Polinomios de Jacobi

Los polinomios de Jacobi se definen mediante la función hipergeométrica de la siguiente manera: ^{[ 2 ] [ 1 ] : IV.1}

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),}$

dónde${\displaystyle (\alpha +1)_{n}}$es el símbolo de Pochhammer (para el factorial ascendente). En este caso, la serie para la función hipergeométrica es finita, por lo tanto se obtiene la siguiente expresión equivalente:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.}$

Una definición equivalente viene dada por la fórmula de Rodrigues : ^{[ 1 ] : IV.3 [ 3 ]}

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.}$

Si${\displaystyle \alpha =\beta =0}$, entonces se reduce a los polinomios de Legendre :

${\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.}$

Los polinomios de Jacobi${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$es, salvo escalamiento, la solución polinómica única del problema de Sturm-Liouville ^{[ 1 ] : IV.2}

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'=\lambda y}$

dónde${\displaystyle \lambda =-n(n+\alpha +\beta +1)}$La otra solución implica la función logaritmo. El teorema de Bochner establece que los polinomios de Jacobi se caracterizan de forma única como soluciones polinómicas de problemas de Sturm-Liouville con coeficientes polinómicos.

Verdadero${\displaystyle x}$El polinomio de Jacobi también puede escribirse como

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose n-s}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{n-s}}$

y para entero${\displaystyle n}$

${\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle \Gamma (z)}$es la función gamma .

En el caso especial de que las cuatro cantidades${\displaystyle n}$,${\displaystyle n+\alpha }$,${\displaystyle n+\beta }$,${\displaystyle n+\alpha +\beta }$ Si son enteros no negativos, el polinomio de Jacobi se puede escribir como

La suma se extiende sobre todos los valores enteros de${\displaystyle s}$para los cuales los argumentos de los factoriales son no negativos.

${\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,}$

${\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2){\frac {z-1}{2}},}$

${\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}+(\alpha +2)(\alpha +\beta +3){\frac {z-1}{2}}+{\frac {(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)}{2}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{2}.}$

$${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (1+2n+\alpha +\beta )}{\Gamma (1+n)\Gamma (1+n+\alpha +\beta )}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}+{\text{ lower-degree terms }}}$$Por lo tanto, el coeficiente principal es${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+2n+\alpha +\beta )}{2^{n}n!\Gamma (1+n+\alpha +\beta )}}}$.

Los polinomios de Jacobi satisfacen la condición de ortogonalidad.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},\qquad \alpha ,\ \beta >-1.}$

Tal como se definen, no tienen norma unitaria con respecto al peso. Esto se puede corregir dividiendo por la raíz cuadrada del lado derecho de la ecuación anterior, cuando${\displaystyle n=m}$.

Aunque no produce una base ortonormal , a veces se prefiere una normalización alternativa debido a su simplicidad:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}$

Los polinomios tienen la relación de simetría

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}$

por lo tanto el otro valor terminal es

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}$

El${\displaystyle k}$La derivada de la expresión explícita conduce a

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}$

La relación de recurrencia de 3 términos para los polinomios de Jacobi de fijo${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$es: ^{[ 1 ] : IV.5}

${\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned}}}$

para${\displaystyle n=2,3,\ldots }$Escribir con brevedad${\displaystyle a:=n+\alpha }$,${\displaystyle b:=n+\beta }$y ${\displaystyle c:=a+b=2n+\alpha +\beta }$, esto se convierte en términos de${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle 2n(c-n)(c-2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b)(c-2n){\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(a-1)(b-1)c\;P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z).}$

Dado que los polinomios de Jacobi pueden describirse en términos de la función hipergeométrica, las recurrencias de la función hipergeométrica dan recurrencias equivalentes de los polinomios de Jacobi. En particular, las relaciones contiguas de Gauss corresponden a las identidades ^{[ 4 ] : Apéndice B}

