funciones elípticas de Jacobi

En matemáticas , las funciones elípticas de Jacobi son un conjunto de funciones elípticas básicas . Se encuentran en la descripción del movimiento de un péndulo , así como en el diseño de filtros elípticos electrónicos . Mientras que las funciones trigonométricas se definen con referencia a un círculo, las funciones elípticas de Jacobi son una generalización que se refiere a otras secciones cónicas , en particular la elipse. La relación con las funciones trigonométricas está contenida en la notación, por ejemplo, mediante la notación correspondiente.${\displaystyle \operatorname {sn} }$para${\displaystyle \sin }$Las funciones elípticas de Jacobi se utilizan con mayor frecuencia en problemas prácticos que las funciones elípticas de Weierstrass, ya que no requieren la definición ni la comprensión de conceptos de análisis complejo . Fueron introducidas por Carl Gustav Jakob Jacobi ( 1829 ) . Carl Friedrich Gauss ya había estudiado funciones elípticas de Jacobi especiales en 1797, en particular las funciones elípticas lemniscatas ^{[ 1 ]} , pero su trabajo se publicó mucho más tarde. 

Existen doce funciones elípticas de Jacobi denotadas por${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$, dónde${\displaystyle \mathrm {p} }$y${\displaystyle \mathrm {q} }$¿Alguna de las letras?${\displaystyle \mathrm {c} }$,${\displaystyle \mathrm {s} }$,${\displaystyle \mathrm {n} }$, y${\displaystyle \mathrm {d} }$. (Funciones de la forma${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$se establecen trivialmente a la unidad para mayor completitud notacional.)${\displaystyle u}$ese es el argumento, y${\displaystyle m}$es el parámetro, ambos pueden ser complejos. De hecho, las funciones elípticas de Jacobi son meromorfas en ambos${\displaystyle u}$y${\displaystyle m}$. ^{[ 2 ]} La distribución de los ceros y polos en el${\displaystyle u}$El plano -es bien conocido. Sin embargo, existen cuestiones sobre la distribución de los ceros y polos en el${\displaystyle m}$-plane aún por investigar. ^{[ 2 ]}

En el plano complejo del argumento${\displaystyle u}$, las doce funciones forman una red repetitiva de polos y ceros simples . ^{[ 3 ]} Dependiendo de la función, un paralelogramo repetitivo , o celda unitaria, tendrá lados de longitud${\displaystyle 2K}$o${\displaystyle 4K}$en el eje real, y${\displaystyle 2K'}$o${\displaystyle 4K'}$en el eje imaginario, donde${\displaystyle K=K(m)}$y${\displaystyle K'=K(1-m)}$se conocen como los períodos trimestrales con${\displaystyle K(\cdot )}$siendo la integral elíptica de primera especie. La naturaleza de la celda unitaria se puede determinar inspeccionando el "rectángulo auxiliar" (generalmente un paralelogramo), que es un rectángulo formado por el origen.${\displaystyle (0,0)}$en una esquina, y ${\displaystyle (K,K')}$como la esquina diagonalmente opuesta. Como en el diagrama, las cuatro esquinas del rectángulo auxiliar se denominan${\displaystyle \mathrm {s} }$,${\displaystyle \mathrm {c} }$,${\displaystyle \mathrm {d} }$, y${\displaystyle \mathrm {n} }$, yendo en sentido contrario a las agujas del reloj desde el origen. La función${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$tendrá un cero en el${\displaystyle \mathrm {p} }$esquina y un poste en el${\displaystyle \mathrm {q} }$esquina. Las doce funciones corresponden a las doce maneras de disponer estos polos y ceros en las esquinas del rectángulo.

Cuando el argumento${\displaystyle u}$y parámetro${\displaystyle m}$son reales, con${\displaystyle 0<m<1}$,${\displaystyle K}$y${\displaystyle K'}$será real y el paralelogramo auxiliar será de hecho un rectángulo, y las funciones elípticas de Jacobi serán todas de valor real en la recta real.

