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Articulo de referencia

Punto fijo KPZ

En teoría de la probabilidad , el punto fijo KPZ es un campo de Markov y se conjetura que es un límite universal de una amplia gama de modelos estocásticos que forman la clase d...

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En teoría de la probabilidad , el punto fijo KPZ es un campo de Markov y se conjetura que es un límite universal de una amplia gama de modelos estocásticos que forman la clase de universalidad de una ecuación diferencial parcial estocástica no lineal llamada ecuación KPZ . Aunque la clase de universalidad ya se introdujo en 1986 con la propia ecuación KPZ, el punto fijo KPZ no se especificó concretamente hasta 2021, cuando los matemáticos Konstantin Matetski , Jeremy Quastel y Daniel Remenik dieron una descripción explícita de las probabilidades de transición en términos de determinantes de Fredholm . [ 1 ]

Introducción

Todos los modelos de la clase KPZ tienen en común que poseen una función de altura fluctuante o alguna función análoga, que puede considerarse como una función que modela el crecimiento del modelo en el tiempo. La ecuación KPZ en sí misma también pertenece a esta clase y es el modelo canónico para modelar el crecimiento aleatorio de la interfaz. La conjetura de universalidad KPZ fuerte postula que todos los modelos de la clase de universalidad KPZ convergen bajo un escalado específico de la función de altura al punto fijo KPZ y solo dependen de la condición inicial .

Matetski-Quastel-Remenik construyeron el punto fijo KPZ para el(1+1){\displaystyle (1+1)}Clase de universalidad KPZ de dimensión (es decir, una dimensión espacial y una temporal) en el espacio polaco de funciones semicontinuas superiores (UC) con la topología de convergencia local de UC. Lo hicieron estudiando un modelo particular de la clase de universalidad KPZ, el TASEP («Proceso de exclusión simple totalmente asimétrico»), con condiciones iniciales generales y el paseo aleatorio de su función de altura asociada. Lo lograron reescribiendo la función biorthogonal del núcleo de correlación, que aparece en la fórmula del determinante de Fredholm para la distribución multipunto de las partículas en la cámara de Weyl . Luego demostraron la convergencia al punto fijo. [ 1 ]

Punto fijo KPZ

Dejarh(t,incógnita→){\displaystyle h(t,{\vec {x}})}denota una función de altura de algún modelo probabilístico con(t,incógnita→)∈R×Rd{\displaystyle (t,{\vec {x}})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}}denotando espacio-tiempo. Hasta ahora solo el caso ded=1{\displaystyle d=1}, también conocido como(1+1){\displaystyle (1+1)}Se estudió en profundidad, por lo que fijamos esta dimensión para el resto del artículo. En la clase de universalidad KPZ existen dos puntos de equilibrio o puntos fijos: el punto fijo trivial de Edwards-Wilkinson (EW) y el punto fijo no trivial de KPZ . La ecuación de KPZ los relaciona.

El punto fijo KPZ se define más bien como una función de altura.h(t,incógnita→){\displaystyle {\mathfrak {h}}(t,{\vec {x}})}y no como un modelo particular con una función de altura.

Punto fijo KPZ

El punto fijo KPZ(h(t,incógnita))t≥0,incógnita∈R{\displaystyle ({\mathfrak {h}}(t,x))_{t\geq 0,x\in \mathbb {R} }}es un proceso de Markov, de tal manera que la distribución de n puntos paraincógnita1<incógnita2<⋯<incógnitanorte∈R{\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}\in \mathbb {R} }yt>0{\displaystyle t>0}puede representarse como

PAGh(0,⋅)(h(t,incógnita1)≤a1,h(t,incógnita2)≤a2,…,h(t,incógnitanorte)≤anorte)=det(I−K)L2({incógnita1,incógnita2,…,incógnitanorte}×R){\displaystyle \mathbb {P} _{{\mathfrak {h}}(0,\cdot )}({\mathfrak {h}}(t,x_{1})\leq a_{1},{\mathfrak {h}}(t,x_{2})\leq a_{2},\dots ,{\mathfrak {h}}(t,x_{n})\leq a_{n})=\det(IK)_{L^{2}(\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}\times \mathbb {R} )}}

dóndea1,…,anorte∈R{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} }yK{\displaystyle K}es un operador de clase traza llamado operador de dispersión browniana extendida y el subíndice significa que el proceso enh(0,⋅){\displaystyle {\mathfrak {h}}(0,\cdot )}comienza. [ 1 ]