${\displaystyle {\begin{aligned}(z-1){\frac {d}{dz}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\beta +n)P_{n-1}^{(\alpha +1,\beta +1)}\\&=nP_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\alpha +n)P_{n-1}^{(\alpha ,\beta +1)}\\&=(1+\alpha +\beta +n)\left(P_{n}^{(\alpha ,\beta +1)}-P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)\\&=(\alpha +n)P_{n}^{(\alpha -1,\beta +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\\&={\frac {2(n+1)P_{n+1}^{(\alpha ,\beta -1)}-\left(z(1+\alpha +\beta +n)+\alpha +1+n-\beta \right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{1+z}}\\&={\frac {(2\beta +n+nz)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-2(\beta +n)P_{n}^{(\alpha ,\beta -1)}}{1+z}}\\&={\frac {1-z}{1+z}}\left(\beta P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\beta +n)P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)}\right)\,.\end{aligned}}}$

La función generadora de los polinomios de Jacobi viene dada por

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },}$

dónde

${\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~,}$

y la rama de la raíz cuadrada se elige de manera que${\displaystyle R(z,0)=1}$. ^{[ 1 ] : IV.4}

Los polinomios de Jacobi se reducen a otros polinomios clásicos. ^{[ 5 ]}

Ultrasférico :$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{n}^{(\lambda )}(x)&={\frac {(2\lambda )_{n}}{\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)_{n}}}P_{n}^{\left(\lambda -{\frac {1}{2}},\lambda -{\frac {1}{2}}\right)}(x),\\P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}(x)&={\frac {(\alpha +1)_{n}}{(2\alpha +1)_{n}}}C_{n}^{\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}(x).\end{aligned}}}$$Legendre :$${\displaystyle P_{n}(x)=C_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x)=P_{n}^{(0,0)}(x)}$$Chebyshev :$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&=P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(1),\\U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)=(n+1)P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(1),\\V_{n}(x)&=P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(1),\\W_{n}(x)&=(2n+1)P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(1).\\T_{n}^{*}(x)&=T_{n}(2x-1),\\U_{n}^{*}(x)&=U_{n}(2x-1).\end{aligned}}}$$Laguerre :$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \rightarrow \infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-(2x/\beta ))&=L_{n}^{(\alpha )}(x).\\\lim _{\alpha \rightarrow \infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}((2x/\alpha )-1)&=(-1)^{n}L_{n}^{(\beta )}(x).\end{aligned}}}$$Ermitaño:$${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }\alpha ^{-{\frac {1}{2}}n}P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}\left(\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}x\right)={\frac {H_{n}(x)}{2^{n}n!}}}$$

Los polinomios de Jacobi aparecen como las funciones propias del proceso de Markov en${\displaystyle [-1,+1]}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left(1-x^{2}\right){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+(px+q){\frac {\partial }{\partial x}}}$$definido hasta el momento en que alcanza el límite. Para${\displaystyle p=-(\beta +\alpha +2),q=\beta -\alpha }$, tenemos$${\displaystyle {\mathcal {L}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=-n(n+\alpha +\beta +1)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$$Por lo tanto, este proceso se denomina proceso de Jacobi . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Dejar

• ${\displaystyle J^{(\alpha ,\beta )}:=-\left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-[\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x]{\frac {d}{dx}}}$
• ${\displaystyle T_{t}^{(\alpha ,\beta )}:=e^{-tJ^{(\alpha ,\beta )}}}$
• ${\displaystyle h_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\int _{-1}^{1}\left[P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\right]^{2}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{(2n+\alpha +\beta +1)\Gamma (n+\alpha +\beta +1)\Gamma (n+1)}}}$
• ${\displaystyle G_{t}^{(\alpha ,\beta )}(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }\exp(-tn(n+\alpha +\beta +1)){\frac {P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(y)}{h_{n}^{(\alpha ,\beta )}}},\quad x,y\in [-1,1],\quad t>0,}$
• ${\displaystyle d\rho _{(\alpha ,\beta )}(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }dx}$

Entonces, para cualquier${\displaystyle f\in L^{1}\left(d\rho _{(\alpha ,\beta )}\right)}$, ^{[ 8 ]}$${\displaystyle T_{t}^{(\alpha ,\beta )}f(x)=\int _{-1}^{1}G_{t}^{(\alpha ,\beta )}(x,y)f(y)d\varrho _{(\alpha ,\beta )}(y)}$$De este modo,${\displaystyle G_{t}^{(\alpha ,\beta )}}$se denomina núcleo de calor de Jacobi .

