Modelo de Maxwell

En mecánica de fluidos , un modelo de Maxwell es el modelo más simple de material viscoelástico que muestra propiedades de un líquido típico . ^{[ 1 ]} Muestra flujo viscoso en la escala de tiempo larga, pero resistencia elástica adicional a deformaciones rápidas . ^{[ 2 ]} Recibe su nombre de James Clerk Maxwell, quien propuso el modelo en 1867. ^{[ 3 ] [ 4 ]} También se le conoce como fluido de Maxwell. Una generalización de la relación escalar a una ecuación tensorial carece de motivación de modelos más microscópicos y no cumple con el concepto de objetividad material. Sin embargo, estos criterios se cumplen con el modelo de Maxwell convectivo superior .

El modelo de Maxwell está representado por un amortiguador puramente viscoso y un resorte puramente elástico conectados en serie , ^{[ 5 ]} como se muestra en el diagrama. Si, en cambio, conectamos estos dos elementos en paralelo , ^{[ 5 ]} obtenemos el modelo generalizado de un material sólido de Kelvin-Voigt .

En la configuración de Maxwell, bajo una tensión axial aplicada , la tensión total σ _total y la deformación total ε _total se pueden definir de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {total} }&=\sigma _{\rm {D}}=\sigma _{\rm {S}}\\[2pt]\varepsilon _{\mathrm {total} }&=\varepsilon _{\rm {D}}+\varepsilon _{\rm {S}}\end{aligned}}}$$ donde el subíndice D indica la relación tensión-deformación en el amortiguador y el subíndice S indica la relación tensión-deformación en el resorte. Al derivar la deformación con respecto al tiempo, obtenemos: $${\displaystyle {\frac {d\varepsilon _{\mathrm {total} }}{dt}}={\frac {d\varepsilon _{\rm {D}}}{dt}}+{\frac {d\varepsilon _{\rm {S}}}{dt}}={\frac {\sigma }{\eta }}+{\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}}$$ donde E es el módulo de elasticidad y η es el coeficiente de viscosidad del material. Este modelo describe el amortiguador como un fluido newtoniano y modela el resorte con la ley de Hooke .

En un material de Maxwell, la tensión σ , la deformación ε y sus tasas de cambio con respecto al tiempo t se rigen por ecuaciones de la forma: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\frac {d\varepsilon }{dt}},}$$ o, en notación de puntos: $${\displaystyle {\frac {\dot {\sigma }}{E}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\dot {\varepsilon }}.}$$

La ecuación puede aplicarse tanto al esfuerzo cortante como a la tensión uniforme en un material. En el primer caso, la viscosidad corresponde a la de un fluido newtoniano . En el segundo caso, tiene un significado ligeramente diferente, relacionando el esfuerzo con la velocidad de deformación.

El modelo se aplica generalmente al caso de pequeñas deformaciones. Para grandes deformaciones, debemos incluir cierta no linealidad geométrica. Para la forma más sencilla de generalizar el modelo de Maxwell, consulte el modelo de Maxwell convectivo superior .

Si un material de Maxwell se deforma repentinamente y se mantiene a una deformación de ε ₀ , entonces la tensión decae en una escala de tiempo característica de${\displaystyle {\tfrac {\eta}{E}}}$, conocido como tiempo de relajación . El fenómeno se conoce como relajación del estrés .

Si liberamos el material en el instante t ₁ , entonces el elemento elástico volverá a su posición original por el valor de

$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {back} }=-{\frac {\sigma (t_{1})}{E}}=\varepsilon _{0}\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right).}$$

Dado que el elemento viscoso no volvería a su longitud original, el componente irreversible de la deformación se puede simplificar a la siguiente expresión:

$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=\varepsilon _{0}\left[1-\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right)\right].}$$

Si un material de Maxwell se somete repentinamente a una tensión σ ₀ , entonces el elemento elástico se deformaría repentinamente y el elemento viscoso se deformaría a una velocidad constante:

$${\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma _{0}}{E}}+t{\frac {\sigma _{0}}{\eta }}}$$

Si en algún momento t ₁ liberamos el material, entonces la deformación del elemento elástico sería la deformación de recuperación elástica y la deformación del elemento viscoso no cambiaría:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\mathrm {reversible} }&={\frac {\sigma _{0}}{E}},\\[2pt]\varepsilon _{\mathrm {irreversible} }&=t_{1}{\frac {\sigma _{0}}{\eta }}.\end{aligned}}}$$

El modelo de Maxwell no presenta fluencia, ya que modela la deformación como una función lineal del tiempo.

Si se aplica una pequeña tensión durante un tiempo suficientemente prolongado, las deformaciones irreversibles se vuelven grandes. Por lo tanto, el material de Maxwell es un tipo de líquido.

Si un material de Maxwell está sujeto a una velocidad de deformación constante${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}}$Luego, el estrés aumenta, alcanzando un valor constante de

$${\displaystyle \sigma =\eta {\dot {\varepsilon }}}$$

En general

$${\displaystyle \sigma (t)=\eta {\dot {\varepsilon }}(1-e^{-Et/\eta })}$$

El módulo dinámico complejo de un material de Maxwell sería:

$${\displaystyle E^{*}(\omega )={\frac {1}{{\frac {1}{E}}-{\frac {i}{\omega \eta }}}}={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}+i\omega E^{2}\eta }{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}}$$

Por lo tanto, los componentes del módulo dinámico son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}(\omega )&={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}}{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}\\[2pt]&=E{\frac {\left({\frac {\eta }{E}}\right)^{2}\omega ^{2}}{\left({\frac {\eta }{E}}\right)^{2}\omega ^{2}+1}}=E{\frac {\tau ^{2}\omega ^{2}}{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}\\[10pt]E_{2}(\omega )&={\frac {\omega E^{2}\eta }{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}\\[2pt]&=E{\frac {\left({\frac {\eta }{E}}\right)\omega }{\left({\frac {\eta }{E}}\right)^{2}\omega ^{2}+1}}=E{\frac {\tau \omega }{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}\end{aligned}}}$$

Como se muestra, E se puede factorizar para poner los componentes en términos de la constante de tiempo de relajación τ .

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