Dado que las funciones elípticas de Jacobi son doblemente periódicas en${\displaystyle u}$, se factorizan a través de un toro ; en efecto, su dominio puede considerarse un toro, al igual que el coseno y el seno se definen en un círculo. En lugar de tener un solo círculo, ahora tenemos el producto de dos círculos, uno real y otro imaginario. El plano complejo puede ser reemplazado por un toro complejo . La circunferencia del primer círculo es${\displaystyle 4K}$y el segundo${\displaystyle 4K'}$, dónde${\displaystyle K}$y${\displaystyle K'}$son los cuartos de período . Cada función tiene dos ceros y dos polos en posiciones opuestas en el toro. Entre los puntos${\displaystyle 0}$,${\displaystyle K}$,${\displaystyle K+iK'}$,${\displaystyle iK'}$Hay un cero y un polo.

Las funciones elípticas de Jacobi son entonces funciones meromorfas doblemente periódicas que satisfacen las siguientes propiedades:

• Hay un simple cero en la esquina${\displaystyle \mathrm {p} }$y un simple poste en la esquina ${\displaystyle \mathrm {q} }$.
• El número complejo${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} }$es igual a la mitad del período de la función${\displaystyle \operatorname {pq} u}$; es decir, la función${\displaystyle \operatorname {pq} u}$es periódica en la dirección${\displaystyle \operatorname {pq} }$, siendo el período el${\displaystyle 2(\mathrm {p} -\mathrm {q} )}$. La función${\displaystyle \operatorname {pq} u}$También es periódica en las otras dos direcciones.${\displaystyle \mathrm {pp} '}$y${\displaystyle \mathrm {pq} '}$, con períodos tales que${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {p} '}$y${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} '}$son períodos trimestrales.

función elíptica de Jacobi${\displaystyle \operatorname {sn} }$

función elíptica de Jacobi${\displaystyle \operatorname {cn} }$

función elíptica de Jacobi${\displaystyle \operatorname {dn} }$

función elíptica de Jacobi${\displaystyle \operatorname {sc} }$

Gráficas de cuatro funciones elípticas de Jacobi en el plano complejo de${\displaystyle u}$, ilustrando su comportamiento doblemente periódico. Imágenes generadas utilizando una versión del método de coloración de dominio . ^{[ 4 ]} Todos tienen valores de${\displaystyle k={\sqrt {m}}}$igual a${\displaystyle 0.8}$.

Las funciones elípticas se pueden expresar en diversas notaciones, lo que puede hacer que el tema resulte innecesariamente confuso. Las funciones elípticas son funciones de dos variables. La primera variable se puede expresar en términos de la amplitud.${\displaystyle \varphi }$, o más comúnmente, en términos de${\displaystyle u}$dado a continuación. La segunda variable podría darse en términos del parámetro${\displaystyle m}$, o como el módulo elíptico${\displaystyle k}$, dónde${\displaystyle k^{2}=m}$, o en términos del ángulo modular${\displaystyle \alpha }$, dónde${\displaystyle m=\sin ^{2}\alpha }$. Los complementos de${\displaystyle k}$y${\displaystyle m}$se definen como${\displaystyle m'=1-m}$y${\textstyle k'={\sqrt {m'}}}$Estos cuatro términos se utilizan a continuación sin comentarios para simplificar diversas expresiones.

Las doce funciones elípticas de Jacobi se escriben generalmente como${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$dónde${\displaystyle \mathrm {p} }$y${\displaystyle \mathrm {q} }$¿Alguna de las letras?${\displaystyle \mathrm {c} }$,${\displaystyle \mathrm {s} }$,${\displaystyle \mathrm {n} }$, y${\displaystyle \mathrm {d} }$. Funciones de la forma${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$se establecen trivialmente a la unidad para una completitud notacional. Las funciones “principales” generalmente se toman como${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$,${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$y${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$A partir de estas tres funciones se pueden derivar todas las demás, y las expresiones suelen escribirse únicamente en términos de ellas; sin embargo, diversas simetrías y generalizaciones se expresan con mayor facilidad utilizando el conjunto completo. (Esta notación se debe a Gudermann y Glaisher y no es la notación original de Jacobi).

A lo largo de este artículo,${\displaystyle \operatorname {pq} (u,t^{2})=\operatorname {pq} (u;t)}$.

