Proceso aéreo

Los procesos de Airy son una familia de procesos estocásticos estacionarios que aparecen como procesos límite en la teoría de modelos de crecimiento aleatorio y la teoría de matrices aleatorias . Se conjetura que son límites universales que describen las fluctuaciones espaciales a gran escala y de largo tiempo de los modelos en la clase de universalidad KPZ de (1+1) dimensiones (ecuación de Kardar-Parisi-Zhang) para muchas condiciones iniciales (véase también punto fijo KPZ ).

El proceso original Airy ₂ fue introducido en 2002 por los matemáticos Michael Prähofer y Herbert Spohn . ^{[ 1 ]} Demostraron que la función de altura de un modelo de la clase de universalidad KPZ de (1+1) dimensión, la gota PNG , converge bajo un escalado y una condición inicial adecuados al proceso Airy ₂ y que es un proceso estacionario con trayectorias de muestra casi seguramente continuas.

El proceso de Airy recibe su nombre de la función de Airy . El proceso se puede definir mediante su distribución de dimensión finita con un determinante de Fredholm y el llamado núcleo de Airy extendido . Resulta que la distribución marginal de un punto del proceso de Airy ₂ es la distribución de Tracy-Widom de la GUE .

Existen varios procesos de Airy. El proceso Airy ₁ fue introducido por Tomohiro Sasomoto ^{[ 2 ]} y la distribución marginal de un punto del Airy ₁ es un multiplicador escalar de la distribución de Tracy-Widom del GOE. ^{[ 3 ]} Otro proceso de Airy es el proceso _estadístico de Airy . ^{[ 4 ]}

Los procesos Airy ₁ y Airy ₂ pueden considerarse como el comportamiento límite de las fluctuaciones TASEP con una condición inicial plana o escalonada. ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}}$estar en${\displaystyle \mathbb {R} }$.

El proceso Airy ₂${\displaystyle A_{2}(t)}$tiene la siguiente distribución de dimensión finita

${\displaystyle P(A_{2}(t_{1})<\xi _{1},\dots ,A_{2}(t_{n})<\xi _{n})=\det(1-f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2})_{L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )}}$

dónde

${\displaystyle f:=f(t_{j},\xi )=1_{\{(\xi _{j},\infty )\}}(\xi )}$

y${\displaystyle K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }:=K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)}$es el núcleo Airy extendido

${\displaystyle K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y):={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{if }}\;t_{i}\geq t_{j},\\{\displaystyle -\int _{-\infty }^{0}e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{if }}\;t_{i}<t_{j}.\end{cases}}}$

• Prähofer, Michael; Spohn, Herbert (2002). "Invariancia de escala de la gota PNG y el proceso de Airy". Journal of Statistical Physics . 108 ( 5– 6). Springer: 1071. arXiv : math/0105240 . Bibcode : 2002JSP...108.1071P . doi : 10.1023/A:1019791415147 .
• Johansson, Kurt (2003). "Crecimiento polinuclear discreto y procesos determinantes". Commun. Math. Phys . 242 ( 1–2 ). Springer: 290. arXiv : math/0206208 . Bibcode : 2003CMaPh.242..277J . doi : 10.1007/s00220-003-0945-y .
• Tracy, Craig; Widom, Harold (2003). "Un sistema de ecuaciones diferenciales para el proceso de Airy". Electron. Commun. Probab . 8 : 93–98 . arXiv : math/0302033 . doi : 10.1214/ECP.v8-1074 .