Superficie K3

En matemáticas , una superficie analítica compleja K3 es una variedad compleja compacta y conexa de dimensión 2 con un fibrado canónico trivial e irregularidad cero. Una superficie (algebraica) K3 sobre cualquier cuerpo es una superficie algebraica lisa , propia y geométricamente conexa que satisface las mismas condiciones. En la clasificación de superficies de Enriques-Kodaira , las superficies K3 forman una de las cuatro clases de superficies mínimas de dimensión cero de Kodaira. Un ejemplo sencillo es la superficie cuártica de Fermat.${\estilo de texto x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0}$en el espacio proyectivo complejo de 3 dimensiones .

Junto con los toros complejos compactos bidimensionales , las superficies K3 son las variedades de Calabi-Yau (y también las variedades hiperkähler ) de dimensión dos. Como tales, se encuentran en el centro de la clasificación de superficies algebraicas, entre las superficies de del Pezzo de curvatura positiva (que son fáciles de clasificar) y las superficies de curvatura negativa de tipo general (que son esencialmente inclasificables). Las superficies K3 pueden considerarse las variedades algebraicas más simples cuya estructura no se reduce a curvas o variedades abelianas , y donde, sin embargo, es posible una comprensión sustancial. Una superficie K3 compleja tiene dimensión real 4 y juega un papel importante en el estudio de las 4-variedades lisas . Las superficies K3 se han aplicado a las álgebras de Kac-Moody , la simetría especular y la teoría de cuerdas .

Puede resultar útil considerar las superficies algebraicas K3 complejas como parte de la familia más amplia de superficies analíticas K3 complejas. Muchos otros tipos de variedades algebraicas no presentan tales deformaciones no algebraicas.

Existen varias formas equivalentes de definir superficies K3. Las únicas superficies complejas compactas con fibrado canónico trivial son las superficies K3 y los toros complejos compactos, por lo que se puede añadir cualquier condición que excluya estos últimos para definir superficies K3. Por ejemplo, es equivalente definir una superficie analítica K3 compleja como una variedad compleja compacta simplemente conexa de dimensión 2 con una 2-forma holomorfa que no se anula en ningún punto . (Esta última condición indica precisamente que el fibrado canónico es trivial).

También existen algunas variantes de la definición. Sobre los números complejos, algunos autores consideran únicamente las superficies algebraicas K3. (Una superficie algebraica K3 es automáticamente proyectiva . ^{[ 1 ]} ) O bien se puede permitir que las superficies K3 tengan singularidades de du Val (las singularidades canónicas de dimensión 2), en lugar de ser suaves.

Los números de Betti de una superficie analítica K3 compleja se calculan de la siguiente manera. ^{[ 2 ]} (Un argumento similar da la misma respuesta para los números de Betti de una superficie algebraica K3 sobre cualquier cuerpo, definida mediante cohomología l-ádica ). Por definición, el fibrado canónico${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{2}}$es trivial, y la irregularidad q ( X ) (la dimensión${\displaystyle h^{1}(X,O_{X})}$del grupo de cohomología de haces coherentes${\displaystyle H^{1}(X,O_{X})}$) es cero. Por dualidad de Serre ,

$${\displaystyle h^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.}$$

Como resultado, el género aritmético (o característica de Euler holomorfa ) de X es:

$${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1-0+1=2.}$$

Por otro lado, el teorema de Riemann-Roch (fórmula de Noether) dice:

$${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right),}$$

dónde${\displaystyle c_{i}(X)}$es la i -ésima clase de Chern del fibrado tangente . Dado que${\displaystyle K_{X}}$es trivial, su primera clase Chern${\displaystyle c_{1}(K_{X})=-c_{1}(X)}$es cero, y por lo tanto${\displaystyle c_{2}(X)=24}$.