Conjeturas de universalidad de KPZ

La conjetura KPZ conjetura que la función de alturah(t,incógnita→){\displaystyle h(t,{\vec {x}})}de todos los modelos en la universalidad KPZ en ese momentot{\displaystyle t}fluctúan alrededor de la media con un orden det1/3{\displaystyle t^{1/3}}y la correlación espacial de la fluctuación es de ordent2/3{\displaystyle t^{2/3}}Esto motiva la denominada escala 1:2:3 , que es la escala característica del punto fijo KPZ. El punto fijo EW también tiene una escala 1:2:4 . Los puntos fijos son invariantes bajo su escala asociada.

Escalado 1:2:3

El escalado 1:2:3 de una función de altura es paraε>0{\displaystyle \varepsilon >0}

ε1/2h(ε−3/2t,ε−1incógnita)−doεt,{\displaystyle \varepsilon ^{1/2}h(\varepsilon ^{-3/2}t,\varepsilon ^{-1}x)-C_{\varepsilon }t,}

donde 1:3 y 2:3 representan las proporciones de los exponentes ydoε{\displaystyle C_{\varepsilon }}es simplemente una constante. [ 2 ]

Fuerte conjetura

La fuerte conjetura afirma que todos los modelos de la clase de universalidad KPZ convergen bajo una escala 1:2:3 de la función de altura si sus condiciones iniciales también convergen, es decir,

límiteε→0ε1/2(h(do1ε−3/2t,do2ε−1incógnita)−do3ε−3/2t)=(d)h(t,incógnita){\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-3/2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t)\;{\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathfrak {h}}(t,x)}

con condición inicial

h(0,incógnita):=límiteε→0ε1/2h(0,do2ε−1incógnita),{\displaystyle {\mathfrak {h}}(0,x):=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}h(0,c_{2}\varepsilon ^{-1}x),}

dóndedo1,do2,do3{\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}son constantes que dependen del modelo. [ 3 ]

Conjetura débil

Si eliminamos el término de crecimiento en la ecuación de KPZ, obtenemos

∂th(t,incógnita)=ν∂incógnita2h+σξ,{\displaystyle \partial _{t}h(t,x)=\nu \partial _{x}^{2}h+\sigma \xi ,}

que converge bajo la escala 1:2:4

límiteε→0ε1/2(h(do1ε−2t,do2ε−1incógnita)−do3ε−3/2t)=(d)h(t,incógnita){\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t)\;{\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathfrak {h}}(t,x)}

al punto fijo EW. La conjetura débil dice ahora que la ecuación KPZ es la única órbita heteroclínica entre el punto fijo KPZ y el punto fijo EW.

Proceso aéreo

Si se fija la dimensión temporal y se observa el límite

límitet→∞t−1/3(h(do1t,do2t2/3incógnita)−do3t)=(d)A(incógnita),{\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }t^{-1/3}(h(c_{1}t,c_{2}t^{2/3}x)-c_{3}t){\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathcal {A}}(x),}

Entonces se obtiene el proceso Airy(A(incógnita))incógnita∈R{\displaystyle ({\mathcal {A}}(x))_{x\in \mathbb {R} }}lo cual también ocurre en la teoría de matrices aleatorias . [ 4 ]

Referencias

  1. 1 2 3 Matetski, Konstantin; Quastel, Jeremy; Remenik, Daniel (2021). "El punto fijo KPZ" . Acta Mathematica . 227 (1). International Press of Boston: 115–203 . arXiv : 1701.00018 . doi : 10.4310/acta.2021.v227.n1.a3 .
  2. ↑ Ivan Corwin (2012). "La ecuación de Kardar-Parisi-Zhang y la clase de universalidad". Matrices aleatorias: teoría y aplicaciones . 1 (1). arXiv : 1106.1596 . doi : 10.1142/S2010326311300014 .
  3. ↑ Corwin, Ivan; Quastel, Jeremy; Remenik, Daniel (2015). "Punto fijo de renormalización de la clase de universalidad KPZ". Journal of Statistical Physics . 160 (4). Springer Science and Business Media LLC: 815– 834. arXiv : 1103.3422 . Bibcode : 2015JSP...160..815C . doi : 10.1007/s10955-015-1243-8 .
  4. ↑ Daniel Remenik (2022). "Fluctuaciones integrables en la clase de universalidad KPZ". Contribución a las Actas del ICM 2022. arXiv : 2205.01433 .