Hispanopedia WikiEn matemáticas , un conjunto IP es un conjunto de números naturales que contiene todas las sumas finitas de algún conjunto infinito .
Las sumas finitas de un conjunto D de números naturales son todos aquellos números que se pueden obtener sumando los elementos de algún subconjunto finito no vacío de D. El conjunto de todas las sumas finitas sobre D se suele denotar como FS( D ). De forma un poco más general, para una sucesión de números naturales ( nᵢ ) , se puede considerar el conjunto de sumas finitas FS(( nᵢ ) ), que consiste en las sumas de todas las subsecuencias de longitud finita de ( nᵢ ) .
Un conjunto A de números naturales es un conjunto IP si existe un conjunto infinito D tal que FS( D ) es un subconjunto de A . Equivalentemente, se puede exigir que A contenga todas las sumas finitas FS(( n i )) de una secuencia ( n i ).
Algunos autores dan una definición ligeramente diferente de conjuntos IP: requieren que FS( D ) sea igual a A en lugar de ser simplemente un subconjunto.
El término conjunto IP fue acuñado por Hillel Furstenberg y Benjamin Weiss [ 1 ] [ 2 ] para abreviar " paralelepípedo de dimensión infinita ". Casualmente , la abreviatura IP también puede expandirse a " idempotente " [ 3 ] (un conjunto es un IP si y solo si es miembro de un ultrafiltro idempotente ).
Teorema de Hindman
Sies un conjunto de IP y, entonces al menos unoes un conjunto IP. Esto se conoce como el teorema de Hindman o el teorema de sumas finitas . [ 4 ] [ 5 ] En otras palabras, el teorema de Hindman establece que la clase de conjuntos IP es particionada regular .
Dado que el conjunto de los números naturales es en sí mismo un conjunto IP y las particiones también pueden verse como coloraciones, se puede reformular un caso especial del teorema de Hindman en términos más familiares: supongamos que los números naturales están "coloreados" con n colores diferentes; cada número natural obtiene uno y solo un color. Entonces existe un color c y un conjunto infinito D de números naturales, todos coloreados con c , tales que toda suma finita sobre D también tiene el color c .
El teorema de Hindman recibe su nombre del matemático Neil Hindman , quien lo demostró en 1974. [ 4 ] El teorema de Milliken-Taylor es una generalización común del teorema de Hindman y del teorema de Ramsey .
Semigrupos
La definición de ser IP se ha extendido desde subconjuntos del semigrupo especial de números naturales con adición a subconjuntos de semigrupos y semigrupos parciales en general. Una variante del teorema de Hindman es válida para semigrupos arbitrarios. [ 6 ] [ 7 ]
Véase también
Referencias
- ↑ Furstenberg, H. ; Weiss, B. (diciembre de 1978). "Dinámica topológica y teoría combinatoria de números" . Journal d'Analyse Mathématique . 34 : 61– 85. doi : 10.1007/BF02790008 . eISSN 1565-8538 . ISSN 0021-7670 .
- ↑ Furstenburg, Harry (1981). Recurrencia en la teoría ergódica y la teoría combinatoria de números . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 9781400855162OCLC 889248822
- ↑ Bergelson, V.; Leibman, A. (2016). "Conjuntos de valores grandes de funciones de correlación para configuraciones cúbicas polinomiales". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 38 (2). Cambridge University Press (publicado en abril de 2018): 499– 522. doi : 10.1017/etds.2016.49 . eISSN 1469-4417 . ISSN 0143-3857 . S2CID 31083478 .
- 1 2 Hindman, Neil (julio de 1974). "Sumas finitas a partir de secuencias dentro de celdas de una partición de N" . Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 17 (1): 1– 11. doi : 10.1016/0097-3165(74)90023-5 . eISSN 1096-0899 . hdl : 10338.dmlcz/127803 . ISSN 0097-3165 .
- ↑ Baumgartner, James E. (noviembre de 1974). "Una breve demostración del teorema de Hindman" . Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 17 (3): 384–386 . doi : 10.1016/0097-3165(74)90103-4 . eISSN 1096-0899 . ISSN 0097-3165 .
- ↑ Golan, Gili; Tsaban, Boaz (1 de diciembre de 2013). "Teorema de coloración de Hindman en semigrupos arbitrarios" . Journal of Algebra . 395. Academic Press : 111–120 . arXiv : 1303.3600 . doi : 10.1016 / j.jalgebra.2013.08.007 . eISSN 1090-266X . ISSN 0021-8693 . S2CID 11437903 .
- ↑ Hindman, Neil ; Strauss, Dona (1998). Álgebra en la compactificación de Stone-Čech: teoría y aplicaciones . Nueva York: Walter de Gruyter . doi : 10.1515/9783110809220 . ISBN 311015420XOCLC 39368501
Lecturas adicionales
- Bergelson, Vitaly ; Knutson, Inger J. Håland; McCutcheon, Randall (2005). "Aproximación diofántica simultánea y sistemas VIP". Acta Arithmetica . 116 (1). Instituto de Matemáticas de la Academia Polaca de Ciencias : 13–23 . doi : 10.4064/aa116-1-2 . eISSN 1730-6264 . ISSN 0065-1036 .
- Bergelson, Vitaly (2003). «Idempotentes mínimos y teoría ergódica de Ramsey». Temas de dinámica y teoría ergódica (PDF) . Serie de apuntes de clase de la Sociedad Matemática de Londres. Vol. 310. Cambridge: Cambridge University Press . págs. 8–39 .
- Bergelson, Vitaly ; Hindman, Neil (enero de 2001). "Las estructuras regulares de partición contenidas en conjuntos grandes son abundantes" (PDF) . Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 93 (1): 18–36 . doi : 10.1006/jcta.2000.3061 . eISSN 1096-0899 . ISSN 0097-3165 . Recuperado el 18 de septiembre de 2022 .
- McLeod, Jillian (verano de 2000). "Algunas nociones de tamaño en semigrupos parciales". Actas de Topología . 25. North Bay, Ontario: Universidad de Nipissing : 317–332 . eISSN 2331-1290 . ISSN 0146-4124 .
- teoría de semigrupos
- Teoría ergódica
- teoría de Ramsey