A continuación, la secuencia exponencial.${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{X}\to O_{X}\to O_{X}^{*}\to 0}$proporciona una secuencia exacta de grupos de cohomología${\displaystyle 0\to H^{1}(X,\mathbb {Z} )\to H^{1}(X,O_{X})}$, y entonces${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )=0}$Por lo tanto, el número de Betti${\displaystyle b_{1}(X)}$es cero, y por la dualidad de Poincaré ,${\displaystyle b_{3}(X)}$también es cero. Finalmente,${\displaystyle c_{2}(X)=24}$es igual a la característica topológica de Euler

$${\displaystyle \chi (X)=\sum _{i}(-1)^{i}b_{i}(X).}$$

Desde${\displaystyle b_{0}(X)=b_{4}(X)=1}$y${\displaystyle b_{1}(X)=b_{3}(X)=0}$De ello se deduce que${\displaystyle b_{2}(X)=22}$. ^{[ 3 ]}

• La doble cubierta X del plano proyectivo ramificado a lo largo de una curva séxtica suave (grado 6) es una superficie K3 de género 2 (es decir, grado 2 g −2 = 2). (Esta terminología significa que la imagen inversa en X de un hiperplano general en${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$es una curva suave de género 2.)
• Una superficie cuártica lisa (grado 4) en${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$es una superficie K3 de género 3 (es decir, grado 4).
• Una superficie de Kummer es el cociente de una variedad abeliana bidimensional A por la acción${\displaystyle a\mapsto -a}$Esto da como resultado 16 singularidades, en los puntos de torsión 2 de A. La resolución mínima de esta superficie singular también puede llamarse superficie de Kummer; esa resolución es una superficie K3. Cuando A es el jacobiano de una curva de género 2, Kummer demostró que el cociente${\displaystyle A/(\pm 1)}$puede ser incrustado en${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$como una superficie cuártica con 16 nodos .
• En términos más generales: para cualquier superficie cuártica Y con singularidades de du Val, la resolución mínima de Y es una superficie algebraica K3.
• La intersección de una cuádrica y una cúbica en${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$es una superficie K3 de género 4 (es decir, grado 6).
• La intersección de tres cuádricas en${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}}$es una superficie K3 de género 5 (es decir, grado 8).
• La intersección completa de dos formas bihomogéneas de grados dobles${\displaystyle (1,2)}$y${\displaystyle (2,1)}$en${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}}$es una superficie K3, típicamente de rango Picard 2
• Existen varias bases de datos de superficies K3 con singularidades de du Val en espacios proyectivos ponderados . ^{[ 10 ]}

El grupo de Picard Pic( X ) de una superficie analítica compleja K3 X es el grupo abeliano de haces de líneas analíticas complejas sobre X. Para una superficie algebraica K3, Pic( X ) es el grupo de haces de líneas algebraicas sobre X. Ambas definiciones coinciden para una superficie algebraica compleja K3, según el teorema GAGA de Jean-Pierre Serre .

El grupo de Picard de una superficie K3 X es siempre un grupo abeliano libre finitamente generado ; su rango se denomina número de Picard.${\displaystyle \rho }$. En el caso complejo, Pic( X ) es un subgrupo de${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}}$. Es una característica importante de las superficies K3 que pueden aparecer muchos números de Picard diferentes. Para X una superficie K3 algebraica compleja,${\displaystyle \rho }$puede ser cualquier número entero entre 1 y 20. En el caso analítico complejo,${\displaystyle \rho }$también puede ser cero. (En ese caso, X no contiene ninguna curva compleja cerrada. Por el contrario, una superficie algebraica siempre contiene muchas familias continuas de curvas). Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 0, existe una clase especial de superficies K3, superficies K3 supersingulares , con número de Picard 22.

La red de Picard de una superficie K3 es el grupo abeliano Pic( X ) junto con su forma de intersección, una forma bilineal simétrica con valores en los enteros. (Sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$, la forma de intersección es la restricción de la forma de intersección en${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$. Sobre un campo general, la forma de intersección se puede definir utilizando la teoría de intersección de curvas en una superficie, identificando el grupo de Picard con el grupo de clases divisor .) La red de Picard de una superficie K3 es siempre par , lo que significa que el entero${\displaystyle u^{2}}$es uniforme para cada${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$.