El discriminante es ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \operatorname {Disc} \left(P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)=2^{-n(n-1)}\prod _{j=1}^{n}j^{j-2n+2}(j+\alpha )^{j-1}(j+\beta )^{j-1}(n+j+\alpha +\beta )^{n-j}}$$Fórmula de Bailey : ^{[ 8 ] [ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \varphi )}{h_{n}^{(\alpha ,\beta )}}}r^{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +2)}{2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta +1)}}{\frac {1-r}{(1+r)^{\alpha +\beta +2}}}\\&\quad \times F_{4}\left({\frac {\alpha +\beta +2}{2}},{\frac {\alpha +\beta +3}{2}};\alpha +1,\beta +1;\left({\frac {2\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\varphi }{2}}}{r^{1/2}+r^{-1/2}}}\right)^{2},\left({\frac {2\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}}{r^{1/2}+r^{-1/2}}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}$$dónde${\displaystyle |r|<1,\alpha ,\beta >-1}$, y${\displaystyle F_{4}}$es la función hipergeométrica de dos variables de Appel . Esta es una analogía del núcleo de Mehler para los polinomios de Hermite y de la fórmula de Hardy-Hille para los polinomios de Laguerre.

Representación integral de tipo Laplace : ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(1-2t^{2}\right)=&{\frac {(-1)^{n}2^{2n}}{\pi (2n)!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(\beta +{\frac {1}{2}}\right)}}.\\&\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\left(tu\pm i{\sqrt {1-t^{2}}}v\right)^{2n}\left(1-u^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\left(1-v^{2}\right)^{\beta -{\frac {1}{2}}}dudv.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \theta _{n,m}}$es estrictamente monótonamente creciente con${\displaystyle \alpha }$y estrictamente monótonamente decreciente con${\displaystyle \beta }$. ^{[ 12 ]}

Si${\displaystyle \alpha =\beta }$, y${\displaystyle m<n/2}$, entonces${\displaystyle \theta _{n,m}}$es estrictamente monótonamente creciente con${\displaystyle \alpha }$. ^{[ 12 ]}

Cuando${\displaystyle \alpha ,\beta \in [-1/2,+1/2]}$, ^{[ 12 ]}

• ${\displaystyle \theta _{n,m}^{(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}={\frac {(m-{\tfrac {1}{2}})\pi }{n+{\tfrac {1}{2}}}}\leq \theta _{n,m}^{(\alpha ,\beta )}\leq {\frac {m\pi }{n+{\tfrac {1}{2}}}}=\theta _{n,m}^{({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}})}}$
• ${\displaystyle \theta _{n,m}^{(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}})}={\frac {(m-{\tfrac {1}{2}})\pi }{n}}\leq \theta _{n,m}^{(\alpha ,\alpha )}\leq {\frac {m\pi }{n+1}}=\theta _{n,m}^{({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}}$para${\displaystyle m\leq n/2}$
• ${\displaystyle {{\frac {\left(m+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta -1)\right)\pi }{\rho }}<\theta _{n,m}<{\frac {m\pi }{\rho }}}}$excepto cuando${\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}={\tfrac {1}{4}}}$
• ${\displaystyle \theta _{n,m}^{(\alpha ,\alpha )}>{\frac {\left(m+{\tfrac {1}{2}}\alpha -{\tfrac {1}{4}}\right){\pi }}{n+\alpha +{\tfrac {1}{2}}}}}$para${\displaystyle m\leq n/2}$, excepto cuando${\displaystyle \alpha ^{2}={\tfrac {1}{4}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle \theta _{n,m}\displaystyle \leq {\frac {j_{\alpha ,m}}{\left(\rho ^{2}+{\tfrac {1}{12}}\left(1-\alpha ^{2}-3\beta ^{2}\right)\right)^{\frac {1}{2}}}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle \theta _{n,m}\displaystyle \geq {\frac {j_{\alpha ,m}}{\left(\rho ^{2}+{\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2})-{\pi }^{-2}(1-4\alpha ^{2})\right)^{\frac {1}{2}}}}}$para${\displaystyle m\leq n/2}$

Arreglar${\displaystyle \alpha >-1/2,\beta \geq -1-\alpha }$. Arreglar${\displaystyle c\in (0,1)}$.

$${\displaystyle \theta _{n,m}=\phi _{m}+\left(\left(\alpha ^{2}-{\tfrac {1}{4}}\right){\frac {1-\phi _{m}\cot \phi _{m}}{2\phi _{m}}}-{\tfrac {1}{4}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2})\tan \left({\tfrac {1}{2}}\phi _{m}\right)\right){\frac {1}{\rho ^{2}}}+\phi _{m}^{2}O\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)}$$

uniformemente para${\displaystyle m=1,2,\dots ,\left\lfloor cn\right\rfloor }$.

