Matriz invertible

En álgebra lineal , una matriz invertible ( no singular , no degenerada o regular ) es una matriz cuadrada que tiene una inversa . En otras palabras, si una matriz es invertible, se puede multiplicar por su inversa para obtener la matriz identidad . Las matrices invertibles tienen el mismo tamaño que su inversa.

La inversa de una matriz representa la operación inversa, lo que significa que si se aplica una matriz a un vector determinado y, a continuación, se aplica la inversa de la matriz, el resultado es el vector original.

Definición

Una matriz cuadrada $A$ $de n$ x $n$ se denomina invertible si existe una matriz cuadrada $B$ $de n$ x $n$ tal que $\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _ {n},$ donde $In$ denota la matriz identidad $de$ $n$ × $n$ y la multiplicación utilizada es la multiplicación matricial ordinaria . ^[¹^] Si este es el caso, entonces la matriz $B$ está determinada unívocamente por $A$ , y se denomina inversa de $A$ , denotada por $A$ $-1$ . La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz que, al multiplicarse por la matriz original, da como resultado la matriz identidad. ^[²^]

Idea básica

Una matriz puede considerarse como una regla para transformar vectores. Por ejemplo, una matriz real $n\times n$ matriz $A$ define una transformación lineal

x\mapsto Ax

del conjunto $\mathbb {R} ^{n}$ de $n$ -tuplas de números reales a sí misma. La matriz es invertible cuando esta transformación puede deshacerse mediante otra transformación lineal. En ese caso, existe una matriz $A^{-1}$ de tal manera que aplicar $A$ y luego $A^{-1}$ o aplicando $A^{-1}$ y luego $A$ , devuelve cada vector a su punto de partida.

Geométricamente, una matriz invertible no reduce el espacio a un conjunto de menor dimensión. Envía vectores distintos a vectores distintos y alcanza a todos los vectores del espacio de destino. Para una matriz real, esto se refleja en su determinante: una matriz invertible tiene determinante distinto de cero, mientras que una matriz con determinante cero reduce el volumen a cero y no es invertible.

Algebraicamente, la invertibilidad significa que el sistema lineal

Ax=b

tiene una solución única $x$ para cada vector $b$ . De forma equivalente, las columnas de $A$ forman una base del espacio vectorial. Estas y otras caracterizaciones equivalentes se resumen en el teorema de la matriz invertible .

Ejemplos

Considere la siguiente matriz de 2x2:

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}

La matriz $\mathbf {A}$ es invertible, ya que tiene inversa $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}},$ lo cual puede confirmarse mediante computación

$\mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-1)\times 2+{\tfrac {3}{2}}\times 2&(-1)\times 3+{\tfrac {3}{2}}\times 2\\1\times 2+(-1)\times 2&1\times 3+(-1)\times 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {I} _{2}$

Para comprobar que es invertible sin encontrar una inversa, ${\textstyle \det \mathbf {A} =-{\frac {1}{2}}}$ se puede calcular, que es distinto de cero.

Por otro lado, esta es una matriz no invertible:

\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}2&4\\2&4\end{pmatrix}}

Esta matriz no es invertible, porque diferentes vectores $x$ y $x'$ tienen el mismo valor de $\mathbf {C} x$ , Por ejemplo, $x={\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}}$ y $x'={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$ ambos dan $\mathbf {C} x={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$ Por lo tanto, es imposible revertir la transformación. $x\mapsto \mathbf {C} x$ , ya que diferentes entradas producen la misma salida. El determinante de $\mathbf {C}$ es 0, lo cual es una condición necesaria y suficiente para que una matriz no sea invertible.

Criterios de invertibilidad

Una matriz $\mathbf {A}$ (sobre un campo como los números reales) es invertible si y solo si la única solución a la ecuación $\mathbf {A} x=0$ es el vector cero. Es decir, la nulidad de $\mathbf {A}$ es cero: su espacio nulo consiste únicamente en el vector cero. Equivalentemente, un $n\times n$ Una matriz es invertible si su rango es $n$ , por el teorema de rango-nulidad . Se dice que dicha matriz es de rango completo. Geométricamente, esto significa que el espacio columna de $\mathbf {A}$ es todo de $\mathbb {R} ^{n}$ . Las caracterizaciones de rango y nulidad se relacionan de la siguiente manera: tener rango completo significa que la matriz se mapea en todos los $\mathbb {R} ^{n}$ (sobreyectivamente), y tener nulidad cero significa que la matriz es inyectiva . Es decir, es una biyección y, por lo tanto, invertible.