El teorema del índice de Hodge implica que la red de Picard de una superficie algebraica K3 tiene signatura${\displaystyle (1,\rho -1)}$Muchas propiedades de una superficie K3 están determinadas por su retículo de Picard, como una forma bilineal simétrica sobre los enteros. Esto conduce a una fuerte conexión entre la teoría de superficies K3 y la aritmética de formas bilineales simétricas. Como primer ejemplo de esta conexión: una superficie analítica compleja K3 es algebraica si y solo si existe un elemento${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$con${\displaystyle u^{2}>0}$. ^{[ 11 ]}

En términos generales, el espacio de todas las superficies analíticas complejas K3 tiene dimensión compleja 20, mientras que el espacio de superficies K3 con número de Picard${\displaystyle \rho }$tiene dimensión${\displaystyle 20-\rho }$(excluyendo el caso supersingular). En particular, las superficies algebraicas K3 aparecen en familias de 19 dimensiones. A continuación se ofrecen más detalles sobre los espacios de módulos de las superficies K3.

La descripción precisa de qué redes pueden aparecer como redes de Picard de superficies K3 es complicada. Una afirmación clara, debida a Viacheslav Nikulin y David Morrison , es que toda red par de signatura${\displaystyle (1,\rho -1)}$con${\displaystyle \rho \leq 11}$es la red de Picard de alguna superficie proyectiva K3 compleja. ^{[ 12 ]} El espacio de tales superficies tiene dimensión${\displaystyle 20-\rho }$.

Una subclase importante de superficies K3, más fácil de analizar que el caso general, consiste en las superficies K3 con una fibración elíptica.${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$"Elíptico" significa que todas las fibras de este morfismo, salvo un número finito, son curvas suaves de género 1. Las fibras singulares son uniones de curvas racionales , y los posibles tipos de fibras singulares están clasificados por Kodaira. Siempre hay algunas fibras singulares, ya que la suma de las características topológicas de Euler de las fibras singulares es${\displaystyle \chi (X)=24}$. Una superficie elíptica K3 general tiene exactamente 24 fibras singulares, cada una de tipo${\displaystyle I_{1}}$(una curva cúbica nodal). ^{[ 13 ]}

Si una superficie K3 es elíptica se puede leer a partir de su red de Picard. Es decir, en característica no 2 o 3, una superficie K3 X tiene una fibración elíptica si y solo si hay un elemento no nulo.${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$con${\displaystyle u^{2}=0}$. ^{[ 14 ]} (En característica 2 o 3, esta última condición también puede corresponder a una fibración cuasi-elíptica .) De ello se deduce que tener una fibración elíptica es una condición de codimensión 1 en una superficie K3. Por lo tanto, existen familias de 19 dimensiones de superficies analíticas complejas K3 con una fibración elíptica, y espacios de módulos de 18 dimensiones de superficies proyectivas K3 con una fibración elíptica.

Ejemplo: Cada superficie cuártica lisa X en${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$que contiene una línea L tiene una fibración elíptica${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$, dado por la proyección alejándose de L. El espacio de módulos de todas las superficies cuárticas suaves (salvo isomorfismo) tiene dimensión 19, mientras que el subespacio de superficies cuárticas que contiene una línea tiene dimensión 18.

A diferencia de las variedades de curvatura positiva, como las superficies de Del Pezzo, una superficie algebraica K3 compleja X no es unipolar ; es decir, no está cubierta por una familia continua de curvas racionales. Por otro lado, a diferencia de las variedades de curvatura negativa, como las superficies de tipo general, X contiene un amplio conjunto discreto de curvas racionales (posiblemente singulares). En particular, Fedor Bogomolov y David Mumford demostraron que toda curva en X es linealmente equivalente a una combinación lineal positiva de curvas racionales. ^{[ 15 ]}

