Dualidad (matemáticas)

Una dualidad simple surge al considerar subconjuntos de un conjunto fijo S. A cualquier subconjunto A ⊆ S , el complemento A ^∁ (también denotado como S \ A ) consiste en todos aquellos elementos de S que no están contenidos en A. Es nuevamente un subconjunto de S. Tomar el complemento tiene las siguientes propiedades:

• Aplicarlo dos veces devuelve el conjunto original, es decir, ( A ^∁ ) ^∁ = A . A esto se le llama decir que la operación de tomar el complemento es una involución .
• Una inclusión de conjuntos A ⊆ B se convierte en una inclusión en la dirección opuesta B ^∁ ⊆ A ^∁ .
• Dados dos subconjuntos A y B de S , A está contenido en B ^∁ si y solo si B está contenido en A ^∁ .

Esta dualidad aparece en topología como una dualidad entre subconjuntos abiertos y cerrados de un espacio topológico fijo X : un subconjunto U de X es cerrado si y solo si su complemento en X es abierto. Debido a esto, muchos teoremas sobre conjuntos cerrados son duales a teoremas sobre conjuntos abiertos. Por ejemplo, cualquier unión de conjuntos abiertos es abierta, por lo que, dualmente, cualquier intersección de conjuntos cerrados es cerrada. ^{[ 6 ]} El interior de un conjunto es el mayor conjunto abierto contenido en él, y la clausura del conjunto es el menor conjunto cerrado que lo contiene. Debido a la dualidad, el complemento del interior de cualquier conjunto U es igual a la clausura del complemento de U.

La construcción del cono dual proporciona una dualidad en geometría . Dado un conjunto${\displaystyle C}$de puntos en el plano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(o más generalmente puntos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), el cono dual se define como el conjunto${\displaystyle C^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$que consta de esos puntos${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$satisfactorio $${\displaystyle x_{1}c_{1}+x_{2}c_{2}\geq 0}$$ para todos los puntos${\displaystyle (c_{1},c_{2})}$en${\displaystyle C}$, como se ilustra en el diagrama. A diferencia del complemento de conjuntos mencionado anteriormente, no es cierto en general que aplicar la construcción de doble cono dos veces devuelva el conjunto original.${\displaystyle C}$. En cambio,${\displaystyle C^{**}}$es el cono más pequeño ^{[ 7 ]} que contiene${\displaystyle C}$que puede ser más grande que${\displaystyle C}$. Por lo tanto, esta dualidad es más débil que la anterior, en el sentido de que

• Aplicar la operación dos veces devuelve un conjunto posiblemente mayor: para todo${\displaystyle C}$,${\displaystyle C}$está contenido en${\displaystyle C^{**}}$. (Para algunos${\displaystyle C}$(es decir, los conos, ambos son en realidad iguales).

Las otras dos propiedades se mantienen sin cambios:

• Sigue siendo cierto que una inclusión${\displaystyle C\subsetequ D}$se convierte en una inclusión en la dirección opuesta (${\displaystyle D^{*}\subseteteq C^{*}}$).
• Dados dos subconjuntos${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$del avión,${\displaystyle C}$está contenido en${\displaystyle D^{*}}$si y solo si${\displaystyle D}$está contenido en${\displaystyle C^{*}}$.

Un ejemplo muy importante de dualidad surge en el álgebra lineal al asociar a cualquier espacio vectorial V su espacio vectorial dual V ^* . Sus elementos son los funcionales lineales.${\displaystyle \varphi :V\a K}$, donde K es el campo sobre el cual V está definido. Las tres propiedades del cono dual se extienden a este tipo de dualidad reemplazando subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$mediante el espacio vectorial y las inclusiones de dichos subconjuntos mediante aplicaciones lineales. Es decir:

• Al aplicar la operación de tomar el espacio vectorial dual dos veces, se obtiene otro espacio vectorial V ^** . Siempre existe una aplicación V → V ^** . Para algún V , concretamente los espacios vectoriales de dimensión finita , esta aplicación es un isomorfismo .
• Una aplicación lineal V → W da lugar a una aplicación en la dirección opuesta ( W ^* → V ^* ).
• Dados dos espacios vectoriales V y W , las aplicaciones de V a W ^* corresponden a las aplicaciones de W a V ^* .

