isomorfismo musical

Supongamos que { e _i } es un marco tangente móvil (véase también marco suave ) para el fibrado tangente T M con, como marco dual (véase también base dual ), el comarco móvil (un marco tangente móvil para el fibrado cotangente)${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$; véase también coframe ) { e ⁱ } . Entonces, la métrica pseudoriemanniana , que es un campo tensorial 2-covariante , puede escribirse localmente en este coframe como g = g _ij e ⁱ ⊗ e ^j usando la notación de suma de Einstein .

Dado un campo vectorial X = X ⁱ e _i y denotando g _ij X ⁱ = X _j , su plano es

${\displaystyle X^{\flat }=g_{ij}X^{i}\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\mathbf {e} ^{j}}$.

Esto se conoce como bajar un índice, porque los componentes de X se escriben con un índice superior Xi ^, mientras que los componentes de${\displaystyle X^{\flat }}$se escriben con un índice inferior X _j .

De la misma manera, dado un campo covectorial ω = ω _i e ⁱ y denotando g ^ij ω _i = ω ^j , su agudo es

${\displaystyle \omega ^{\sharp }=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j}}$,

donde g ^ij son los componentes del tensor métrico inverso (dado por las entradas de la matriz inversa de g _ij ). Tomar el valor agudo de un campo de covectores se denomina elevar un índice .

Los isomorfismos musicales también pueden extenderse, para cada r , s , k , a un isomorfismo entre el fibrado.

${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{s}{\rm {T}}M\otimes \bigotimes _{j=1}^{r}{\rm {T}}^{*}M}$

de${\displaystyle (r,s)}$tensores y el haz de${\displaystyle (rk,s+k)}$tensores. Aquí k puede ser positivo o negativo, siempre que r - k ≥ 0 y s + k ≥ 0 .

Reducir un índice de un${\displaystyle (r,s)}$tensor da un${\displaystyle (r-1,s+1)}$tensor, mientras que elevar un índice da un${\displaystyle (r+1,s-1)}$Debe indicarse qué índice debe subirse o bajarse.

Por ejemplo, consideremos el tensor (0, 2) X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^j . Elevando el segundo índice, obtenemos el tensor (1, 1)

${\displaystyle X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.}$

En otras palabras, los componentes${\displaystyle X_{i}^{k}}$de${\displaystyle X^{\sharp }}$son dados por

${\displaystyle X_{i}^{k}=g^{jk}X_{ij}.}$

Existen fórmulas similares para tensores de otros órdenes. Por ejemplo, para un${\displaystyle (0,n)}$tensor X , todos los índices se elevan en: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle X^{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}=g^{j_{1}i_{1}}g^{j_{2}i_{2}}\cdots g^{j_{n}i_{n}}X_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}.}$

Para un${\displaystyle (n,0)}$tensor X , todos los índices se reducen en:

${\displaystyle X_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}=g_{j_{1}i_{1}}g_{j_{2}i_{2}}\cdots g_{j_{n}i_{n}}X^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}.}$

Para un tensor mixto de orden${\displaystyle (n,m)}$, todos los índices inferiores se elevan y todos los índices superiores se reducen en

${\displaystyle {X_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}}^{q_{1}q_{2}\cdots q_{m}}=g_{p_{1}i_{1}}g_{p_{2}i_{2}}\cdots g_{p_{n}i_{n}}g^{q_{1}j_{1}}g^{q_{2}j_{2}}\cdots g^{q_{m}j_{m}}{X^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{m}}.}$

Las expresiones bien formuladas están restringidas por las reglas de la notación de suma de Einstein: cualquier índice puede aparecer como máximo dos veces y, además, un índice elevado debe contraerse con un índice disminuido. Con estas reglas podemos ver inmediatamente que una expresión como${\displaystyle g_{ij}v^{i}u^{j}}$ está bien formulado mientras${\displaystyle g_{ij}v_{i}u_{j}}$no lo es.

En el contexto del álgebra exterior , se puede definir una extensión de los operadores musicales en ⋀ V y su dual ⋀ V ^* , y son nuevamente inversos mutuos: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \flat$ :\bigwedge _{i=1}^{k}V\to \bigwedge _{i=1}^{k}V^{*},}

${\displaystyle \sharp$ :\bigwedge _{i=1}^{k}V^{*}\to \bigwedge _{i=1}^{k}V,}

definido por

${\displaystyle (X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },}$

${\displaystyle (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.}$

En esta extensión, en la que ♭ asigna k -vectores a k- covectores y ♯ asigna k -covectores a k- vectores, todos los índices de un tensor totalmente antisimétrico se elevan o descienden simultáneamente, por lo que no es necesario indicar ningún índice: $${\displaystyle Y^{\sharp }=(Y_{i_{1}\dots i_{j}}\mathbf {e} ^{i_{1}}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{i_{j}})^{\sharp }=g^{i_{1}r_{1}}\dots g^{i_{j}r_{s}}\,Y_{i_{1}\dots i_{k}}\,\mathbf {e} _{r_{1}}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{r_{s}}.}$$

Esto funciona no solo para k -vectores en el contexto del álgebra lineal, sino también para k -formas en el contexto de una variedad (pseudo)riemanniana:

${\displaystyle \flat$ :\bigwedge _{i=1}^{k}{\rm {T}}M\to \bigwedge _{i=1}^{k}{\rm {T}}^{*}M,}

${\displaystyle \sharp$ :\bigwedge _{i=1}^{k}{\rm {T}}^{*}M\to \bigwedge _{i=1}^{k}{\rm {T}}M,}

En términos más generales, siempre existen isomorfismos musicales entre un fibrado vectorial dotado de una métrica de fibrado y su dual.