Otro contraste con las variedades de curvatura negativa es que la métrica de Kobayashi en una superficie analítica K3 compleja X es idénticamente cero. La demostración utiliza que una superficie algebraica K3 X siempre está cubierta por una familia continua de imágenes de curvas elípticas. ^{[ 16 ]} (Estas curvas son singulares en X , a menos que X sea una superficie K3 elíptica). Una cuestión más fuerte que permanece abierta es si toda superficie K3 compleja admite una aplicación holomorfa no degenerada de${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$(donde "no degenerado" significa que la derivada del mapa es un isomorfismo en algún punto). ^{[ 17 ]}

Definir una marcación de una superficie analítica K3 compleja X como un isomorfismo de retículos de${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$a la red K3${\displaystyle \Lambda =E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$El espacio N de superficies K3 complejas marcadas es una variedad compleja no Hausdorff de dimensión 20. ^{[ 18 ]} El conjunto de clases de isomorfismo de superficies K3 analíticas complejas es el cociente de N por el grupo ortogonal${\displaystyle O(\Lambda )}$, pero este cociente no es un espacio de módulos geométricamente significativo, porque la acción de${\displaystyle O(\Lambda )}$está lejos de ser propiamente discontinuo . ^{[ 19 ]} (Por ejemplo, el espacio de superficies cuárticas suaves es irreducible de dimensión 19, y sin embargo, cada superficie analítica K3 compleja en la familia N de 20 dimensiones tiene deformaciones arbitrariamente pequeñas que son isomorfas a cuárticas suaves. ^{[ 20 ]} ) Por la misma razón, no existe un espacio de módulos significativo de toros complejos compactos de dimensión al menos 2.

El mapeo de periodos envía una superficie K3 a su estructura de Hodge . Enunciado con cuidado, el teorema de Torelli se cumple: una superficie K3 está determinada por su estructura de Hodge. El dominio de periodos se define como la variedad compleja de 20 dimensiones.

$${\displaystyle D=\{u\in P(\Lambda \otimes \mathbb {C} ):u^{2}=0,\,u\cdot {\overline {u}}>0\}.}$$

El mapeo del período${\displaystyle N\to D}$envía una superficie K3 marcada X a la línea compleja${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )\cong \Lambda \otimes \mathbb {C} }$. Esto es sobreyectivo y un isomorfismo local, pero no un isomorfismo (en particular porque D es Hausdorff y N no lo es). Sin embargo, el teorema global de Torelli para superficies K3 dice que el mapa cociente de conjuntos

$${\displaystyle N/O(\Lambda )\to D/O(\Lambda )}$$

es biyectiva. De ello se deduce que dos superficies analíticas K3 complejas X e Y son isomorfas si y solo si existe una isometría de Hodge de${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$a${\displaystyle H^{2}(Y,\mathbb {Z} )}$, es decir, un isomorfismo de grupos abelianos que conserva la forma de intersección y envía${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )}$a${\displaystyle H^{0}(Y,\Omega ^{2})}$. ^{[ 21 ]}

Una superficie K3 polarizada X de género g se define como una superficie K3 proyectiva junto con un fibrado de líneas amplio L tal que L es primitivo (es decir, no es 2 o más veces otro fibrado de líneas) y${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$. Esto también se denomina superficie K3 polarizada de grado 2 g −2. ^{[ 22 ]}

Bajo estas suposiciones, L no tiene punto base . En característica cero, el teorema de Bertini implica que hay una curva suave C en el sistema lineal | L |. Todas estas curvas tienen género g , lo que explica por qué se dice que ( X , L ) tiene género g .

El espacio vectorial de secciones de L tiene dimensión g + 1, por lo que L da un morfismo de X al espacio proyectivo.${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$En la mayoría de los casos, este morfismo es una incrustación, de modo que X es isomorfo a una superficie de grado 2 g −2 en${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$.