Una característica particular de esta dualidad es que V y V ^* son isomorfos para ciertos objetos, concretamente espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, esto es, en cierto modo, una afortunada coincidencia, ya que para que exista tal isomorfismo se requiere una elección específica, por ejemplo, la elección de una base de V. Esto también se cumple si V es un espacio de Hilbert , según el teorema de representación de Riesz .

En todas las dualidades analizadas anteriormente, el dual de un objeto es del mismo tipo que el objeto mismo. Por ejemplo, el dual de un espacio vectorial es, de nuevo, un espacio vectorial. Muchas afirmaciones de dualidad no son de este tipo. En cambio, dichas dualidades revelan una estrecha relación entre objetos de naturaleza aparentemente diferente. Un ejemplo de una dualidad más general proviene de la teoría de Galois . Para una extensión de Galois fija K / F , se puede asociar el grupo de Galois Gal( K / E ) a cualquier cuerpo intermedio E (es decir, F ⊆ E ⊆ K ). Este grupo es un subgrupo del grupo de Galois G = Gal( K / F ) . Recíprocamente, a cualquier subgrupo H ⊆ G le corresponde el cuerpo fijo K ^H, que consta de elementos fijados por los elementos de H .

En comparación con lo anterior, esta dualidad presenta las siguientes características:

• Una extensión F ⊆ F ′ de campos intermedios da lugar a una inclusión de grupos de Galois en la dirección opuesta: Gal( K / F ′ ) ⊆ Gal( K / F ) .
• Asociar Gal( K / E ) a E y K ^H a H son operaciones inversas entre sí. Este es el contenido del teorema fundamental de la teoría de Galois .

La construcción del espacio vectorial dual $${\displaystyle V^{*}=\operatorname {Hom} (V,K)}$$ El ejemplo de esta dualidad mencionado en la introducción ilustra esta idea. En efecto, el conjunto de morfismos, es decir, las aplicaciones lineales , constituye un espacio vectorial por derecho propio. La aplicación V → V ^** mencionada anteriormente es siempre inyectiva. Es sobreyectiva, y por lo tanto un isomorfismo, si y solo si la dimensión de V es finita. Este hecho caracteriza a los espacios vectoriales de dimensión finita sin necesidad de una base.

Dualidad en geometría proyectiva

En algunos planos proyectivos , es posible encontrar transformaciones geométricas que mapean cada punto del plano proyectivo a una línea, y cada línea del plano proyectivo a un punto, de manera que se conserve la incidencia. ^{[ 10 ]} Para tales planos surge un principio general de dualidad en planos proyectivos : dado cualquier teorema en geometría proyectiva de dicho plano, intercambiar los términos "punto" y "línea" en todas partes da como resultado un nuevo teorema, igualmente válido. ^{[ 11 ]} Un ejemplo simple es que la afirmación "dos puntos determinan una única línea, la línea que pasa por estos puntos" tiene la afirmación dual de que "dos líneas determinan un único punto, el punto de intersección de estas dos líneas". Para más ejemplos, véase Teoremas duales .

El espacio vectorial dual ofrece una explicación conceptual de este fenómeno en algunos planos (en particular, planos de campo). De hecho, los puntos en el plano proyectivo${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$corresponden a espacios de subvectores unidimensionales${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$^{[ 12 ]} mientras que las líneas en el plano proyectivo corresponden a subespacios vectoriales${\displaystyle W}$de dimensión 2. La dualidad en tales geometrías proyectivas proviene de asignar a una dimensión unidimensional${\displaystyle V}$el subespacio de${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$que consisten en esos mapas lineales${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$que satisfacen${\displaystyle f(V)=0}$. Como consecuencia de la fórmula de dimensión del álgebra lineal , este espacio es bidimensional, es decir, corresponde a una línea en el plano proyectivo asociado a${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$.