Los ceros satisfacen las relaciones de Stieltjes : ^{[ 14 ] [ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{i}-x_{j}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\alpha +1}{1-x_{i}}}-{\frac {\beta +1}{1+x_{i}}}\right)\\\sum _{1\leq j\leq n}{\frac {1}{1-x_{j}}}&={\frac {n(n+\alpha +\beta +1)}{2(\alpha +1)}}\\\sum _{1\leq j\leq n}{\frac {1}{1+x_{j}}}&={\frac {n(n+\alpha +\beta +1)}{2(\beta +1)}}\\\sum _{1\leq j\leq n}x_{j}&={\frac {n(\beta -\alpha )}{2n+\alpha +\beta }}\end{aligned}}}$$La primera relación puede interpretarse físicamente. Fijemos una partícula eléctrica en +1 con carga${\displaystyle {\frac {1+\alpha }{2}}}$y otra partícula en -1 con carga${\displaystyle {\frac {1+\beta }{2}}}$Luego, coloque${\displaystyle n}$partículas eléctricas con carga${\displaystyle +1}$. La primera relación establece que los ceros de${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$son las posiciones de equilibrio de las partículas. Este equilibrio es estable y único. ^{[ 15 ]}

Otras relaciones, como${\displaystyle \sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{i}-x_{j})^{2}}},\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{i}-x_{j})^{3}}}}$, se conocen en forma cerrada. ^{[ 14 ]}

Dado que los ceros especifican el polinomio salvo por un factor de escala, esto proporciona una forma alternativa de caracterizar de manera única los polinomios de Jacobi.

La interpretación electrostática permite ver intuitivamente muchas relaciones. Por ejemplo:

• la relación de simetría entre${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$y${\displaystyle P_{n}^{(\beta ,\alpha )}}$;
• las raíces disminuyen monótonamente cuando${\displaystyle \alpha }$aumenta;

Dado que la relación de Stieltjes también existe para los polinomios de Hermite y los polinomios de Laguerre, tomando un límite apropiado de${\displaystyle \alpha ,\beta }$, se derivan las relaciones límite. Por ejemplo, para los polinomios de Hermite, los ceros satisfacen$${\displaystyle -x_{i}+\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{i}-x_{j}}}=0}$$Así, tomando${\displaystyle \alpha =\beta \to \infty }$En el límite, todas las partículas eléctricas se ven forzadas a un entorno infinitesimal del origen, donde la intensidad del campo es lineal. Luego, al escalar la línea, obtenemos la misma configuración electrostática para los ceros de los polinomios de Hermite.

Para${\displaystyle x}$en el interior de${\displaystyle [-1,1]}$, la asintótica de${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$para grandes${\displaystyle n}$viene dada por la fórmula de Darboux ^{[ 1 ] : VIII.2}

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k(\theta )\cos(N\theta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}}\right),}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}},\\N&=n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{\tfrac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\tfrac {1}{2}}\right),\\0<\theta &<\pi \end{aligned}}}$

y el "${\displaystyle O}$"El término es uniforme en el intervalo${\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]}$por cada${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Para órdenes superiores, defina: ^{[ 12 ]}

• ${\displaystyle \mathrm {B} }$es la función beta de Euler
• ${\displaystyle (\cdot )_{m}}$es el factorial descendente .
• ${\displaystyle f_{m}(\theta )=\sum _{\ell =0}^{m}{\frac {C_{m,\ell }(\alpha ,\beta )}{\ell$ !(m-\ell )!}}{\frac {\cos \theta _{n,m,\ell }}{\left(\sin {\frac {1}{2}}\theta \right)^{\ell }\left(\cos {\frac {1}{2}}\theta \right)^{m-\ell }}}}
• ${\displaystyle C_{m,\ell }(\alpha ,\beta )={\left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)_{\ell }}{\left({\tfrac {1}{2}}-\alpha \right)_{\ell }}{\left({\tfrac {1}{2}}+\beta \right)_{m-\ell }}{\left({\tfrac {1}{2}}-\beta \right)_{m-\ell }}}$
• ${\displaystyle \theta _{n,m,\ell }={\tfrac {1}{2}}(2n+\alpha +\beta +m+1)\theta -{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\ell +{\tfrac {1}{2}})\pi }$

