Grupo Janko J 2

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Janko J ₂ o el grupo de Hall-Janko HJ es un grupo simple esporádico de orden

   604.800 = 2 ⁷ · 3 ³ · 5 ² · 7   

≈ 6 × 10⁵ .

J2 es uno de los 26 grupos esporádicos y también se le conoce como grupo de Hall-Janko-Wales . En 1969, _Zvonimir Janko predijo J2 _como uno de dos nuevos grupos simples que tienen 2 ¹⁺⁴ :A ₅ como centralizador de una involución (el otro es el grupo de Janko J3 ). Fue construido por Marshall Hall y David Wales ( 1968 ) como un grupo de permutación de rango 3 sobre 100 puntos. 

Tanto el multiplicador de Schur como el grupo de automorfismos externos tienen orden 2. Como grupo de permutaciones de 100 puntos, J ₂ tiene involuciones que mueven los 100 puntos y otras que mueven solo 80. Las primeras involuciones son productos de 25 transportes dobles, un número impar, y por lo tanto se elevan a 4 elementos en el recubrimiento doble 2.A _100. El recubrimiento doble 2.J ₂ aparece como un subgrupo del grupo de Conway Co ₀ .

J2 es el único de los cuatro grupos de Janko que es un subcociente del grupo monstruo ; por lo tanto _, forma parte de lo que Robert Griess denomina la Familia Feliz. Dado que también se encuentra en el grupo de Conway Co1 , pertenece a la segunda generación de la Familia Feliz.

Es un subgrupo de índice dos del grupo de automorfismos del grafo de Hall-Janko , que conduce a una representación de permutación de grado 100. También es un subgrupo de índice dos del grupo de automorfismos del octágono cercano de Hall-Janko , ^{[ 1 ]} que conduce a una representación de permutación de grado 315.

Tiene una representación modular de dimensión seis sobre el campo de cuatro elementos; si en característica dos tenemos w ² + w + 1 = 0 , entonces J ₂ es generado por las dos matrices.

${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2}&0&0\\w &1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\mathbf {B} }={\begin{pmatrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2}&1&0\\0& 0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{pmatrix}}.}$

Estas matrices satisfacen las ecuaciones

${\displaystyle {\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.}$

(Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices en un cuerpo finito de orden 4 se define de forma ligeramente diferente a la multiplicación de matrices ordinaria. Consulte Cuerpo finito §  Cuerpo con cuatro elementos para ver las tablas específicas de suma y multiplicación, donde w ^es igual a a y w₂ es igual a 1 + a ).

J ₂ es, por lo tanto, un grupo de Hurwitz , una imagen homomórfica finita del grupo triangular (2,3,7) .

La representación matricial dada anteriormente constituye una incrustación en el grupo de Dickson G ₂ (4) . Solo hay una clase de conjugación de J ₂ en G ₂ (4). Todo subgrupo J ₂ contenido en G ₂ (4) se extiende a un subgrupo J ₂ :2  = Aut(J ₂ ) en G ₂ (4):2  = Aut( G ₂ (4)) ( G ₂ (4) extendido por los automorfismos de cuerpo de F ₄ ). G ₂ (4) es a su vez isomorfo a un subgrupo del grupo de Conway Co ₁ .

Existen 9 clases de conjugación de subgrupos máximos de J ₂ . Algunas se describen aquí en términos de acción sobre el grafo de Hall-Janko.

El orden máximo de cualquier elemento es 15. Como permutaciones, los elementos actúan sobre los 100 vértices del grafo de Hall-Janko.

• Robert L. Griess , Jr., "Doce grupos esporádicos", Springer-Verlag, 1998.
• Hall, Marshall ; Wales, David (1968), "El grupo simple de orden 604,800", Journal of Algebra , 9 (4): 417–450 , doi : 10.1016/0021-8693(68)90014-8 , ISSN 0021-8693 , MR 0240192  (Griess relata [p.  123] cómo Marshall Hall, como editor de The Journal of Algebra , recibió un artículo muy breve titulado "Un grupo simple de orden 604801". Sí, 604801 es primo).
• Janko, Zvonimir (1969), "Algunos nuevos grupos simples de orden finito. I", Symposia Mathematica (INDAM, Roma, 1967/68), Vol. 1 , Boston, MA: Academic Press , pp. 25–64 , MR 0244371  
• Wales, David B., "La unicidad del grupo simple de orden 604800 como subgrupo de SL(6,4)", Journal of Algebra 11 (1969), 455–460.
• Wales, David B., "Generadores del grupo de Hall-Janko como subgrupo de G2(4)", Journal of Algebra 13 (1969), 513–516, doi : 10.1016/0021-8693(69)90113-6 , MR 0251133 , ISSN 0021-8693  

• MathWorld: Grupos de Janko
• Atlas de representaciones de grupos finitos: J ₂
• El retículo de subgrupos de J ₂