colector de Kähler

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial , una variedad de Kähler es una variedad con tres estructuras mutuamente compatibles: una estructura compleja , una estructura riemanniana y una estructura simpléctica . El concepto fue estudiado por primera vez por Jan Arnoldus Schouten y David van Dantzig en 1930, y posteriormente introducido por Erich Kähler en 1933. La terminología fue fijada por André Weil . La geometría de Kähler se refiere al estudio de las variedades de Kähler, su geometría y topología, así como al estudio de las estructuras y construcciones que se pueden realizar sobre ellas, por ejemplo, la existencia de conexiones especiales como las conexiones hermíticas de Yang-Mills o métricas especiales como las métricas de Kähler-Einstein .

Toda variedad proyectiva compleja y lisa es una variedad de Kähler. La teoría de Hodge es una parte fundamental de la geometría algebraica , demostrada mediante métricas de Kähler.

Dado que las variedades de Kähler están equipadas con varias estructuras compatibles, pueden describirse desde diferentes puntos de vista. La equivalencia de estos puntos de vista proviene esencialmente del hecho de que el grupo unitario${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$es la intersección de cualesquiera dos grupos entre${\displaystyle \mathrm {GL} _ {n}(\mathbb {C} ),\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$y${\displaystyle \mathrm {O} (2n)}$.

1. Espacio complejo${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$Con la métrica hermitiana estándar, se trata de una variedad de Kähler.
2. Un toro complejo compacto${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$con${\displaystyle \Lambda }$una red completa hereda una métrica plana de la métrica euclidiana en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$y, por lo tanto, es una variedad de Kähler compacta.
3. Toda métrica riemanniana en una 2-variedad orientada es de Kähler. (De hecho, su grupo de holonomía está contenido en el grupo de rotación).${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$, que es igual al grupo unitario${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$En particular, una 2-variedad riemanniana orientada es una superficie de Riemann de forma canónica; esto se conoce como la existencia de coordenadas isotérmicas . Por el contrario, toda superficie de Riemann es de Kähler, ya que la forma de Kähler de cualquier métrica hermitiana es cerrada por razones dimensionales.
4. Existe una elección estándar de métrica de Kähler en el espacio proyectivo complejo.${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$, la métrica de Fubini-Study . Una descripción involucra el grupo unitario${\displaystyle \mathrm {U} (n+1)}$, el grupo de automorfismos lineales de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$que conservan la forma hermitiana estándar. La métrica de Fubini-Study es la única métrica riemanniana en${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$(hasta un múltiplo positivo) que es invariante bajo la acción de${\displaystyle \mathrm {U} (n+1)}$en${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$. Una generalización natural de${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$está proporcionada por los espacios simétricos hermitianos de tipo compacto, como los grassmannianos . La métrica de Kähler natural en un espacio simétrico hermitiano de tipo compacto tiene curvatura seccional no negativa.
5. La métrica inducida en una subvariedad compleja de una variedad de Kähler es de Kähler. En particular, cualquier subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, cualquier variedad de Stein (incrustada en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) o cualquier variedad algebraica proyectiva suave (incrustada en${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$) es Kähler. Esto proporciona una gran clase de ejemplos.
6. La unidad abierta de pelota${\displaystyle \mathbb {B} ^{n}}$en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$tiene una métrica de Kähler completa llamada métrica de Bergman , con curvatura seccional holomorfa igual a −1. Una generalización natural de la bola la proporcionan los espacios simétricos hermitianos de tipo no compacto, como el semiespacio superior de Siegel . Todo espacio simétrico hermitiano${\displaystyle X}$de tipo no compacto es biholomorfo a un dominio acotado en algún${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$y la métrica de Bergman de${\displaystyle X}$es una métrica de Kähler completa con curvatura seccional no positiva.
7. Cada superficie K3 es de Kähler (por Siu). ^{[ 4 ]}

Una función suave de valor real${\displaystyle \rho }$En una variedad compleja se dice estrictamente plurisubarmónico si la forma cerrada real (1,1)

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho }$

es positivo, es decir, una forma de Kähler. Aquí${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$son los operadores de Dolbeault . La función${\displaystyle \rho }$se denomina potencial de Kähler para${\displaystyle \omega }$.

