁸ + x ¹² + x ²⁰ + x ²² + x ⁴² + x ⁵² + η ²¹ (x ⁴ +x ¹⁰ +x ¹⁴ +x ¹⁶ +x ³⁰ +x ³⁸ +x ⁴⁴ +x ⁴⁸ +x ⁵⁴ +x ⁵⁶ +x ⁵⁸ +x ⁶⁰ +x ⁶² ) + η ⁴² (x ² + x ⁶ + x ²⁶ + x ²⁸ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴⁰ ),

que tiene un grupo de automorfismos de orden 15, y

f(x) = x ²⁴ + x ³⁰ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁴ +x ⁸ +x ¹⁰ +x ¹⁴ +x ¹⁶ +x ³⁴ +x ³⁸ +x ⁴⁰ +x ⁴⁴ +x ⁴⁶ +x ⁵² +x ⁵⁴ +x ⁵⁸ +x ⁶⁰ ) + η ⁴² (x ⁶ + x ¹² + x ¹⁸ + x ²⁰ + x ²⁶ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴² + x ⁴⁸ +x ⁵⁰ ),

que tiene un grupo de automorfismos de orden 60, donde η es un elemento primitivo de GF(64) que satisface η ⁶ = η + 1. En Cherowitzo et al. (1996) se demuestra que estos son hiperóvalos de Subiaco. Al refinar el programa de búsqueda por computadora, Penttila y Royle (1994) extendieron la búsqueda a hiperóvalos que admiten un automorfismo de orden 3, y encontraron el hiperóvalo:

f(x) = x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁴ + x ³⁴ + x 42 + x 48 ⁺^x 62 ⁺ η ²¹ (x ⁶ +x ¹⁶ +x ²⁶ +x ²⁸ +x ³⁰ +x ³² +x ⁴⁰ +x ⁵⁸ ) + η ⁴² (x ¹⁰ + x ¹⁸ + x ²⁴ + x ³⁶ + x ⁴⁴ + x ⁵⁰ + x ⁵² + x ⁶⁰ ),

que posee un grupo de automorfismos de orden 12 (η es un elemento primitivo de GF(64) como se indicó anteriormente). Este hiperóvalo es el primer hiperóvalo de Adelaida distinto.

Penttila y Royle ^{[ 20 ]} demostraron que cualquier otro hiperóvalo en este plano tendría que tener un grupo de automorfismos trivial. Esto implicaría que habría muchas copias proyectivamente equivalentes de dicho hiperóvalo, pero las búsquedas generales realizadas hasta la fecha no han encontrado ninguna, lo que respalda la conjetura de que no existen otros en este plano.

óvalos abstractos

Siguiendo ( Bue1966 ), un óvalo abstracto , también llamado óvalo B , de orden $n$ es un par $(F,{\mathfrak {G}})$ dónde $F$ es un conjunto de $n+1$ elementos, llamados puntos, y ${\mathfrak {G}}$ es un conjunto de involuciones que actúan sobre $F$ de una manera marcadamente cuasi 2-transitiva, es decir, para cualesquiera dos $(a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})\in F$ con $a_{i}\neq b_{j}$ para $i,j\in \{1,2\}$ , existe exactamente uno $\sigma \in {\mathfrak {G}}$ con $\sigma (a_{1})=a_{2}$ y $\sigma (b_{1})=b_{2}$ . Cualquier óvalo incrustado en un plano proyectivo de orden $q$ podría estar dotado de una estructura de un óvalo abstracto del mismo orden. Lo contrario, en general, no es cierto para $n\geq 8$ ; de hecho, para $n=8$ Hay dos óvalos abstractos que no pueden estar incrustados en un plano proyectivo, véase ( Fa1984 ).

Cuando $n$ es par, una construcción similar produce hiperóvalos abstractos , véase ( Po1997 ): un hiperóvalo abstracto de orden $n$ es un par $(F,{\mathfrak {G}})$ dónde $F$ es un conjunto de $n+2$ elementos y ${\mathfrak {G}}$ es un conjunto de involuciones libres de punto fijo que actúan sobre $F$ de tal manera que para cualquier conjunto de cuatro elementos distintos $a,b,c,d\in F$ Hay exactamente uno $\sigma \in {\mathfrak {G}}$ con $\sigma (a)=b,\sigma (c)=d$ .