La posición covariante 4 viene dada por

${\displaystyle X_{\mu }=(-ct,x,y,z)}$

con componentes:

${\displaystyle X_{0}=-ct,\quad X_{1}=x,\quad X_{2}=y,\quad X_{3}=z}$

(donde x , y , z son las coordenadas cartesianas usuales ) y el tensor métrico de Minkowski con signatura métrica (− + + +) se define como

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

en componentes:

${\displaystyle \eta _{00}=-1,\quad \eta _{i0}=\eta _{0i}=0,\quad \eta _{ij}=\delta _{ij}\,(i,j\neq 0).}$

Para elevar el índice, multiplique por el tensor y contraiga:

${\displaystyle X^{\lambda }=\eta ^{\lambda \mu }X_{\mu }=\eta ^{\lambda 0}X_{0}+\eta ^{\lambda i}X_{i}}$

entonces para λ = 0 :

${\displaystyle X^{0}=\eta ^{00}X_{0}+\eta ^{0i}X_{i}=-X_{0}}$

y para λ = j = 1, 2, 3 :

${\displaystyle X^{j}=\eta ^{j0}X_{0}+\eta ^{ji}X_{i}=\delta ^{ji}X_{i}=X_{j}\,.}$

Por lo tanto, la contravariante de 4 posiciones con índice elevado es:

${\displaystyle X^{\mu }=(ct,x,y,z)\,.}$

Esta operación es equivalente a la multiplicación de matrices.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

Dados dos vectores,${\displaystyle X^{\mu }}$y${\displaystyle Y^{\mu }}$Podemos escribir su (pseudo)producto interno de dos maneras:

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }X^{\mu }Y^{\nu }.}$

Bajando los índices, podemos escribir esta expresión como

${\displaystyle X_{\mu }Y^{\mu }.}$

En notación matricial, la primera expresión se puede escribir como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}}$

mientras que el segundo es, después de bajar los índices de${\displaystyle X^{\mu }}$,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}.}$

Para un tensor (0,2), ^{[ 3 ]} contraer dos veces con el tensor métrico inverso y contraer en diferentes índices eleva cada índice:

${\displaystyle A^{\mu \nu }=g^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }A_{\rho \sigma }.}$

De manera similar, al contraer dos veces con el tensor métrico y al contraer en diferentes índices, cada índice disminuye:

${\displaystyle A_{\mu \nu }=g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }A^{\rho \sigma }}$

Apliquemos esto a la teoría del electromagnetismo.

El tensor electromagnético contravariante en la signatura (+ − − −) viene dado por ^{[ 5 ].}

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

En componentes,

${\displaystyle F^{0i}=-F^{i0}=-{\frac {E^{i}}{c}},\quad F^{ij}=-\varepsilon ^{ijk}B_{k}}$

Para obtener el tensor covariante F _αβ , contraiga con el tensor métrico inverso:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\eta _{\alpha \gamma }\eta _{\beta \delta }F^{\gamma \delta }\\&=\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta 0}F^{00}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}F^{i0}+\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}F^{0i}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}\end{aligned}}}$

y dado que F ⁰⁰ = 0 y F ^{0 i} = − F ^{i 0} , esto se reduce a

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left(\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}-\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}\right)F^{i0}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}}$

Ahora, para α = 0 , β = k = 1, 2, 3 :

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0k}&=\left(\eta _{0i}\eta _{k0}-\eta _{00}\eta _{ki}\right)F^{i0}+\eta _{0i}\eta _{kj}F^{ij}\\&={\bigl (}0-(-\delta _{ki}){\bigr )}F^{i0}+0\\&=F^{k0}=-F^{0k}\\\end{aligned}}}$

y por antisimetría, para α = k = 1, 2, 3 , β = 0 :

${\displaystyle F_{k0}=-F^{k0}}$

y finalmente para α = k = 1, 2, 3 , β = l = 1, 2, 3 ;

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{kl}&=\left(\eta _{ki}\eta _{l0}-\eta _{k0}\eta _{li}\right)F^{i0}+\eta _{ki}\eta _{lj}F^{ij}\\&=0+\delta _{ki}\delta _{lj}F^{ij}\\&=F^{kl}\\\end{aligned}}}$

El tensor (covariante) de índice inferior es entonces:

${\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

Esta operación es equivalente a la multiplicación de matrices.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$