Las funciones están relacionadas entre sí mediante la regla de multiplicación: (argumentos suprimidos)

$${\displaystyle \operatorname {pq} \cdot \operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \cdot \operatorname {p'q} }$$

de las cuales se pueden derivar otras relaciones de uso común:

$${\displaystyle {\frac {\operatorname {pr} }{\operatorname {qr} }}=\operatorname {pq} }$$$${\displaystyle \operatorname {pr} \cdot \operatorname {rq} =\operatorname {pq} }$$$${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {qp} }}=\operatorname {pq} }$$

La regla de multiplicación se deduce inmediatamente de la identificación de las funciones elípticas con las funciones theta de Neville ^{[ 5 ].}

$${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$$ Tenga en cuenta también que:

$${\displaystyle K(m)=K(k^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.}$$

Existe una definición que relaciona las funciones elípticas con la inversa de la integral elíptica incompleta de primera especie.${\displaystyle F}$Estas funciones toman los parámetros${\displaystyle u}$y${\displaystyle m}$como entradas. El${\displaystyle \varphi }$que satisface

$${\displaystyle u=F(\varphi |m)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$$

se denomina amplitud de Jacobi :

$${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)=\varphi .}$$

En este marco, el seno elíptico sn u (en latín: sinus amplitudinis ) viene dado por 

$${\displaystyle \operatorname {sn} (u|m)=\sin \operatorname {am} (u|m)}$$

y el coseno elíptico cn u (en latín: cosinus amplitudinis ) viene dado por 

$${\displaystyle \operatorname {cn} (u|m)=\cos \operatorname {am} (u|m)}$$

y la amplitud delta dn u (latín: delta amplitudinis ) ^{[ nota 1 ]} 

$${\displaystyle \operatorname {dn} (u|m)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {am} (u|m).}$$ En lo anterior, el valor${\displaystyle m}$es un parámetro libre , generalmente tomado como real tal que${\displaystyle 0\leq m\leq 1}$(pero pueden ser complejas en general), y por lo tanto las funciones elípticas pueden pensarse como dadas por dos variables,${\displaystyle u}$y el parámetro ${\displaystyle m}$. Las nueve funciones elípticas restantes se construyen fácilmente a partir de las tres anteriores (${\displaystyle \operatorname {sn} }$,${\displaystyle \operatorname {cn} }$,${\displaystyle \operatorname {dn} }$), y se dan en una sección más abajo. Tenga en cuenta que cuando${\displaystyle \varphi =\pi /2}$, eso${\displaystyle u}$entonces es igual al cuarto período ${\displaystyle K}$.

En el contexto más general,${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$es una función multivaluada (en${\displaystyle u}$) con infinitos puntos de ramificación logarítmicos (las ramas difieren en múltiplos enteros de${\displaystyle 2\pi }$), es decir, los puntos${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$y${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$dónde${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$. ^{[ 6 ]} Esta función multivaluada puede convertirse en univaluada cortando el plano complejo a lo largo de los segmentos de línea que unen estos puntos de ramificación (el corte puede hacerse de maneras no equivalentes, dando funciones univaluadas no equivalentes), haciendo así${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$analítico en todas partes excepto en los cortes de rama . En contraste,${\displaystyle \sin \operatorname {am} (u|m)}$y otras funciones elípticas no tienen puntos de ramificación, dan valores consistentes para cada rama de${\displaystyle \operatorname {am} }$y son meromorfas en todo el plano complejo. Dado que toda función elíptica es meromorfa en todo el plano complejo (por definición),${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$(considerada como una función unívoca) no es una función elíptica.

Sin embargo, un recorte en particular para${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$se puede hacer en el${\displaystyle u}$-plano por segmentos de línea desde${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$a${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$con${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$; entonces solo queda definir${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$en la rama corta por continuidad desde alguna dirección. Entonces${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$se vuelve unívoca y singularmente periódica en${\displaystyle u}$con el período mínimo${\displaystyle 4iK(1-m)}$y tiene singularidades en los puntos de ramificación logarítmica mencionados anteriormente. Si${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$y${\displaystyle m\leq 1}$,${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$es continuo en${\displaystyle u}$en la línea real. Cuando${\displaystyle m>1}$, los cortes de ramas de${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$en el${\displaystyle u}$-el avión cruza la línea real en${\displaystyle 2(2s+1)K(1/m)/{\sqrt {m}}}$para${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$; por lo tanto para${\displaystyle m>1}$,${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$no es continuo en${\displaystyle u}$en la línea real y salta por${\displaystyle 2\pi }$en las discontinuidades.