Véase también

Ovoide (geometría proyectiva)

Notas

↑ En la literatura inglesa, este término suele traducirse al francés en lugar de simplemente decirlo de pasada.
↑ Dembowski 1968 , pág. 147.
↑ Beutelspacher y Rosenbaum 1998 , pág. 144.
↑ B. Segre : Sui k-Archi nei Piani Finiti di Caracteristica Due , Re. Matemáticas. Pures Appl. 2 (1957) págs. 289–300.
↑ Dembowski 1968 , pág. 51.
↑ E. Hartmann: Geometrías circulares planas, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), pág. 45.
↑ F. Buekenhout: Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens , Arq. d. Matemáticas. vol. XVII, 1966, págs. 89-93.
↑ J. Tetas : Ovoides à Translations , Rend. Estera. 21 (1962), págs. 37–59.
↑ H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene , Abh. Matemáticas. Sem. Hamburgo 45 (1976), págs. 237-244.
↑ Todo plano pappiano es desarguesiano, y en el caso finito también se cumple lo contrario. Por lo tanto, para los planos finitos, cualquiera de los dos descriptores es válido, pero en la literatura especializada predomina el término "desarguesiano".
↑ Segre 1955 .
↑ Th. Buchanan: Ovale und Kegelschnitte in der komplexen projektiven Ebene , Math.-phys. Smesterberichte 26 (1979, págs. 244-260.
↑ Qvist 1952 .
↑ Korchmáros 1978 .
↑ Hall 1975 .
↑ Véase también Brown y Cherowitzo 2000 .
↑ En planos de orden menor, estos hiperóvalos no se distinguen de las hipercónicas. La prueba de su existencia dada en Segre y Bartocci (1971) utiliza polinomios linealizados .
↑ Para más detalles, véase Cherowitzo 1988 .
↑ O'Keefe y Penttila 1992 .
↑ Penttila y Royle 1995 .

Referencias

Beutelspacher, Albrecht ; Rosenbaum, Ute (1998), Geometría proyectiva / de los fundamentos a las aplicaciones , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
Buekenhout, F. (1966), "Études intrinsèque des ovales.", Rend. Estera. E Aplica. , 25 (5): 333– 393, SEÑOR 0218956
Brown, Julia MN; Cherowitzo, William E. (2000), "El hiperóvalo de Lunelli-Sce en PG(2,16)", J. Geom. , 69 ( 1– 2): 15– 36, doi : 10.1007/BF01237471 , MR 1800454
Cherowitzo, William (1988), "Hiperovales en planos desarguesianos de orden par", Ann. Discrete Math. , Annals of Discrete Mathematics, 37 : 87–94 , doi : 10.1016/s0167-5060(08)70228-0 , ISBN 978-0-444-70369-9, MR 0931308 {{citation}}: CS1 mantenimiento: parámetro de trabajo con ISBN ( enlace )
Cherowitzo, W. (1996), "Hiperovales en planos desarguesianos: una actualización", Discrete Math. , 155 ( 1– 3): 31– 38, doi : 10.1016/0012-365X(94)00367-R , MR 1401356
Cherowitzo, W. (1998), "bandadas α e hiperóvalos", Geom. Dedicata , 72 (3): 221– 246, doi : 10.1023/A:1005022808718 , SEÑOR 1647703
Cherowitzo, William E.; O'Keefe, Christine M .; Penttila, Tim (2003), "Una construcción unificada de geometrías finitas asociadas con q -clanes en característica 2", Adv. Geom. , 3 (1): 1–21 , doi : 10.1515/advg.2003.002 , MR 1956585
Cherowitzo, W.; Penttila, T.; Pinneri, I.; Royle, GF (1996), "Flocks and ovals", Geom. Dedicata , 60 (1): 17– 37, doi : 10.1007/BF00150865 , MR 1376478
Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
Faina, G. (1984), "Los óvalos B de orden q ≤8", J. Combin. Theory Ser. A , 36 (3): 307– 314, doi : 10.1016/0097-3165(84)90038-4 , MR 0744079
Glynn, David G. (1983), "Dos nuevas secuencias de óvalos en planos desarguesianos finitos de orden par", (Matemáticas combinatorias, X) Lecture Notes in Math. , vol. 1036, Berlín: Springer, pp. 217–229 , doi : 10.1007/BFb0071521 , MR 0731584
Hall, Marshall Jr. (1975), "Óvalos en el plano desarguesiano de orden 16 ", Ann. Mat. Pura Appl. (4) , 102 : 159–176 , doi : 10.1007/bf02410604 , MR 0358552
Hirschfeld, JWP (1998), Geometrías proyectivas sobre cuerpos finitos (2.ª ed.), Nueva York: The Clarendon Press Oxford University Press, pp. xiv+555, ISBN 0-19-850295-8, MR 1612570
Korchmáros, G. (1978), "Grupos de colineación transitivos en los puntos de un óvalo [ q+2 -arco ] de S _2,q para q par", Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena (en italiano e inglés), 27 (1): 89–105 (1979), MR 0551092
Korchmáros, G. (1991), "Resultados antiguos y nuevos sobre óvalos en planos proyectivos finitos", (Revisiones en combinatoria, 1991) London Math. Soc. Lecture Note Ser. , vol. 166, Cambridge: Cambridge Univ. Press, pp. 41–72 , MR 1161460
Lunelli, L.; Sce, M. (1958),k -archi completi nei piani proiettivi desarguesiani di rango 8 e 16(en italiano), Milán: Centro di Calcoli Numerici, Politecnico di Milano, p. 15, SEÑOR 0157276
O'Keefe, Christine M. ; Penttila, Tim (1992), "Un nuevo hiperóvalo en PG(2,32)", J. Geom. , 44 ( 1– 2): 117– 139, doi : 10.1007/BF01228288 , MR 1169414
O'Keefe, Christine M.; Penttila, Tim (1991), "Hiperovales en PG(2,16)", European Journal of Combinatorics , 12 (1): 51–59 , doi : 10.1016/s0195-6698(13)80007-8 , MR 1087648
O'Keefe, Christine M .; Penttila, Tim; Praeger, Cheryl E. (1991), "Estabilizadores de hiperóvalos en PG(2,32)", Avances en geometrías y diseños finitos, Chelwood Gate, 1990 , Nueva York: Oxford Univ. Press, pp. 337–351 , MR 1138755
Payne, Stanley E. (1985), "Una nueva familia infinita de cuadrángulos generalizados", Congressus Numerantium , 49 : 115–128 , MR 0830735
Payne, Stanley E.; Conklin, James E. (1978), "Un cuadrángulo generalizado inusual de orden dieciséis", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 24 (1): 50–74 , doi : 10.1016/0097-3165(78)90044-4 , MR 0462984
Penttila, Tim; Pinneri, Ivano (1994), "Hiperóvalos irregulares en PG(2,64)", J. Geom. , 51 ( 1– 2): 89– 100, doi : 10.1007/BF01226860 , MR 1298348
Penttila, Tim; Royle, Gordon F. (1994), "Clasificación de hiperóvalos en PG(2,32)", J. Geom. , 50 ( 1– 2): 151– 158, doi : 10.1007/BF01222672 , MR 1280636
Penttila, Tim; Royle, Gordon F. (1995), "Sobre hiperóvalos en planos proyectivos pequeños", J. Geom. , 54 ( 1– 2): 91– 104, doi : 10.1007/BF01222857 , MR 1358279
Polster, B. (1997), "Hiperóvalos abstractos y diseños de Hadamard", Australas. J. Combin. , 16 : 29– 33, MR 1477516
Qvist, B. (1952), "Algunas observaciones sobre curvas de segundo grado en un plano finito", Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A I. Math.-Phys. , 1952 (134): 27, MR 0054977
Segre, Beniamino (1955), "Óvalos en un plano proyectivo finito", Canadian Journal of Mathematics , 7 : 414–416 , doi : 10.4153/CJM-1955-045-x , ISSN 0008-414X , MR 0071034
Segre, Beniamino (1962), "Ovali e curve σ nei piani di Galois di caratteristica due.", Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Ciencia. Fis. Estera. Nat. (8) (en italiano), 32 : 785– 790, SEÑOR 0149361
Segre, B.; Bartocci, U. (1971), "Ovali ed altre curve nei piani di Galois di caratteristica due", Acta Arithmetica (en italiano), 18 : 423– 449, doi : 10.4064/aa-18-1-423-449 , MR 0295201

