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Articulo de referencia

poliedro de Kepler-Poinsot

Gran dodecaedro Pequeño dodecaedro estrellado Gran icosaedro Gran dodecaedro estrellado En geometría , un poliedro de Kepler-Poinsot es cualquiera de los cuatro poliedros estrel...

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Gran dodecaedro
Pequeño dodecaedro estrellado
Gran icosaedro
Gran dodecaedro estrellado

En geometría , un poliedro de Kepler-Poinsot es cualquiera de los cuatro poliedros estrellados regulares . [ 1 ]

Se pueden obtener mediante la estelación y el facetado del dodecaedro y el icosaedro convexos regulares , y se diferencian de estos por tener caras pentagramáticas regulares o figuras en los vértices . Todos ellos pueden considerarse, de una u otra forma, análogos tridimensionales del pentagrama.

Características

Los poliedros de Kepler - Poinsot son los poliedros estrellados regulares , obtenidos al extender tanto el icosaedro regular como el dodecaedro regular , una operación denominada estelación . Esta operación da como resultado cuatro poliedros diferentes: [ 2 ]

Sistema de relaciones de Conway entre los seis poliedros (ordenados verticalmente por densidad ). [ 7 ]
  Conexión dual
  Aumento ( g ) conexión
  Conexión de estelación ( s )

John Conway introduce operadores para los poliedros de Kepler-Poinsot conocidos como ampliaciones ( g ) , que mantienen el tipo de caras, las desplazan y redimensionan en planos paralelos , y estelaciones ( s ) , que transforman las caras pentagonales en pentagramas de los sólidos convexos. En su nomenclatura , el pequeño dodecaedro estrellado es simplemente el dodecaedro estrellado . [ 7 ]

Según la construcción anterior, estas figuras tienen pentagramas (pentágonos estrellados) como caras o figuras de vértice. [ 2 ] El poliedro dual de un gran dodecaedro es el pequeño dodecaedro estrellado, y el dual de un gran icosaedro es el gran dodecaedro estrellado. [ 8 ] Los cuatro comparten la simetría como icosaedro regular y dodecaedro regular, la simetría icosaédrica . [ 9 ]

Característica de Euler

Un poliedro de Kepler-Poinsot cubre su esfera circunscrita más de una vez, con los centros de las caras actuando como puntos de inflexión en las figuras que tienen caras pentagramáticas, y los vértices en las demás. Debido a esto, no son necesariamente topológicamente equivalentes a la esfera como lo son los sólidos platónicos, y en particular, la relación de Euler.χ=V−mi+F=2 {\displaystyle \chi =V-E+F=2\ } No siempre se cumple. Schläfli sostenía que todos los poliedros debían tener χ = 2 , y rechazaba el dodecaedro estrellado pequeño y el dodecaedro grande como poliedros propiamente dichos. Esta opinión nunca fue ampliamente aceptada. [ 10 ]

Arthur Cayley dio una forma modificada de la fórmula de Euler, que utiliza la densidad ( D ) de las figuras de vértice ( dv ) y caras ( df ) , y es válida tanto para poliedros convexos (donde los factores de corrección son todos 1) como para los poliedros de Kepler-Poinsot: [ 11 ]dvV−mi+dFF=2D,{\displaystyle d_{v}V-E+d_{f}F=2D,} y según este cálculo, la densidad del gran icosaedro y del gran dodecaedro estrellado es 7, mientras que la del gran dodecaedro y la del pequeño dodecaedro estrellado es 3. [ 12 ]

Dualidad y polígonos de Petrie

Los poliedros de Kepler-Poinsot existen en pares duales . Los pares duales tienen el mismo polígono de Petrie , o más precisamente, polígonos de Petrie con la misma proyección bidimensional.

Las siguientes imágenes muestran los dos compuestos duales con el mismo radio de arista . También muestran que los polígonos de Petrie están sesgados . Dos relaciones descritas en el artículo a continuación también se aprecian fácilmente en las imágenes: que las aristas violetas son iguales y que las caras verdes se encuentran en los mismos planos.

Resumen

Historia

De arriba a la izquierda a abajo a la derecha: mosaico del suelo de la Basílica de San Marcos , Venecia , posiblemente de Paolo Uccello ; gran dodecaedro y gran dodecaedro estrellado en Perspectiva Corporum Regularium (1568); dodecaedros estrellados, Harmonices Mundi de Johannes Kepler (1619); modelo de cartón de un gran icosaedro de la Universidad de Tubinga (alrededor de 1860); y la Estrella de Alejandro .