Pero definir${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$De esta forma se producen cortes de ramas muy complicados en el${\displaystyle m}$-avión ( no el${\displaystyle u}$-avión); aún no han sido descritos completamente.

Dejar $${\displaystyle E(\varphi |m)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }$$ sea ​​la integral elíptica incompleta de segundo tipo con parámetro${\displaystyle m}$.

Entonces, la función épsilon de Jacobi se puede definir como $${\displaystyle {\mathcal {E}}(u|m)=E(\operatorname {am} (u|m)|m)}$$ para${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$y${\displaystyle 0<m<1}$y por continuación analítica en cada una de las variables en caso contrario: la función épsilon de Jacobi es meromorfa en todo el plano complejo (en ambos${\displaystyle u}$y${\displaystyle m}$). Alternativamente, a lo largo de ambos${\displaystyle u}$-avión y${\displaystyle m}$-plano, ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u|m)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t|m)\,\mathrm {d} t;}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$está bien definido de esta manera porque todos los residuos de${\displaystyle t\mapsto \operatorname {dn} (t|m)^{2}}$son cero, por lo que la integral es independiente de la trayectoria. Así, el épsilon de Jacobi relaciona la integral elíptica incompleta de primera especie con la integral elíptica incompleta de segunda especie: $${\displaystyle E(\varphi |m)={\mathcal {E}}(F(\varphi |m)|m).}$$ La función épsilon de Jacobi no es una función elíptica, pero aparece al diferenciar las funciones elípticas de Jacobi con respecto al parámetro.

La función zn de Jacobi se define por $${\displaystyle \operatorname {zn} (u|m)={\mathcal {E}}(u|m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}u.}$$ Es una función periódica simple que es meromorfa en${\displaystyle u}$, pero no en${\displaystyle m}$(debido a los cortes de ramas de${\displaystyle E}$y${\displaystyle K}$). Su período mínimo en${\displaystyle u}$es${\displaystyle 2K(m)}$Está relacionada con la función zeta de Jacobi por${\displaystyle Z(\varphi |m)=\operatorname {zn} (F(\varphi |m)|m).}$

Históricamente, las funciones elípticas de Jacobi se definieron inicialmente utilizando la amplitud. En textos más modernos sobre funciones elípticas, estas se definen por otros medios, por ejemplo, mediante cocientes de funciones theta (véase más adelante), y se ignora la amplitud.

En términos modernos, la relación con las integrales elípticas se expresaría mediante${\displaystyle \operatorname {sn} (F(\varphi |m)|m)=\sin \varphi }$(o${\displaystyle \operatorname {cn} (F(\varphi |m)|m)=\cos \varphi }$) en lugar de${\displaystyle \operatorname {am} (F(\varphi |m)|m)=\varphi }$.

${\displaystyle \cos \varphi ,\,\sin \varphi }$se definen en el círculo unitario con radio${\displaystyle r=1}$y ángulo${\displaystyle \varphi =}$longitud de arco del círculo unitario medida desde el eje x positivo . De manera similar, las funciones elípticas de Jacobi se definen en la elipse unitaria con${\displaystyle a=1}$y${\displaystyle b\geq 1}$. Dejar

$${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

Entonces${\displaystyle 0\leq m<1}$y

$${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$$

Para cada ángulo${\displaystyle \varphi }$el parámetro $${\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta }$$ (la integral elíptica incompleta de primera especie) se calcula. En el círculo unitario (${\displaystyle a=b=1}$),${\displaystyle u}$sería una longitud de arco. Sin embargo, la relación de${\displaystyle u}$Calcular la longitud del arco de una elipse es más complicado. ^{[ 8 ]}