Existe un espacio de módulos gruesos irreducible${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$de superficies K3 complejas polarizadas de género g para cada${\displaystyle g\geq 2}$; puede verse como un subconjunto abierto de Zariski de una variedad de Shimura para el grupo SO (2,19) . Para cada g ,${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$es una variedad compleja cuasiproyectiva de dimensión 19. ^{[ 23 ]} Shigeru Mukai demostró que este espacio de módulos es uniracional si${\displaystyle g\leq 13}$o${\displaystyle g=18,20}$Por el contrario, Valery Gritsenko, Klaus Hulek y Gregory Sankaran demostraron que${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$es de tipo general si${\displaystyle g\geq 63}$o${\displaystyle g=47,51,55,58,59,61}$. Voisin (2008) realizó un estudio de esta zona .

Los diferentes espacios de módulos de 19 dimensiones${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$se superponen de una manera intrincada. De hecho, existe un conjunto infinito numerable de subvariedades de codimensión 1 de cada una.${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$correspondientes a superficies K3 de número de Picard al menos 2. Esas superficies K3 tienen polarizaciones de infinitos grados diferentes, no solo 2 g –2. Por lo tanto, se puede decir que infinitos de los otros espacios de módulos${\displaystyle {\mathcal {F}}_{h}}$encontrarse${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$Esto es impreciso, ya que no existe un espacio bien comportado que contenga todos los espacios de módulos.${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$Sin embargo, una versión concreta de esta idea es el hecho de que cualesquiera dos superficies algebraicas K3 complejas son equivalentes por deformación a través de superficies algebraicas K3. ^{[ 24 ]}

De manera más general, una superficie K3 cuasipolarizada de género g significa una superficie K3 proyectiva con un nef primitivo y un gran fibrado lineal L tal que${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$. Dicho fibrado lineal todavía proporciona un morfismo a${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$, pero ahora puede contraer un número finito de (−2)-curvas, de modo que la imagen Y de X sea singular. (Una (−2)-curva en una superficie significa una curva isomorfa a${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$con autointersección −2.) El espacio de módulos de superficies K3 cuasipolarizadas de género g sigue siendo irreducible de dimensión 19 (conteniendo el espacio de módulos anterior como un subconjunto abierto). Formalmente, es mejor verlo como un espacio de módulos de superficies K3 Y con singularidades de du Val. ^{[ 25 ]}

Una característica notable de las superficies algebraicas K3 es que la red de Picard determina muchas propiedades geométricas de la superficie, incluido el cono convexo de divisores amplios (salvo automorfismos de la red de Picard). El cono amplio está determinado por la red de Picard de la siguiente manera. Por el teorema del índice de Hodge, la forma de intersección en el espacio vectorial real${\displaystyle N^{1}(X):=\operatorname {Pic} (X)\otimes \mathbb {R} }$tiene firma${\displaystyle (1,\rho -1)}$. De ello se deduce que el conjunto de elementos de${\displaystyle N^{1}(X)}$con autointersección positiva tiene dos componentes conexas . Llamamos cono positivo a la componente que contiene cualquier divisor amplio en X.

Caso 1: No existe ningún elemento u de Pic( X ) con${\displaystyle u^{2}=-2}$Entonces, el cono amplio es igual al cono positivo. Por lo tanto, es el cono redondo estándar.

Caso 2: De lo contrario, deje${\displaystyle \Delta =\{u\in \operatorname {Pic} (X):u^{2}=-2\}}$, el conjunto de raíces de la red de Picard. Los complementos ortogonales de las raíces forman un conjunto de hiperplanos que pasan por el cono positivo. Entonces, el cono amplio es una componente conexa del complemento de estos hiperplanos en el cono positivo. Cualquier par de estas componentes son isomorfas mediante el grupo ortogonal de la red Pic( X ), ya que este contiene la reflexión a través de cada hiperplano raíz. En este sentido, la red de Picard determina el cono amplio salvo isomorfismo. ^{[ 26 ]}