Un criterio más computacional para la invertibilidad proviene del método estándar para determinar el rango y la nulidad de una matriz. Para una matriz cuadrada, esta es invertible si y solo si su forma escalonada reducida por filas es la matriz identidad. Esto se debe a que esta es la única matriz escalonada reducida por filas que tiene rango completo: todos los unos en la diagonal y ceros en el resto.

Otro criterio es que una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

Métodos de inversión de matrices

Existen muchos métodos para calcular la matriz inversa, cuando existe. Un método básico es utilizar la eliminación gaussiana , por ejemplo. Este método procede considerando la matriz inversa. $A^{-1}$ como producto de matrices elementales , $A^{-1}=E_{k}E_{k-1}\dots E_{1}$ donde el $E_{i}$ son las matrices elementales correspondientes a las operaciones elementales de fila necesarias para colocar $A$ en forma escalonada reducida por filas . Este método tiene la ventaja de que produce una forma escalonada reducida por filas independientemente de la invertibilidad, y por lo tanto proporciona un criterio para decidir si una matriz es invertible que suele ser más eficiente que calcular el determinante: la matriz es invertible si y solo si, al final del proceso, la forma escalonada es la matriz identidad en lugar de alguna matriz de menor rango.

Para convertir esto en un método práctico para determinarlo, se utiliza una matriz aumentada cuyo lado izquierdo es la matriz a invertir y cuyo lado derecho es la matriz identidad . Luego, se utiliza la eliminación gaussiana para convertir el lado izquierdo en la matriz identidad, lo que hace que el lado derecho se convierta en la inversa de la matriz de entrada.

Por ejemplo, considere la siguiente matriz: $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}$

El primer paso para calcular su inversa es crear la matriz aumentada. $\left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\1&-1&0&1\end{array}}\!\!\right)$

Llama a la primera fila de esta matriz $R_{1}$ y la segunda fila $R_{2}$ Luego, agregue la fila 1 a la fila 2. $(R_{1}+R_{2}\to R_{2}).$ Esto produce $\left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right)$

A continuación, resta la fila 2, multiplicada por 3, de la fila 1. $(R_{1}-3\,R_{2}\to R_{1}),$ lo cual produce $\left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&0&-2&-3\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right)$

Finalmente, multiplica la fila 1 por −1. $(-R_{1}\to R_{1})$ y fila 2 por 2 $(2\,R_{2}\to R_{2}).$ Esto produce la matriz identidad en el lado izquierdo y la matriz inversa en el lado derecho: $\left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}1&0&2&3\\0&1&2&2\end{array}}\!\!\right)$

De este modo, $\mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}$ Funciona porque el proceso de eliminación gaussiana puede verse como una secuencia de aplicación de multiplicación de matrices por la izquierda utilizando operaciones elementales de fila utilizando matrices elementales ( $\mathbf {E} _{n}$ ), como $\mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {A} =\mathbf {I}$

Aplicando la multiplicación por la derecha usando $\mathbf {A} ^{-1},$ obtenemos $\mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} =\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}.$ Y el lado derecho $\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1},$ que es lo contrario de lo que queremos.

Propiedades

Singularidad

Sobre un cuerpo , una matriz cuadrada que no es invertible se denomina singular o degenerada . Una matriz cuadrada con entradas en un cuerpo es singular si y solo si su determinante es cero.

Teorema de la matriz invertible

Sea $A$ una matriz cuadrada $n$ por $n$ sobre un cuerpo $K$ (por ejemplo, el cuerpo ⁠ $\mathbb {R}$ de números reales). Las siguientes afirmaciones son equivalentes, es decir, son todas verdaderas o todas falsas para cualquier matriz dada:^{[ 3 ]}