Dejar${\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$Sea un punto en la elipse y dejemos que${\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$sea ​​el punto donde el círculo unitario interseca la línea entre${\displaystyle P}$y el origen${\displaystyle O}$Luego, las relaciones familiares del círculo unitario

$${\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi }$$

leer para la elipsis

$${\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).}$$

Entonces, las proyecciones del punto de intersección${\displaystyle P'}$de la línea${\displaystyle OP}$con el círculo unitario en los ejes x e y son simplemente${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$y${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$Estas proyecciones pueden interpretarse como una "definición como trigonometría". En resumen,

$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}.}$$

Para el${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$valores del punto${\displaystyle P}$con ${\displaystyle u}$y parámetro${\displaystyle m}$obtenemos, insertando la relación

$${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}}$$

en${\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos \varphi }$y${\displaystyle y=r(\varphi ,m)\sin \varphi }$, encontramos

$${\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.}$$

Las últimas relaciones para las coordenadas x e y de los puntos en la elipse unitaria pueden considerarse como una generalización de las relaciones${\displaystyle x=\cos \varphi }$y${\displaystyle y=\sin \varphi }$para las coordenadas de los puntos en el círculo unitario.

La siguiente tabla resume las expresiones para todas las funciones elípticas de Jacobi pq(u,m) en las variables ( x , y , r ) y ( φ ,dn) con${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

Las funciones elípticas de Jacobi se pueden definir de forma muy sencilla utilizando las funciones theta de Neville : ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$$

A menudo, la simplificación de productos complejos de las funciones elípticas de Jacobi se facilita mediante el uso de estas identidades.

Al introducir los números complejos, nuestra elipse tiene asociada una hipérbola:

$${\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$$ aplicando la transformación imaginaria de Jacobi ^{[ 11 ]} a las funciones elípticas en la ecuación anterior para x e y . 

$${\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}}$$

De ello se deduce que podemos poner${\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)}$. Así que nuestra elipse tiene una elipse dual con m reemplazado por 1-m. Esto lleva al toro complejo mencionado en la Introducción. ^{[ 13 ]} Generalmente, m puede ser un número complejo , pero cuando m es real y m<0, la curva es una elipse con eje mayor en la dirección x. En m=0 la curva es un círculo, y para 0<m<1, la curva es una elipse con eje mayor en la dirección y. En m  =  1, la curva degenera en dos líneas verticales en x  =  ±1. Para m  >  1, la curva es una hipérbola. Cuando m es complejo pero no real, x o y o ambos son complejos y la curva no puede describirse en un diagrama x - y real .

Al invertir el orden de las dos letras del nombre de la función, se obtienen las funciones recíprocas de las tres funciones anteriores:

$${\displaystyle \operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.}$$

De manera similar, las razones de las tres funciones primarias corresponden a la primera letra del numerador seguida de la primera letra del denominador:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},&\operatorname {sd} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},&\operatorname {dc} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\\[1ex]\operatorname {ds} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},&\operatorname {cs} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},&\operatorname {cd} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$$ De forma más compacta, tenemos

$${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}}$$

donde p y q son cualquiera de las letras s, c, d.

En el plano complejo del argumento u , las funciones elípticas de Jacobi forman un patrón repetitivo de polos (y ceros). Los residuos de los polos tienen el mismo valor absoluto, diferenciándose únicamente en el signo. Cada función pq( u , m ) tiene una "función inversa" (en sentido multiplicativo) qp( u , m ) en la que se intercambian las posiciones de los polos y los ceros. Los periodos de repetición suelen ser diferentes en las direcciones real e imaginaria, de ahí el uso del término "doblemente periódicas" para describirlas.

Para la amplitud de Jacobi y la función épsilon de Jacobi: $${\displaystyle \operatorname {am} (u+2K,m)=\operatorname {am} (u,m)+\pi ,}$$$${\displaystyle \operatorname {am} (u+4iK',m)=\operatorname {am} (u,m),}$$$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2K,m)={\mathcal {E}}(u,m)+2E,}$$$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2iK',m)={\mathcal {E}}(u,m)+2iE{\frac {K'}{K}}-{\frac {\pi i}{K}}}$$ dónde${\displaystyle E(m)}$es la integral elíptica completa de segundo tipo con parámetro${\displaystyle m}$.