Arreglar lo real${\displaystyle \alpha ,\beta }$, arreglar${\displaystyle M=1,2,\dots }$, arreglar${\displaystyle \delta \in (0,\pi /2)}$. Como${\displaystyle n\to \infty }$,$${\displaystyle \left(\sin {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{\alpha +{\frac {1}{2}}}\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{\beta +{\frac {1}{2}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \theta \right)={\pi }^{-1}2^{2n+\alpha +\beta +1}\mathrm {B} \left(n+\alpha +1,n+\beta +1\right)\left(\sum _{m=0}^{M-1}{\frac {f_{m}(\theta )}{2^{m}{\left(2n+\alpha +\beta +2\right)_{m}}}}+O\left(n^{-M}\right)\right)}$$uniformemente para todos${\displaystyle \theta \in [\delta ,\pi -\delta ]}$.

El${\displaystyle M=1}$El caso es la fórmula de Darboux mencionada anteriormente.

Definir: ^{[ 12 ]}

• ${\displaystyle J_{\nu }}$es la función de Bessel
• ${\displaystyle \rho =n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1)}$
• ${\displaystyle g(\theta )=\left({\tfrac {1}{4}}-\alpha ^{2}\right)\left(\cot \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)-\left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{-1}\right)-\left({\tfrac {1}{4}}-\beta ^{2}\right)\tan \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)}$

Arreglar lo real${\displaystyle \alpha ,\beta }$, arreglar${\displaystyle M=0,1,2,\dots }$. Como${\displaystyle n\to \infty }$, tenemos la fórmula de tipo Hilb : ^{[ 16 ]}$${\displaystyle (\sin {\tfrac {1}{2}}\theta )^{\alpha +{\frac {1}{2}}}(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta )^{\beta +{\frac {1}{2}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \theta \right)={\frac {\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}{2^{\frac {1}{2}}\rho ^{\alpha }n!}}\left(\theta ^{\frac {1}{2}}J_{\alpha }\left(\rho \theta \right)\sum _{m=0}^{M}{\dfrac {A_{m}(\theta )}{\rho ^{2m}}}+\theta ^{\frac {3}{2}}J_{\alpha +1}\left(\rho \theta \right)\sum _{m=0}^{M-1}{\dfrac {B_{m}(\theta )}{\rho ^{2m+1}}}+\varepsilon _{M}(\rho ,\theta )\right)}$$dónde${\displaystyle A_{m},B_{m}}$son funciones de${\displaystyle \theta }$Las primeras entradas son:$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}(\theta )&=1\\\theta B_{0}(\theta )&={\frac {1}{4}}g(\theta )\\A_{1}(\theta )&={\frac {1}{8}}g^{\prime }(\theta )-{\frac {1+2\alpha }{8}}{\frac {g(\theta )}{\theta }}-{\frac {1}{32}}(g(\theta ))^{2}\end{aligned}}}$$

Para cualquier constante arbitraria fija${\displaystyle c>0}$, el término de error satisface$${\displaystyle \varepsilon _{M}(\rho ,\theta )={\begin{cases}\theta O\left(\rho ^{-2M-(3/2)}\right),&c\rho ^{-1}\leq \theta \leq \pi -\delta ,\\\theta ^{\alpha +(5/2)}O\left(\rho ^{-2M+\alpha }\right),&0\leq \theta \leq c\rho ^{-1},\end{cases}}}$$

El comportamiento asintótico de los polinomios de Jacobi cerca de los puntos${\displaystyle \pm 1}$viene dada por la fórmula de Mehler-Heine

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned}}}$

donde los límites son uniformes para${\displaystyle z}$en un dominio acotado .

La asintótica fuera${\displaystyle [-1,1]}$es menos explícito.

La expresión ( 1 ) permite la expresión de la matriz d de Wigner.${\displaystyle d_{m',m}^{j}(\phi )}$(para${\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }$) en términos de polinomios de Jacobi: ^{[ 17 ]}

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m-m'|}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{j-M}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),}$

dónde${\displaystyle M=\max(|m|,|m'|),N=\min(|m|,|m'|)}$.