$A es invertible, es decir$ $,$ tiene una inversa bajo la multiplicación de matrices; es decir, existe una $matriz B$ tal que $AB = In = BA$ . (En esta afirmación, "invertible" puede sustituirse equivalentemente por "invertible por la izquierda" o "invertible por la derecha", considerando inversas unilaterales).
La transformación lineal que asigna $x$ a $Ax$ es invertible, es decir, tiene una inversa bajo la composición de funciones. (En este caso, "invertible" puede sustituirse indistintamente por "invertible por la izquierda" o "invertible por la derecha").
La transpuesta $A T$ es una matriz invertible.
$A$ es equivalente por filas a la matriz identidad $I$ $n$ de $n \times$ $n$ .
$A$ es equivalente por columnas a lamatriz identidad $I$ $n$ de $n \times$ $n$ .
$A$ tiene $n$ posiciones de pivote .
$A$ tiene rango completo : $rango A = n$ .
$A$ tiene un núcleo trivial : $ker(A) = {0}.$
La transformación lineal que asigna $x$ a $Ax$ es biyectiva; es decir, la ecuación $Ax = b$ tiene exactamente una solución para cada $b$ en $K n$ . (En este caso, "biyectiva" puede sustituirse equivalentemente por " inyectiva " o " sobreyectiva ").
Las columnas de $A$ forman una base de $K n$ . (En esta afirmación, "base" puede sustituirse equivalentemente por "conjunto linealmente independiente" o "conjunto generador").
Las filas de $A$ forman una base de $K n$ . (De manera similar, aquí, "base" puede reemplazarse equivalentemente por "conjunto linealmente independiente" o "conjunto generador").
El determinante de $A$ es distinto de cero: $det A \neq 0$ . En general, una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo es invertible si y solo si su determinante es una unidad (es decir, un elemento multiplicativamente invertible) de ese anillo.
El número 0 no es un valor propio de $A.$ (Más generalmente, un número $\lambda$ es un valor propio de $A$ si la matriz $\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I}$ es singular, donde $I$ es la matriz identidad.)
La matriz $A$ puede expresarse como un producto finito de matrices elementales .

Otras propiedades

Además, las siguientes propiedades se cumplen para una matriz invertible $A$ :

$(\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A}$
$(k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$ para un escalar $k distinto de cero$
$(\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}$ si $A$ tiene columnas ortonormales, donde $+$ denota la inversa de Moore-Penrose y $x$ es un vector
$(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }$
Para cualesquiera matrices invertibles $n$ x $n$ $A$ y $B$ , $(\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}.$ En términos más generales, si $\mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{k}$ son matrices invertibles $de n$ por $n , entonces$ $(\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\cdots \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}.$
$\det \mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{-1}.$
Las inversas izquierda y derecha son iguales. Es decir, si $\mathbf {LA} =\mathbf {I}$ y $\mathbf {AR} =\mathbf {I}$ entonces $\mathbf {L} =\mathbf {L} (\mathbf {AR} )=(\mathbf {LA} )\mathbf {R} =\mathbf {R}$ .

Las filas de la matriz inversa $V$ de una matriz $U$ son ortonormales a las columnas de $U$ (y viceversa, intercambiando filas por columnas). Para ver esto, supongamos que $UV = VU = I,$ donde las filas de $V$ se denotan como $v_{i}^{\mathrm {T} }$ y las columnas de $U$ como $u_{j}$ para $1\leq i,j\leq n.$ Entonces, claramente, el producto interno euclidiano de cualesquiera dos $v_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}=\delta _{i,j}.$ Esta propiedad también puede ser útil para construir la inversa de una matriz cuadrada en algunos casos, donde se conoce un conjunto de vectores ortogonales (pero no necesariamente ortonormales) a las columnas de $U.$ En tal caso, se puede aplicar el proceso iterativo de Gram-Schmidt a este conjunto inicial para determinar las filas de la inversa $V.$

Una matriz que es su propia inversa (es decir, una matriz $A$ tal que $A = A -1$ y, en consecuencia, $A 2 = I$ ) se denomina matriz involutiva .

En relación con su adjugado

La matriz adjunta de una matriz $A$ es una matriz $\operatorname {adj} (A)$ que existe independientemente de la invertibilidad de $A.$ Satisface la identidad $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )I.$ En particular, si $A$ es invertible, entonces

\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )

En relación con la matriz identidad

De la asociatividad de la multiplicación de matrices se deduce que si

\mathbf {AB} =\mathbf {I} \

para matrices cuadradas finitas $A$ y $B$ , entonces también

\mathbf {BA} =\mathbf {I} \

^{[ 4 ]}

Esta identidad no se cumple para matrices rectangulares no cuadradas, y no tiene por qué ser cierta para operadores lineales en dimensiones infinitas.

Densidad

Sobre el campo de los números reales, el conjunto de matrices singulares $n$ -por $-n$ , consideradas como un subconjunto de ⁠ $\mathbb {R} ^{n\times n},$ Es un conjunto nulo , es decir, tiene medida de Lebesgue cero. Esto se debe a que las matrices singulares son las raíces de la función determinante . Es una función continua porque es un polinomio en las entradas de la matriz. Por lo tanto, en el lenguaje de la teoría de la medida , casi todas las matrices $n$ × $n$ son invertibles.

Además, el conjunto de matrices invertibles $de n$ × $n$ es abierto y denso en el espacio topológico de todas las matrices $de n$ × $n$ . De forma equivalente, el conjunto de matrices singulares es cerrado y no es denso en ningún punto del espacio de matrices $de n$ × $n$ .