La mayoría, si no todos, de los poliedros de Kepler-Poinsot eran conocidos de una u otra forma antes de Kepler. Un pequeño dodecaedro estrellado aparece en una tarsia de mármol (panel incrustado) en el suelo de la Basílica de San Marcos , Venecia , Italia. Data del siglo XV y a veces se atribuye a Paolo Uccello . [ 13 ]

En su Perspectiva corporum regularium , un libro de grabados en madera publicado en 1568, Wenzel Jamnitzer representa el gran dodecaedro estrellado y un gran dodecaedro . Es evidente, por la disposición general del libro, que consideraba regulares únicamente los cinco sólidos platónicos. [ 14 ] [ 15 ]

Los dodecaedros estrellados, tanto el pequeño como el grande, a veces llamados poliedros de Kepler , fueron reconocidos como regulares por primera vez por Johannes Kepler alrededor de 1619. [ 16 ] Los obtuvo al estrellar el dodecaedro convexo regular, tratándolo por primera vez como una superficie en lugar de un sólido. Observó que al extender las aristas o caras del dodecaedro convexo hasta que se unieran de nuevo, podía obtener pentágonos estrellados. Además, reconoció que estos pentágonos estrellados también son regulares. De esta manera, construyó los dos dodecaedros estrellados. Cada uno tiene la región convexa central de cada cara "oculta" en el interior, siendo visibles solo los brazos triangulares. El paso final de Kepler fue reconocer que estos poliedros se ajustaban a la definición de regularidad, aunque no fueran convexos , como lo eran los sólidos platónicos tradicionales .

En 1809, Louis Poinsot redescubrió las figuras de Kepler ensamblando pentágonos estrellados alrededor de cada vértice. También ensambló polígonos convexos alrededor de vértices estrellados para descubrir dos estrellas regulares más, el gran icosaedro y el gran dodecaedro. Algunas personas llaman a estos dos los poliedros de Poinsot . Poinsot no sabía si había descubierto todos los poliedros estrellados regulares. Tres años más tarde, Augustin Cauchy demostró que la lista era completa al estelar los sólidos platónicos , [ 17 ] y casi medio siglo después, en 1858, Bertrand proporcionó una prueba más elegante al facetarlos . [ 18 ] Al año siguiente, Arthur Cayley dio a los poliedros de Kepler-Poinsot los nombres por los que generalmente se les conoce hoy. [ 19 ] Cien años más tarde, John Conway desarrolló una terminología sistemática para estelaciones en hasta cuatro dimensiones. Dentro de este esquema, el pequeño dodecaedro estrellado es simplemente el dodecaedro estrellado . [ 7 ]