Enlaces externos

Página hiperoval de Bill Cherowitzo

[1] En la literatura inglesa, este término suele traducirse al francés en lugar de simplemente decirlo de pasada.

[FOOTNOTEDembowski1968147-2] Dembowski 1968 , pág. 147.

[FOOTNOTEBeutelspacherRosenbaum1998144-3] Beutelspacher y Rosenbaum 1998 , pág. 144.

[4] B. Segre : Sui k-Archi nei Piani Finiti di Caracteristica Due , Re. Matemáticas. Pures Appl. 2 (1957) págs. 289–300.

[FOOTNOTEDembowski196851-5] Dembowski 1968 , pág. 51.

[6] E. Hartmann: Geometrías circulares planas, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), pág. 45.

[7] F. Buekenhout: Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens , Arq. d. Matemáticas. vol. XVII, 1966, págs. 89-93.

[8] J. Tetas : Ovoides à Translations , Rend. Estera. 21 (1962), págs. 37–59.

[9] H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene , Abh. Matemáticas. Sem. Hamburgo 45 (1976), págs. 237-244.

[10] Todo plano pappiano es desarguesiano, y en el caso finito también se cumple lo contrario. Por lo tanto, para los planos finitos, cualquiera de los dos descriptores es válido, pero en la literatura especializada predomina el término "desarguesiano".

[FOOTNOTESegre1955-11] Segre 1955 .

[12] Th. Buchanan: Ovale und Kegelschnitte in der komplexen projektiven Ebene , Math.-phys. Smesterberichte 26 (1979, págs. 244-260.

[FOOTNOTEQvist1952-13] Qvist 1952 .

[FOOTNOTEKorchmáros1978-14] Korchmáros 1978 .

[FOOTNOTEHall1975-15] Hall 1975 .

[16] Véase también Brown y Cherowitzo 2000 .

[17] En planos de orden menor, estos hiperóvalos no se distinguen de las hipercónicas. La prueba de su existencia dada en Segre y Bartocci (1971) utiliza polinomios linealizados .

[18] Para más detalles, véase Cherowitzo 1988 .

[FOOTNOTEO'KeefePenttila1992-19] O'Keefe y Penttila 1992 .

[FOOTNOTEPenttilaRoyle1995-20] Penttila y Royle 1995 .

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