Por el contrario, por la versión compleja del lema de Poincaré , conocida como el local${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema , toda métrica de Kähler puede describirse localmente de esta manera. Es decir, si${\displaystyle (X,\omega )}$es una variedad de Kähler, entonces para cada punto${\displaystyle p}$en${\displaystyle X}$Hay un vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle p}$y una función suave de valor real${\displaystyle \rho }$en${\displaystyle U}$de tal manera que${\displaystyle {\omega \vert }_{U}=(i/2)\partial {\bar {\partial }}\rho }$. ^{[ 5 ]} Aquí${\displaystyle \rho }$se denomina potencial local de Kähler para${\displaystyle \omega }$No existe una forma comparable de describir una métrica riemanniana general en términos de una sola función.

En un colector Kähler${\displaystyle (X,\omega )}$de dimensión${\displaystyle n}$, la forma de volumen${\displaystyle {\frac {\omega ^{n}}{n!}}}$asociado con la forma simpléctica${\displaystyle \omega }$es también la forma de volumen riemanniana de la métrica${\displaystyle g=\mathrm {Re} (\omega )}$. ^{[ 6 ]}

Una característica específica de las variedades de Kähler compactas es el hecho de que el volumen de un subespacio complejo cerrado de${\displaystyle Y}$está determinado por su clase fundamental${\displaystyle [Y]}$visto en${\displaystyle H_{*}(X,\mathbb {Z} )}$En cierto sentido, esto significa que la geometría de un subespacio complejo está acotada en términos de su topología. (Esto falla completamente para las subvariedades reales). Explícitamente, la fórmula de Wirtinger dice que

${\displaystyle \mathrm {vol} (Y)={\frac {1}{r!}}\int _{Y}\omega ^{r}}$

dónde${\displaystyle Y}$es un subespacio complejo cerrado de dimensión r y${\displaystyle \omega }$es la forma de Kähler. ^{[ 7 ]} Desde${\displaystyle \omega }$es cerrada, esta integral depende solo de la clase fundamental de${\displaystyle Y}$en${\displaystyle H_{2r}(X,\mathbb {R} )}$y puede expresarse como

${\displaystyle \mathrm {vol} (Y)={\frac {1}{r!}}[\omega ]^{r}\cdot [Y],}$.

Estos volúmenes son siempre positivos, lo que expresa una fuerte positividad de la clase Kähler.${\displaystyle \omega }$en${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$con respecto a subespacios complejos. En particular,${\displaystyle \omega ^{n}\neq 0}$para un colector Kähler compacto${\displaystyle X}$de dimensión compleja${\displaystyle n\geq 1}$.

Un hecho relacionado es que cada subespacio complejo cerrado${\displaystyle Y}$de un colector Kähler compacto${\displaystyle X}$es una subvariedad mínima (fuera de su conjunto singular). Más aún: según la teoría de la geometría calibrada ,${\displaystyle Y}$minimiza el volumen entre todos los ciclos (reales) en la misma clase de homología.

Como consecuencia de la fuerte interacción entre las estructuras suaves, complejas y riemannianas en una variedad de Kähler, existen identidades naturales entre los diversos operadores en las formas diferenciales complejas de las variedades de Kähler que no se cumplen para variedades complejas arbitrarias. Estas identidades relacionan la derivada exterior.${\displaystyle d}$los operadores de Dolbeault${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$y sus adjuntos, los laplacianos${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$y el operador de Lefschetz${\displaystyle L:=\omega \wedge -}$y su adjunto, el operador de contracción${\displaystyle \Lambda =L^{*}}$[ ^{8 ]} Las identidades forman la base del conjunto de herramientas analíticas sobre variedades de Kähler y, combinadas con la teoría de Hodge, son fundamentales para demostrar muchas propiedades importantes de las variedades de Kähler y su cohomología. En particular, las identidades de Kähler son cruciales para demostrar los ^teoremas de anulación de Kodaira y Nakano , el teorema del hiperplano de Lefschetz , el teorema de Hard Lefschetz , las relaciones bilineales de Hodge-Riemann y el teorema del índice de Hodge .