Una afirmación relacionada, debida a Sándor Kovács, es que conocer un divisor amplio A en Pic( X ) determina todo el cono de curvas de X. Es decir, supongamos que X tiene número de Picard.${\displaystyle \rho \geq 3}$. Si el conjunto de raíces${\displaystyle \Delta }$Si está vacío, entonces el cono cerrado de curvas es el cierre del cono positivo. De lo contrario, el cono cerrado de curvas es el cono convexo cerrado generado por todos los elementos.${\displaystyle u\in \Delta }$con${\displaystyle A\cdot u>0}$. En el primer caso, X no contiene (−2)-curvas; en el segundo caso, el cono cerrado de curvas es el cono convexo cerrado generado por todas las (−2)-curvas. ^{[ 27 ]} (Si${\displaystyle \rho =2}$, existe otra posibilidad: el cono de curvas puede estar abarcado por una curva (−2) y una curva con autointersección 0.) Por lo tanto, el cono de curvas es o bien el cono redondo estándar, o bien tiene "esquinas afiladas" (porque cada curva (−2) abarca un rayo extremo aislado del cono de curvas).

Las superficies K3 son algo inusuales entre las variedades algebraicas, ya que sus grupos de automorfismos pueden ser infinitos, discretos y altamente no abelianos. Mediante una versión del teorema de Torelli, la red de Picard de una superficie K3 algebraica compleja X determina el grupo de automorfismos de X salvo conmensurabilidad . Es decir, sea el grupo de Weyl W el subgrupo del grupo ortogonal O (Pic( X )) generado por reflexiones en el conjunto de raíces.${\displaystyle \Delta }$Entonces W es un subgrupo normal de O (Pic( X )), y el grupo de automorfismos de X es conmensurable con el grupo cociente O (Pic( X ))/ W . Una afirmación relacionada, debida a Hans Sterk, es que Aut( X ) actúa sobre el cono nef de X con un dominio fundamental poliédrico racional . ^{[ 28 ]}

Las superficies K3 aparecen casi de forma ubicua en la dualidad de cuerdas y proporcionan una herramienta importante para su comprensión. Las compactificaciones de cuerdas en estas superficies no son triviales, pero son lo suficientemente simples como para analizar la mayoría de sus propiedades en detalle. La cuerda de tipo IIA, la cuerda de tipo IIB, la cuerda heterótica E ₈ ×E ₈ , la cuerda heterótica Spin(32)/Z2 y la teoría M están relacionadas por compactificación en una superficie K3. Por ejemplo, la cuerda de tipo IIA compactificada en una superficie K3 es equivalente a la cuerda heterótica compactificada en un toro de 4 dimensiones ( Aspinwall (1996) ).

Superficies cuárticas en${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$fueron estudiadas por Ernst Kummer , Arthur Cayley , Friedrich Schur y otros geómetras del siglo XIX. De manera más general, Federigo Enriques observó en 1893 que para varios números g , existen superficies de grado 2 g −2 en${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$con fibrado canónico trivial e irregularidad cero. ^{[ 29 ]} En 1909, Enriques demostró que tales superficies existen para todo${\displaystyle g\geq 3}$y Francesco Severi demostró que el espacio de módulos de tales superficies tiene dimensión 19 para cada g . ^{[ 30 ]}

André Weil (1958) dio nombre a las superficies K3 (véase la cita anterior) y formuló varias conjeturas influyentes sobre su clasificación. Kunihiko Kodaira completó la teoría básica alrededor de 1960, realizando en particular el primer estudio sistemático de superficies K3 analíticas complejas no algebraicas. Demostró que dos superficies K3 analíticas complejas cualesquiera son equivalentes por deformación y, por lo tanto, difeomorfas, lo cual fue novedoso incluso para superficies K3 algebraicas. Un avance posterior importante fue la demostración del teorema de Torelli para superficies K3 algebraicas complejas por Ilya Piatetski-Shapiro e Igor Shafarevich (1971), extendida a superficies K3 analíticas complejas por Daniel Burns y Michael Rapoport (1975).

• La superficie de Enriques
• Conjetura de Tate
• El fenómeno de Mathieu , una misteriosa relación entre las superficies K3 y el grupo M24 de Mathieu .

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• Página principal de la base de datos de anillos graduados para un catálogo de superficies K3
• Base de datos K3 para el sistema de álgebra computacional Magma.
• La geometría de las superficies K3 , conferencias de David Morrison (1988).