La doble periodicidad de las funciones elípticas de Jacobi puede expresarse como:

$${\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)}$$

donde α y β son pares cualesquiera de enteros. K ( ⋅ ) es la integral elíptica completa de primera especie, también conocida como cuarto de período . La potencia de la unidad negativa ( γ ) se da en la siguiente tabla:

Cuando el factor (−1) ^γ es igual a −1, la ecuación expresa cuasiperiodicidad. Cuando es igual a la unidad, expresa periodicidad completa. Se puede ver, por ejemplo, que para las entradas que contienen solo α cuando α es par, la periodicidad completa se expresa mediante la ecuación anterior, y la función tiene periodos completos de 4 K ( m ) y 2 iK (1  − m ). Del mismo modo, las funciones con entradas que contienen solo β tienen periodos completos de 2K(m) y 4 iK (1 − m ), mientras que aquellas con α + β tienen periodos completos de 4 K ( m ) y 4 iK (1 − m ).     

En el diagrama de la derecha, que representa una unidad repetitiva para cada función, indicando la fase junto con la ubicación de los polos y ceros, se pueden observar varias regularidades: La inversa de cada función se encuentra frente a la diagonal y tiene la misma celda unitaria, con los polos y ceros intercambiados. La disposición de polos y ceros en el rectángulo auxiliar formado por (0,0), ( K ,0), (0, K ′ ) y ( K , K ′ ) coincide con la descripción de la ubicación de polos y ceros descrita en la introducción. Además, el tamaño de los óvalos blancos que indican los polos es una medida aproximada del valor absoluto del residuo para ese polo. Los residuos de los polos más cercanos al origen en la figura (es decir, en el rectángulo auxiliar) se enumeran en la siguiente tabla:

Cuando corresponda, los polos desplazados hacia arriba en 2 K o hacia la derecha en 2 K ′ tienen el mismo valor pero con signos invertidos, mientras que los opuestos en diagonal tienen el mismo valor. Cabe destacar que los polos y ceros en los bordes izquierdo e inferior se consideran parte de la celda unitaria, mientras que los de los bordes superior y derecho no.

La información sobre los polos puede utilizarse, de hecho, para caracterizar las funciones elípticas de Jacobi: ^{[ 14 ]}

La función${\displaystyle u\mapsto \operatorname {sn} (u,m)}$es la única función elíptica que tiene polos simples en${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$(con${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$) con residuos${\displaystyle (-1)^{r}/{\sqrt {m}}}$tomando el valor${\displaystyle 0}$en${\displaystyle 0}$.

La función${\displaystyle u\mapsto \operatorname {cn} (u,m)}$es la única función elíptica que tiene polos simples en${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$(con${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$) con residuos${\displaystyle (-1)^{r+s-1}i/{\sqrt {m}}}$tomando el valor${\displaystyle 1}$en${\displaystyle 0}$.

La función${\displaystyle u\mapsto \operatorname {dn} (u,m)}$es la única función elíptica que tiene polos simples en${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$(con${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$) con residuos${\displaystyle (-1)^{s-1}i}$tomando el valor${\displaystyle 1}$en${\displaystyle 0}$.

Configuración${\displaystyle m=-1}$proporciona las funciones elípticas de la lemniscata${\displaystyle \operatorname {sl} }$y${\displaystyle \operatorname {cl} }$:

$${\displaystyle \operatorname {sl} u=\operatorname {sn} (u,-1),\quad \operatorname {cl} u=\operatorname {cd} (u,-1)={\frac {\operatorname {cn} (u,-1)}{\operatorname {dn} (u,-1)}}.}$$

Cuando${\displaystyle m=0}$o${\displaystyle m=1}$Las funciones elípticas de Jacobi se reducen a funciones no elípticas:

Para la amplitud de Jacobi,${\displaystyle \operatorname {am} (u,0)=u}$y${\displaystyle \operatorname {am} (u,1)=\operatorname {gd} u}$dónde${\displaystyle \operatorname {gd} }$es la función de Gudermann .

En general, si ninguno de p,q es d, entonces${\displaystyle \operatorname {pq} (u,1)=\operatorname {pq} (\operatorname {gd} (u),0)}$.