El interés del artista MC Escher por las formas geométricas a menudo lo llevó a crear obras basadas en sólidos regulares o que los incluían; Gravitation se basa en un pequeño dodecaedro estrellado. [ 2 ] Una disección del gran dodecaedro se utilizó para el rompecabezas de la década de 1980 Alexander's Star . [ 20 ] La escultura The Kepler Star del artista noruego Vebjørn Sand se exhibe cerca del aeropuerto de Oslo, en Gardermoen . La estrella abarca 14 metros y consta de un icosaedro regular y un dodecaedro regular dentro de un gran dodecaedro estrellado.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Coxeter, Poliedros estrellados y la función de Schläfli f( α , β , γ ) pág. 121 1. Los poliedros de Kepler-Poinsot
  2. ^ Barnes, John (2012 ) . Gemas de geometría (2ª ed.). Saltador. pag. 46.doi : 10.1007 /978-3-642-30964-9 . ISBN   978-3-642-30964-9.
  3. ↑ Cromwell, Peter (1997). Poliedros . Cambridge University Press . pág. 265. ISBN  978-0-521-66405-9.
  4. ↑ Inchbald, Guy (2006). "Diagramas de facetas". The Mathematical Gazette . 90 (518): 253– 261. doi : 10.1017/S0025557200179653 . JSTOR 40378613 . 
  5. ↑ Kappraff, Jay (2001). Connections: The Geometric Bridge Between Art and Science (2.ª ed.). World Scientific . p. 309. ISBN   981-02-4585-8.
  6. ↑ Cromwell (1997) ,págs . 266-267 . 
  7. 1 2 3 Conway, John Horton; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). La simetría de las cosas . CRC Press. pág. 405. ISBN  978-1-56881-220-5.Véase la figura 26.1, Relaciones entre los politopos estelares tridimensionales.
  8. ↑ Wenninger, Magnus (1983). Modelos duales . Cambridge University Press . págs. 39–41 . ISBN  0-521-54325-8.
  9. ↑ Dubrovin, Boris (1999). «Trascendentes de Painlevé en la teoría topológica de campos bidimensional» . En Conte, Robert (ed.). La propiedad de Painlevé: un siglo después . pág. 403. doi : 10.1007/978-1-4612-1532-5 . ISBN  978-1-4612-1532-5.
  10. ↑ Coxeter, HSM (1947). Politopos regulares . Methuen. pág. 114 . 
  11. ↑ Huylebrouck, Dirk (2016). «Fórmula de Euler-Cayley para poliedros "inusuales"» (PDF) . En Torrence, Eve; Torrence, Bruce; Séquin, Carlo H.; McKenna, Douglas; Fenyvesi, Kristóf; Sarhangi, Reza (eds.). Bridges Finland: Mathematics, Music, Art, Architecture, Education, Culture . Phoenix, Arizona : Tessellations Publishing.
  12. ↑ Barnes (2012) , pág. 47 . 
  13. ↑ Coxeter, HSM (2013). «Poliedros regulares y semirregulares». En Senechal, Marjorie (ed.). Dando forma al espacio: Explorando los poliedros en la naturaleza, el arte y la imaginación geométrica (2.ª ed.). Springer. pp. 41–52 . doi : 10.1007/978-0-387-92714-5 . ISBN   978-0-387-92713-8.Véase en particular la página 42.
  14. ↑ Innocenzi, Plinio (2019). Los innovadores detrás de Leonardo: La verdadera historia del Renacimiento científico y tecnológico . págs. 256-257 . doi : 10.1007/978-3-319-90449-8 . ISBN  978-3-319-90449-8.
  15. ↑ Scriba, Christoph ; Schreiber, Peter (2015). 5000 años de geometría: las matemáticas en la historia y la cultura . Springer. p. 305. doi : 10.1007/978-3-0348-0898-9 . ISBN  978-3-0348-0898-9.
  16. ↑ Coxeter, HSM ; du Val, P.; Flather, HT; Petrie, JF (1999). Los cincuenta y nueve icosaedros (3.ª ed.). Tarquin. p. 11 .  
  17. ^ Cauchy, Augustin-Louis (1813). "Recherches sur les polyèdres". Revista de la Escuela Politécnica . 9 : 68–86 .
  18. ^ Bertrand, José (1858). "Note sur la théorie des polyèdres réguliers". Cuentas de sesiones de espiritismo de la Academia de Ciencias . 46 : 79–82 , 117.
  19. ↑ Cayley, Arthur (1859). "Sobre los cuatro nuevos sólidos regulares de Poinsot". Philosophical Magazine . 17 : 123–127 , 209.
  20. ↑ "La estrella de Alejandro" . Juegos . N.° 32. Octubre de 1982. pág. 56.  
  • Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6Archivado el 11 de julio de 2016 en Wayback Machine.
    • (Artículo 1) HSM Coxeter, Los nueve sólidos regulares [Actas del Congreso Canadiense de Matemáticas 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
    • (Documento 10) HSM Coxeter, politopos estelares y la función Schlafli f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
  • Theoni Pappas , (Los sólidos de Kepler-Poinsot) El placer de las matemáticas . San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pág.  113, 1989.
  • Louis Poinsot , Mémoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9 , págs.  16-48, 1810.
  • Lakatos, Imre; Pruebas y refutaciones , Cambridge University Press (1976) - discusión de la demostración de la característica de Euler
  • Anthony Pugh (1976). Poliedros: Un enfoque visual . California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 8: Poliedros de Kepler-Poisot
  • Weisstein, Eric W. "Kepler-Poinsot sólido" . MundoMatemático .
  • Modelos de papel de poliedros de Kepler-Poinsot
  • Modelos de papel gratuitos (redes) de poliedros de Kepler-Poinsot
  • Los poliedros uniformes
  • Sólidos de Kepler-Poinsot en poliedros visuales
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