La forma bilineal (definida positiva) $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$$ :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i}} produce una identificación de este plano proyectivo con el${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$. Concretamente, la dualidad asigna a${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$su ortogonal${\displaystyle \left\{w\in \mathbb {R} ^{3},\langle v,w\rangle =0{\text{ para todo }}v\in V\right\}}$Las fórmulas explícitas de dualidad en geometría proyectiva surgen mediante esta identificación.

En el ámbito de los espacios vectoriales topológicos , existe una construcción similar, reemplazando el dual por el espacio vectorial dual topológico . Existen varias nociones de espacio dual topológico, y cada una de ellas da lugar a un concepto determinado de dualidad. Un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$que es canónicamente isomorfo a su bidual${\displaystyle X''}$se denomina espacio reflexivo : $${\displaystyle X\cong X''.}$$

Ejemplos:

• Al igual que en el caso de dimensión finita, en cada espacio de Hilbert H su producto interno ⟨⋅, ⋅⟩ define una aplicación$${\displaystyle H\to H^{*},v\mapsto (w\mapsto \langle w,v\rangle ),}$$que es una biyección debido al teorema de representación de Riesz . Como corolario, todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach reflexivo .
• El espacio normado dual de un espacio L ^p es L ^q donde 1/ p + 1/ q = 1 siempre que 1 ≤ p < ∞ , pero el dual de L ^∞ es mayor que L ¹ . Por lo tanto, L ¹ no es reflexivo.
• Las distribuciones son funcionales lineales en espacios de funciones apropiados. Son un medio técnico importante en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales (EDP): en lugar de resolver una EDP directamente, puede ser más fácil resolver primero la EDP en el "sentido débil", es decir, encontrar una distribución que satisfaga la EDP y, segundo, demostrar que la solución debe ser, de hecho, una función. ^{[ 13 ]} Todos los espacios estándar de distribuciones —${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$,${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$,${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)'}$— son espacios localmente convexos reflexivos. ^{[ 14 ]}

La red dual de una red L viene dada por $${\displaystyle \operatorname {Hom} (L,\mathbb {Z} ),}$$ el conjunto de funciones lineales en el espacio vectorial real que contiene la red que asignan los puntos de la red a los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Esto se utiliza en la construcción de variedades tóricas . ^{[ 15 ]} El dual de Pontryagin de grupos topológicos localmente compactos G viene dado por $${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,S^{1}),}$$Homomorfismos de grupo continuos con valores en el círculo (con la multiplicación de números complejos como operación de grupo).

En otro grupo de dualidades, los objetos de una teoría se traducen en objetos de otra teoría y las aplicaciones entre objetos de la primera teoría se traducen en morfismos de la segunda teoría, pero con la dirección invertida. Utilizando la terminología de la teoría de categorías , esto equivale a un functor contravariante entre dos categorías C y D :

que para cualesquiera dos objetos X e Y de C da un mapa

Ese functor puede o no ser una equivalencia de categorías . Existen diversas situaciones en las que dicho functor es una equivalencia entre la categoría opuesta C ^op de C y D. Utilizando una dualidad de este tipo, cada enunciado en la primera teoría puede traducirse en un enunciado "dual" en la segunda teoría, donde la dirección de todas las flechas debe invertirse. ^{[ 16 ]} Por lo tanto, cualquier dualidad entre las categorías C y D es formalmente lo mismo que una equivalencia entre C y D ^op ( C ^op y D ). Sin embargo, en muchas circunstancias las categorías opuestas no tienen un significado inherente, lo que convierte a la dualidad en un concepto adicional y separado. ^{[ 17 ]}

Una categoría que es equivalente a su dual se llama autodual . Un ejemplo de categoría autodual es la categoría de espacios de Hilbert . ^{[ 18 ]}

