Método Kansa

El método de Kansa (también conocido como método de colocación de funciones de base radial asimétricas ) es un método numérico sin malla para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP), introducido por E.J. Kansa a principios de la década de 1990. El método utiliza funciones de base radial (FBR) para aproximar la solución en un marco de colocación en forma fuerte . Se trata de una técnica numérica de tipo dominio, en el sentido de que el problema se discretiza no solo en el contorno para satisfacer las condiciones de contorno, sino también dentro del dominio para satisfacer la ecuación gobernante.

Dejar${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ser un${\displaystyle d}$dominio físico de -dimensiones y considere el siguiente problema de valor de frontera (PVF):

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu(x)&=f(x),\quad x\in \Omega ,&&(1)\\[4pt]u(x)&=g(x),\quad x\in \partial \Omega _{D},&&(2)\\[4pt]{\frac {\partial u(x)}{\partial n}}&=h(x),\quad x\in \partial \Omega _{N},&&(3)\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle L}$representa un operador diferencial y${\displaystyle d}$es la dimensionalidad del problema,${\displaystyle \partial \Omega _{D},\,\partial \Omega _{N}}$denotan los límites de Dirichlet y Neumann, respectivamente, y${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega }$El método de Kansa aproxima la función deseada mediante una combinación lineal de la RBF de la forma:

${\displaystyle u(x)\approx u(x)^{*}=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\varphi (r_{i}),\qquad (4)}$

dónde${\displaystyle \alpha _{i}}$son los coeficientes que se deben determinar,${\displaystyle \varphi (r_ {i})}$denota la RBF como la multicuadrática (MQ), y${\displaystyle r_{i}=\|x-x_{i}\|}$, donde el${\displaystyle x_{i}}$son los centros de las RBF.

Para garantizar la unicidad de la solución, se puede agregar un término polinómico de la siguiente manera:

${\displaystyle u(x)^{*}=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\varphi (r_{i})+\sum _{k=1}^{M}\alpha _{k+N}\gamma _{k}(x),\qquad (5)}$

dónde${\displaystyle \gamma _ {k}(x)}$es el polinomio. La interpolación RBF (4) y (5) se utilizan con frecuencia en la práctica. Los matemáticos prefieren la segunda por su fundamento teórico riguroso y sólido, mientras que los ingenieros suelen emplear la primera, ya que es más fácil y sencilla y produce resultados correctos en la mayoría de los casos. Sustituyendo la ecuación (4) o (5) en las ecuaciones (1-3) se obtiene el sistema de ecuaciones algebraicas resultante:

${\displaystyle \mathbf {A} \alpha =b,\qquad (6)}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{matrix}L(\varphi )&L(\gamma )\\[5pt]\varphi &\gamma \\[8pt]{\dfrac {\partial \varphi }{\partial n}}&{\dfrac {\partial \gamma }{\partial n}}\\[8pt]\gamma &0\end{matrix}}\right),\quad \mathbf {b} =\left({\begin{matrix}f\\g\\h\\0\end{matrix}}\right),\quad \varphi =\varphi (x_{i},x_{j}),\quad \gamma =\gamma _{k}(X_{i}).\qquad (7)}$

Después de los coeficientes de expansión ${\displaystyle \alpha _{i}}$una vez evaluadas, la función deseada puede calcularse a partir de la ecuación (4) o (5).

Las soluciones numéricas de las EDP se obtienen generalmente mediante el método de diferencias finitas (MDF), el método de elementos finitos (MEF) o el método de elementos de contorno (MEC). El MDF presenta dificultades con dominios irregulares, ya que normalmente requiere una malla rectangular estructurada. Si bien el MEF permite un marco más flexible, el mallado y el remallado no son tareas sencillas. El MEC es un método alternativo en algunos problemas de ingeniería, como los problemas inversos, de dominios no acotados y de estructuras de paredes delgadas. Sin embargo, sus aplicaciones están limitadas en gran medida por la disponibilidad de la solución fundamental de la ecuación que rige el problema.

En las últimas décadas, los métodos sin malla o sin elementos han atraído gran atención. Este interés se debe a que los métodos basados ​​en malla, como el FEM y el BEM estándar, pueden requerir un esfuerzo computacional prohibitivo para manejar problemas de contorno de alta dimensión, móviles y de formas complejas. El método de Kansa ^{[ 1 ] [ 2 ]} coloca directamente las RBF, especialmente la MQ, en los nodos sin necesidad de malla ni elementos, por lo que se trata de un método sin malla.

A pesar de los grandes esfuerzos, aún falta la prueba matemática rigurosa de la resolubilidad del método de Kansa. ^{[ 3 ]} Además, las condiciones de contorno mixtas también destruyen la simetría de su matriz de interpolación. Las referencias ^{[ 4 ] [ 5 ]} proponen el esquema de colocación RBF de Hermite simétrico con un análisis matemático sólido de la resolubilidad. Sin embargo, un problema común en el método de Kansa y el método de Hermite simétrico es que las soluciones numéricas en los nodos adyacentes al contorno se deterioran en uno o dos órdenes de magnitud en comparación con las de la región central. La colocación de EDP en el contorno (PDECB) ^{[ 6 ]} elimina eficazmente esta deficiencia. Sin embargo, esta estrategia requiere un conjunto adicional de nodos dentro o fuera del dominio adyacente al contorno. La colocación arbitraria de estos nodos adicionales da lugar a problemas problemáticos en la simulación de problemas de dominio complejos y con múltiples conexiones. El PDECB también carece de respaldo teórico explícito. De hecho, también se ha propuesto una estrategia similar, ^{[ 7 ]} que coloca tanto las ecuaciones gobernantes como las de contorno en los mismos nodos de contorno. Sin embargo, el método es asimétrico y aún carece de una base teórica explícita. Mediante el uso de la segunda identidad de Green, se diseñó el método de Kansa modificado ^{[ 8 ] [ 9 ]} para remediar todas las debilidades mencionadas. Para el MQ, su parámetro de forma determina en gran medida su error de interpolación. Existen varias teorías matemáticas sobre la familia de funciones de base radial multicuadráticas que ofrecen sugerencias sobre la elección del parámetro de forma. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

El método de Kansa se ha aplicado ampliamente en ciencias computacionales. En ^{[ 1 ],} el método de Kansa se emplea para abordar ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, hiperbólicas y elípticas. Recientemente, el método de Kansa se ha extendido a varias EDP ordinarias, incluyendo los modelos de mezcla bifásica y trifásica de problemas de ingeniería de tejidos, ^{[ 14 ] [ 15 ]} la ecuación de Burgers no lineal 1D ^{[ 16 ]} con onda de choque, ecuaciones de aguas poco profundas ^{[ 17 ]} para simulación de mareas y corrientes, problemas de transferencia de calor, ^{[ 18 ]} problemas de frontera libre, ^{[ 19 ]} y ecuaciones de difusión fraccionaria. ^{[ 20 ]}

• Función de base radial
• Método de soluciones fundamentales
• Método del nudo de frontera
• Método de partículas de frontera
• Método de frontera singular

• Método Kansa modificado