En una variedad riemanniana de dimensión${\displaystyle n}$, el laplaciano en superficies lisas${\displaystyle r}$-forms se define por ${\displaystyle \Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d}$ dónde${\displaystyle d}$es la derivada exterior y${\displaystyle d^{*}=-(-1)^{n(r+1)}\star d\,\star }$, dónde${\displaystyle \star }$es el operador estrella de Hodge . (De manera equivalente,${\displaystyle d^{*}}$es el adjunto de${\displaystyle d}$con respecto al producto interno L ² en${\displaystyle r}$-formas con soporte compacto.) Para una variedad hermitiana${\displaystyle X}$,${\displaystyle d}$y${\displaystyle d^{*}}$se descomponen como

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},}$

y se definen otros dos laplacianos:

${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .}$

Si${\displaystyle X}$es Kähler, las identidades de Kähler implican que estos laplacianos son todos iguales salvo una constante: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.}$

Estas identidades implican que en una variedad de Kähler${\displaystyle X}$,

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X),}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}}$es el espacio de armónico${\displaystyle r}$-formularios en${\displaystyle X}$(formularios${\displaystyle \alpha }$con${\displaystyle \Delta \alpha =0}$) y${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}}$es el espacio de armónico${\displaystyle (p,q)}$-formas . Es decir, una forma diferencial${\displaystyle \alpha }$es armónico si y solo si cada uno de sus${\displaystyle (p,q)}$-Los componentes son armónicos.

Además, para un colector Kähler compacto${\displaystyle X}$Cada clase de cohomología en De Rham o en la cohomología de Dolbeault contiene un representante armónico único. Por lo tanto, la descomposición de las formas armónicas en componentes (p,q) da lugar a la descomposición de Hodge.

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbb {R} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X,\mathbb {C} ).}$

La teoría de Hodge proporciona además una interpretación de esta división que no depende de la elección de la métrica de Kähler. Es decir, la cohomología${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )}$de${\displaystyle X}$con coeficientes complejos se divide como una suma directa de ciertos grupos de cohomología de haces coherentes : ^{[ 10 ]}

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p}).}$

El grupo de la izquierda depende únicamente de${\displaystyle X}$como un espacio topológico, mientras que los grupos de la derecha dependen de${\displaystyle X}$como una variedad compleja. Así, este teorema de descomposición de Hodge conecta la topología y la geometría compleja para variedades de Kähler compactas.

Alternativamente, se puede demostrar que la descomposición de Hodge es independiente de la métrica de Kähler utilizando la cohomología de Bott-Chern ^{[ 11 ]} .

Dejar${\displaystyle H^{p,q}(X)}$sea ​​el espacio vectorial complejo${\displaystyle H^{q}(X,\Omega ^{p})}$, que puede identificarse con el espacio${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}(X)}$de formas armónicas con respecto a una métrica de Kähler dada. Los números de Hodge de${\displaystyle X}$se definen por${\displaystyle h^{p,q}(X)=\mathrm {dim} _{\mathbf {C} }H^{p,q}(X)}$La descomposición de Hodge implica una descomposición de los números de Betti de una variedad de Kähler compacta .${\displaystyle X}$en términos de sus números de Hodge:

${\displaystyle b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q}.}$

Los números de Hodge de una variedad de Kähler compacta satisfacen varias identidades. La simetría de Hodge${\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}}$se cumple porque el laplaciano${\displaystyle \Delta _{d}}$es un verdadero operador, y por lo tanto${\displaystyle H^{p,q}={\overline {H^{q,p}}}}$. La identidad${\displaystyle h^{p,q}=h^{n-p,n-q}}$se puede demostrar usando que el operador estrella de Hodge da un isomorfismo${\displaystyle H^{p,q}\cong {\overline {H^{n-p,n-q}}}}$. También se deduce de la dualidad de Serre .

Una consecuencia simple de la teoría de Hodge es que cada número de Betti impar${\displaystyle b_{2a+1}}$de una variedad de Kähler compacta es par, por simetría de Hodge. Esto no es cierto para las variedades complejas compactas en general, como lo demuestra el ejemplo de la superficie de Hopf , que es difeomorfa a${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{3}}$y por lo tanto tiene${\displaystyle b_{1}=1}$.