En la práctica, sin embargo, pueden encontrarse matrices no invertibles. En los cálculos numéricos , las matrices que son invertibles pero cercanas a una matriz no invertible aún pueden ser problemáticas y se dice que están mal condicionadas .

Derivada de la matriz inversa

Supongamos que la matriz invertible A depende de un parámetro t . Entonces, la derivada de la inversa de A con respecto a t viene dada por ^{[ 5 ].}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}

Para obtener la expresión anterior para la derivada de la inversa de A , se puede diferenciar la definición de la inversa de la matriz. $\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I}$ utilizando la regla del producto , y luego resolver para la derivada del inverso de A :

\mathbf {0} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1})}{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}

Restar $\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}$ desde ambos extremos de esta fórmula, y multiplicando por la derecha por $\mathbf {A} ^{-1}$ finaliza la derivación.

Si $\varepsilon$ Si es un número pequeño, entonces la fórmula de la derivada da:

\left(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\varepsilon \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-1}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\,

Dado un número entero positivo $n$ ,

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n}&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n-i},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-n}&=-\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-(n+1-i)}\end{aligned}}

En particular,

{\begin{aligned}(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{n}&=\mathbf {A} ^{n}+\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{n-i}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right),\\(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{-n}&=\mathbf {A} ^{-n}-\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-(n+1-i)}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right)\end{aligned}}

Generalizaciones

Matrices no cuadradas

Las matrices no cuadradas, es decir, las matrices de $m$ × $n$ para las que $m \neq n$ , no tienen inversa. Sin embargo, en algunos casos, dicha matriz puede tener una inversa izquierda o una inversa derecha . Si $A$ es de $m$ × $n$ y el rango de $A$ es igual a $n$ ( $n \leq m$ ), entonces $A$ tiene una inversa izquierda, una matriz $B de$ $n$ × $m$ tal que $BA$ $=$ $I$ $n$ . Si $A$ tiene rango $m$ ( $m$ $\leq$ $n$ ), entonces tiene una inversa derecha, una matriz $B$ $de n$ × $m$ tal que $AB$ $=$ $I$ $m$ .

Algunas de las propiedades de las matrices inversas son compartidas por las inversas generalizadas (como la inversa de Moore-Penrose ), que se pueden definir para cualquier matriz de m por n . ^{[ 6 ]}

En álgebra abstracta

Si bien el caso más común es el de matrices sobre números reales o complejos , todas esas definiciones pueden aplicarse a matrices sobre cualquier estructura algebraica que admita suma y multiplicación (es decir, anillos ). Sin embargo, en el caso de un anillo conmutativo , la condición para que una matriz cuadrada sea invertible es que su determinante sea invertible en el anillo, lo cual, en general, es un requisito más estricto que el de que sea distinto de cero. Para un anillo no conmutativo , el determinante usual no está definido. Las condiciones para la existencia de inversa izquierda o derecha son más complejas, ya que no existe una noción de rango sobre anillos.

El conjunto de matrices invertibles $n \times n$ junto con la operación de multiplicación de matrices y entradas del anillo $R$ forman un grupo , el grupo lineal general de grado $n$ , denotado $GL n (R)$ .

Aplicaciones

En la mayoría de las aplicaciones prácticas, no es necesario invertir una matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales ; sin embargo, para obtener una solución única, es necesario que la matriz involucrada sea invertible.

Las técnicas de descomposición, como la descomposición LU, son mucho más rápidas que la inversión, y también se han desarrollado varios algoritmos rápidos para clases especiales de sistemas lineales.

Regresión/mínimos cuadrados

Aunque no es necesario un inverso explícito para estimar el vector de incógnitas, es la forma más sencilla de estimar su precisión y se encuentra en la diagonal de la inversa de la matriz (la matriz de covarianza posterior del vector de incógnitas). Sin embargo, en muchos casos se conocen algoritmos más rápidos para calcular únicamente los elementos diagonales de la inversa de la matriz. ^{[ 7 ]}

Inversas de matrices en simulaciones en tiempo real

La inversión de matrices desempeña un papel fundamental en los gráficos por computadora , especialmente en la renderización de gráficos 3D y las simulaciones 3D . Algunos ejemplos incluyen el trazado de rayos de la pantalla al mundo , las transformaciones de objetos del mundo al subespacio y viceversa, y las simulaciones físicas.