Muchas nociones de la teoría de categorías vienen en pares en el sentido de que se corresponden entre sí al considerar la categoría opuesta. Por ejemplo, los productos cartesianos Y ₁ × Y ₂ y las uniones disjuntas Y ₁ ⊔ Y ₂ de conjuntos son duales entre sí en el sentido de que

y

para cualquier conjunto X. Este es un caso particular de un fenómeno de dualidad más general, bajo el cual los límites en una categoría C corresponden a colímites en la categoría opuesta C ^op ; otros ejemplos concretos de esto son epimorfismos vs. monomorfismos , en particular módulos factoriales (o grupos, etc.) vs. submódulos , productos directos vs. sumas directas (también llamados coproductos para enfatizar el aspecto de dualidad). Por lo tanto, en algunos casos, las demostraciones de ciertas afirmaciones pueden reducirse a la mitad, utilizando dicho fenómeno de dualidad. Otras nociones que muestran relación por dicha dualidad categórica son los módulos proyectivos e inyectivos en álgebra homológica , ^{[ 19 ]} fibraciones y cofibraciones en topología y más generalmente categorías modelo . ^{[ 20 ]}

Dos functores F : C → D y G : D → C son adjuntos si para todos los objetos c en C y d en D

de forma natural. En realidad, la correspondencia de límites y colímites es un ejemplo de adjuntos, ya que existe una adjunción.

entre el functor colímite que asigna a cualquier diagrama en C indexado por alguna categoría I su colímite y el functor diagonal que mapea cualquier objeto c de C al diagrama constante que tiene c en todos los lugares. De manera dual,

La dualidad de Gelfand es una dualidad entre las C*-álgebras conmutativas A y los espacios compactos de Hausdorff X, que es la misma: asigna a X el espacio de funciones continuas (que se anulan en el infinito) de X a C , los números complejos. Recíprocamente, el espacio X puede reconstruirse a partir de A como el espectro de A. Tanto la dualidad de Gelfand como la de Pontryagin pueden deducirse de una manera mayormente formal, basada en la teoría de categorías. ^{[ 21 ]}

De manera similar, existe una dualidad en geometría algebraica entre anillos conmutativos y esquemas afines : a cada anillo conmutativo A le corresponde un espectro afín, Spec A. Recíprocamente, dado un esquema afín S , se obtiene un anillo tomando secciones globales del haz de estructura O _S. Además, los homomorfismos de anillos están en correspondencia biunívoca con los morfismos de esquemas afines, por lo que existe una equivalencia.

(Anillos conmutativos) ^op ≅ (esquemas afines) ^{[ 22 ]}

Los esquemas afines son los bloques de construcción locales de los esquemas . Por lo tanto, el resultado anterior indica que la teoría local de esquemas es la misma que el álgebra conmutativa , el estudio de los anillos conmutativos.

La geometría no conmutativa se inspira en la dualidad de Gelfand y estudia las C*-álgebras no conmutativas como si fueran funciones en algún espacio imaginario. La dualidad de Tannaka-Krein es un análogo no conmutativo de la dualidad de Pontryagin. ^{[ 23 ]}

En varias situaciones, las dos categorías que son duales entre sí surgen en realidad de conjuntos parcialmente ordenados , es decir, existe alguna noción de que un objeto "es más pequeño" que otro. Una dualidad que respeta los ordenamientos en cuestión se conoce como conexión de Galois . Un ejemplo es la dualidad estándar en la teoría de Galois mencionada en la introducción: una extensión de cuerpo mayor corresponde —bajo la aplicación que asigna a cualquier extensión L ⊃ K (dentro de algún cuerpo mayor fijo Ω) el grupo de Galois Gal (Ω / L )— a un grupo menor. ^{[ 24 ]}

El conjunto de todos los subconjuntos abiertos de un espacio topológico X forma un álgebra de Heyting completa . Existe una dualidad, conocida como dualidad de Stone , que conecta los espacios sobrios con los lugares espaciales .