El "paquete de Kähler" es una colección de restricciones adicionales sobre la cohomología de las variedades de Kähler compactas, basadas en la teoría de Hodge. Los resultados incluyen el teorema del hiperplano de Lefschetz , el teorema de Lefschetz duro y las relaciones bilineales de Hodge-Riemann . ^{[ 12 ]} Un resultado relacionado es que toda variedad de Kähler compacta es formal en el sentido de la teoría de homotopía racional. ^{[ 13 ]}

La cuestión de qué grupos pueden ser grupos fundamentales de variedades de Kähler compactas, llamadas grupos de Kähler , está abierta. La teoría de Hodge impone muchas restricciones sobre los posibles grupos de Kähler. ^{[ 14 ]} La restricción más simple es que la abelianización de un grupo de Kähler debe tener rango par, ya que el número de Betti${\displaystyle b_{1}}$de una variedad de Kähler compacta es par. (Por ejemplo, los enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$(no es el grupo fundamental de una variedad de Kähler compacta). Las extensiones de la teoría, como la teoría de Hodge no abeliana, dan más restricciones sobre qué grupos pueden ser grupos de Kähler.

Sin la condición de Kähler, la situación es sencilla: Clifford Taubes demostró que todo grupo finitamente presentado surge como el grupo fundamental de alguna variedad compleja compacta de dimensión 3. ^{[ 15 ]} (Recíprocamente, el grupo fundamental de cualquier variedad cerrada es finitamente presentado).

El teorema de incrustación de Kodaira caracteriza las variedades proyectivas complejas suaves entre todas las variedades de Kähler compactas. Es decir, una variedad compleja compacta.${\displaystyle X}$es proyectivo si y solo si existe una forma de Kähler${\displaystyle \omega }$en${\displaystyle X}$cuya clase en${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$está en la imagen del grupo de cohomología integral${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$. (Porque un múltiplo positivo de una forma de Kähler es una forma de Kähler, es equivalente decir que${\displaystyle X}$tiene una forma de Kähler cuya clase en${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$proviene de${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Q} )}$.) De forma equivalente,${\displaystyle X}$es proyectivo si y solo si existe un fibrado de líneas holomorfo.${\displaystyle L}$en${\displaystyle X}$con una métrica hermitiana cuya forma de curvatura${\displaystyle \Theta }$es positivo (ya que${\displaystyle {\frac {i}{2\pi }}\Theta }$es entonces una forma de Kähler que representa la primera clase de Chern de${\displaystyle L}$en${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$Cualquier forma de Kähler${\displaystyle \omega }$cuya clase en${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$pertenece a${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$se llama forma de Hodge en${\displaystyle X}$y la métrica riemanniana asociada con${\displaystyle \omega }$Se denomina métrica de Hodge. Una variedad de Kähler compacta dotada de una métrica de Hodge se denomina variedad de Hodge. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

Muchas propiedades de las variedades de Kähler se mantienen en la generalidad ligeramente mayor de${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-variedades, es decir, variedades complejas compactas para las cuales la${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$El lema se cumple. En particular, la cohomología de Bott-Chern es una alternativa a la cohomología de Dolbeault de variedades complejas compactas, y son isomorfas si y solo si la variedad satisface la${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema, y ​​en particular coinciden cuando la variedad es de Kähler. En general, el núcleo del mapa natural de la cohomología de Bott-Chern a la cohomología de Dolbeault contiene información sobre el hecho de que la variedad no sea de Kähler. ^{[ 18 ]}

Toda curva compleja compacta es proyectiva, pero en dimensión compleja al menos 2, existen muchas variedades de Kähler compactas que no son proyectivas; por ejemplo, la mayoría de los toros complejos compactos no lo son. Cabe preguntarse si toda variedad de Kähler compacta puede, al menos, deformarse (variando continuamente la estructura compleja) a una variedad proyectiva lisa. El trabajo de Kunihiko Kodaira sobre la clasificación de superficies implica que toda variedad de Kähler compacta de dimensión compleja 2 puede, en efecto, deformarse a una variedad proyectiva lisa. Sin embargo, Claire Voisin descubrió que esto no se cumple en dimensiones al menos 4. Construyó una variedad de Kähler compacta de dimensión compleja 4 que ni siquiera es homotópicamente equivalente a ninguna variedad proyectiva compleja lisa. ^{[ 19 ]}