Inversas de matrices en la comunicación inalámbrica MIMO

La inversión de matrices también desempeña un papel importante en la tecnología MIMO (Multiple-Input, Multiple-Output) de comunicaciones inalámbricas . El sistema MIMO consta de N antenas transmisoras y M antenas receptoras. Se envían señales únicas, que ocupan la misma banda de frecuencia , a través de las N antenas transmisoras y se reciben a través de las M antenas receptoras. La señal que llega a cada antena receptora será una combinación lineal de las N señales transmitidas, formando una matriz de transmisión H de N × M. Es fundamental que la matriz H sea invertible para que el receptor pueda descifrar la información transmitida. ^[⁸^]

Véase también

Referencias

↑ Axler, Sheldon (18 de diciembre de 2014). Álgebra lineal bien explicada . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado (3.ª ed.). Springer Publishing (publicado en 2015). pág. 296. ISBN 978-3-319-11079-0.
↑ J.-S. Roger Jang (marzo de 2001). "Inversa de matriz en forma de bloques" .
↑ Weisstein, Eric W. "Teorema de la matriz invertible" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de septiembre de 2020 .
↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Análisis matricial . Cambridge University Press . pág. 14. ISBN 978-0-521-38632-6..
↑ Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1999). Cálculo diferencial matricial : con aplicaciones en estadística y econometría ( Edición revisada). Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 151–152 . ISBN 0-471-98633-X.
↑ Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (Tercera ed.), Springer, pág. 446, ISBN 978-0-387-72828-5.
↑ Lin, Lin; Lu, Jianfeng; Ying, Lexing; Car, Roberto; E, Weinan (2009). "Algoritmo rápido para extraer la diagonal de la matriz inversa con aplicación al análisis de la estructura electrónica de sistemas metálicos" . Communications in Mathematical Sciences . 7 (3): 755– 777. doi : 10.4310/CMS.2009.v7.n3.a12 .
↑ Albreem, M.; Juntti, M.; Shahabuddin, S. (enero de 2020). "Inicialización eficiente de detectores MIMO masivos lineales iterativos mediante una matriz escalonada". Electronics Letters . 56 (1): 50– 52. Bibcode : 2020ElL....56...50A . doi : 10.1049/el.2019.2938 .

Lecturas adicionales

"Inversión de una matriz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Cormen, Thomas H.; Leiserson , Charles E .; Rivest, Ronald L .; Stein, Clifford (2001) [1990]. "28.4: Inversión de matrices". Introducción a los algoritmos (2.ª ed.). MIT Press y McGraw-Hill. págs. 755–760 . ISBN 0-262-03293-7.
Bernstein, Dennis S. (2009). Matemáticas matriciales: teoría, hechos y fórmulas (2.ª ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0691140391– vía Google Libros .
Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind (15 de noviembre de 2012). "El libro de cocina de Matrix" (PDF) . págs. 17 a 23.

Enlaces externos

Sanderson, Grant (15 de agosto de 2016). "Matrices inversas, espacio columna y espacio nulo" . Esencia del álgebra lineal . Archivado del original el 3 de noviembre de 2021 a través de YouTube .
Strang, Gilbert . "Clase de álgebra lineal sobre matrices inversas" . MIT OpenCourseWare .

[1] Axler, Sheldon (18 de diciembre de 2014). Álgebra lineal bien explicada . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado (3.ª ed.). Springer Publishing (publicado en 2015). pág. 296. ISBN 978-3-319-11079-0.

[2] J.-S. Roger Jang (marzo de 2001). "Inversa de matriz en forma de bloques" .

[3] Weisstein, Eric W. "Teorema de la matriz invertible" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de septiembre de 2020 .

[4] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Análisis matricial . Cambridge University Press . pág. 14. ISBN 978-0-521-38632-6..

[5] Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1999). Cálculo diferencial matricial : con aplicaciones en estadística y econometría ( Edición revisada). Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 151–152 . ISBN 0-471-98633-X.

[6] Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (Tercera ed.), Springer, pág. 446, ISBN 978-0-387-72828-5.

[7] Lin, Lin; Lu, Jianfeng; Ying, Lexing; Car, Roberto; E, Weinan (2009). "Algoritmo rápido para extraer la diagonal de la matriz inversa con aplicación al análisis de la estructura electrónica de sistemas metálicos" . Communications in Mathematical Sciences . 7 (3): 755– 777. doi : 10.4310/CMS.2009.v7.n3.a12 .

[8] Albreem, M.; Juntti, M.; Shahabuddin, S. (enero de 2020). "Inicialización eficiente de detectores MIMO masivos lineales iterativos mediante una matriz escalonada". Electronics Letters . 56 (1): 50– 52. Bibcode : 2020ElL....56...50A . doi : 10.1049/el.2019.2938 .

[

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ].

[ 6 ]

[ 7 ]

[