• El teorema de representación de Birkhoff relaciona las retículas distributivas y los órdenes parciales.

La dualidad de Pontryagin da una dualidad en la categoría de grupos abelianos localmente compactos : dado cualquier grupo G de este tipo , el grupo de caracteres

χ ( G ) = Hom ( G , S ¹ )

dado por homomorfismos de grupo continuos de G al grupo de círculos S ¹ puede dotarse de la topología compacta-abierta . La dualidad de Pontryagin establece que el grupo de caracteres es nuevamente localmente compacto abeliano y que

G ≅ χ ( χ ( G )). ^{[ 25 ]}

Además, los grupos discretos corresponden a grupos abelianos compactos ; los grupos finitos corresponden a grupos finitos. Por un lado, Pontryagin es un caso especial de la dualidad de Gelfand. Por otro lado, es la razón conceptual del análisis de Fourier (véase más adelante).

La dualidad de Poincaré de una variedad compleja compacta y lisa X viene dada por un emparejamiento de cohomología singular con coeficientes C (equivalentemente, cohomología de haces del haz constante C ).

H ⁱ (X) ⊗ H ^{2 n − i} (X) → C ,

donde n es la dimensión (compleja) de X. ^{[ 26} ] La dualidad ^de Poincaré también puede expresarse como una relación de homología singular y cohomología de De Rham , al afirmar que el mapa

${\displaystyle (\gamma ,\omega )\mapsto \int _{\gamma }\omega }$

(integrar una k -forma diferencial sobre un ciclo de (2 n  − k )-dimensiones reales) es un emparejamiento perfecto. 

La dualidad de Poincaré también invierte las dimensiones; corresponde al hecho de que, si una variedad topológica se representa como un complejo celular , entonces el dual del complejo (una generalización de mayor dimensión del dual de grafos planares) representa la misma variedad. En la dualidad de Poincaré, este homeomorfismo se refleja en un isomorfismo del grupo de homología k - ésimo y el grupo de cohomología ( n - k ) .  

El mismo patrón de dualidad se cumple para una variedad proyectiva suave sobre un cuerpo separadoramente cerrado , utilizando en su lugar la cohomología l-ádica con coeficientes Q _{ℓ .} ^{[ 27 ]} Esto se generaliza aún más a variedades posiblemente singulares , utilizando en su lugar la cohomología de intersección , una dualidad llamada dualidad de Verdier . ^{[ 28 ]} La dualidad de Serre o dualidad coherente son similares a las afirmaciones anteriores, pero se aplican a la cohomología de haces coherentes . ^{[ 29 ]}

Con un nivel de generalidad cada vez mayor, resulta que una cantidad cada vez mayor de conocimientos técnicos es útil o necesaria para comprender estos teoremas: la formulación moderna de estas dualidades se puede realizar utilizando categorías derivadas y ciertos functores de imagen directos e inversos de haces (con respecto a la topología analítica clásica en variedades para la dualidad de Poincaré, haces l-ádicos y la topología étale en el segundo caso, y con respecto a haces coherentes para la dualidad coherente).

Otro grupo de enunciados de dualidad similares se encuentra en aritmética : la cohomología étale de cuerpos finitos , locales y globales (también conocida como cohomología de Galois , ya que la cohomología étale sobre un cuerpo es equivalente a la cohomología de grupo del grupo de Galois ( absoluto ) del cuerpo) admite emparejamientos similares. El grupo de Galois absoluto G ( F _q ) de un cuerpo finito, por ejemplo, es isomorfo a${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}}$, la completación profinita de Z , los enteros. Por lo tanto, el emparejamiento perfecto (para cualquier G -módulo M )

H ⁿ ( G , M ) × H ^{1− n} ( G , Hom ( M , Q / Z )) → Q / Z ^{[ 30 ]}

es una consecuencia directa de la dualidad de Pontryagin de grupos finitos. Para cuerpos locales y globales, existen enunciados similares ( dualidad local y dualidad global o de Poitou-Tate ). ^{[ 31 ]}

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