También se puede solicitar una caracterización de las variedades de Kähler compactas entre todas las variedades complejas compactas. En dimensión compleja 2, Kodaira y Yum-Tong Siu demostraron que una superficie compleja compacta tiene una métrica de Kähler si y solo si su primer número de Betti es par. ^{[ 4 ]} Buchdahl y Lamari proporcionaron independientemente una demostración alternativa de este resultado que no requiere el difícil estudio caso por caso utilizando la clasificación de superficies complejas compactas. ^{[ 20 ] [ 21 ]} Por lo tanto, "Kähler" es una propiedad puramente topológica para superficies complejas compactas. El ejemplo de Hironaka muestra, sin embargo, que esto falla en dimensiones de al menos 3. En más detalle, el ejemplo es una familia de 1 parámetro de variedades complejas compactas lisas de dimensión 3 tales que la mayoría de las fibras son de Kähler (e incluso proyectivas), pero una fibra no es de Kähler. De este modo, una variedad de Kähler compacta puede ser difeomorfa a una variedad compleja no de Kähler.

Una variedad de Kähler se denomina variedad de Kähler-Einstein si tiene curvatura de Ricci constante . De forma equivalente, el tensor de curvatura de Ricci es igual a una constante.${\displaystyle \lambda }$veces el tensor métrico ,${\displaystyle \mathrm {Ric} =\lambda g}$La referencia a Einstein proviene de la relatividad general , que afirma que, en ausencia de masa, el espacio-tiempo es una variedad lorentziana de cuatro dimensiones con curvatura de Ricci nula. Para más detalles, consulte el artículo sobre variedades de Einstein .

Aunque la curvatura de Ricci se define para cualquier variedad riemanniana, desempeña un papel especial en la geometría de Kähler: la curvatura de Ricci de una variedad de Kähler.${\displaystyle X}$puede ser visto como una forma cerrada real (1,1) que representa la primera clase de Chern del fibrado tangente de${\displaystyle X}$en${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$De ello se deduce que el fibrado canónico de una variedad compacta de Kähler-Einstein${\displaystyle X}$es anti-amplio, homológicamente trivial o amplio , dependiendo de si la constante${\displaystyle \lambda }$es positivo, cero o negativo. Las variedades de Kähler compactas de esos tres tipos se denominan variedades de Fano , Calabi-Yau o con fibrado canónico amplio (lo que implica el tipo general ), respectivamente. Por el teorema de inmersión de Kodaira, las variedades de Fano y las variedades con fibrado canónico amplio son automáticamente variedades proyectivas.

Shing-Tung Yau demostró la conjetura de Calabi : toda variedad proyectiva lisa con fibrado canónico amplio tiene una métrica de Kähler-Einstein (con curvatura de Ricci negativa constante), y toda variedad de Calabi-Yau tiene una métrica de Kähler-Einstein (con curvatura de Ricci cero). Estos resultados son importantes para la clasificación de variedades algebraicas, con aplicaciones como la desigualdad de Miyaoka-Yau para variedades con fibrado canónico amplio y la descomposición de Beauville-Bogomolov para variedades de Calabi-Yau. ^{[ 22 ]}

Por el contrario, no todas las variedades de Fano lisas poseen una métrica de Kähler-Einstein (que tendría una curvatura de Ricci positiva constante). Sin embargo, Xiuxiong Chen, Simon Donaldson y Song Sun demostraron la conjetura de Yau- Tian -Donaldson: una variedad de Fano lisa posee una métrica de Kähler-Einstein si y solo si es K-estable , una condición puramente algebraico-geométrica.

En situaciones donde no puede existir una métrica de Kähler-Einstein, es posible estudiar generalizaciones suaves, incluyendo métricas de Kähler de curvatura escalar constante y métricas de Kähler extremales . Cuando puede existir una métrica de Kähler-Einstein, estas generalizaciones más amplias son automáticamente de Kähler-Einstein.

• Colectivo casi complejo
• Variedad de Hyperkähler
• Variedad de cuaterniones de Kähler
• Funcional de energía K

• "Variedad de Kähler" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Moroianu, Andrei (2004), Conferencias sobre geometría de Kähler (PDF)