Núcleo (álgebra)

Un grupo es un conjunto${\displaystyle G}$con una operación binaria${\displaystyle \cdot }$que satisfacen las siguientes tres propiedades para todos${\displaystyle a,b,c\in G}$: ^{[ 7 ]}

1. Asociativo :${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
2. Identidad : Hay una${\displaystyle e\in G}$de tal manera que${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$
3. Inversos : Hay un${\displaystyle a'\in G}$para cada${\displaystyle a\in G}$de tal manera que${\displaystyle a\cdot a'=a'\cdot a=e}$

Un grupo también se denomina abeliano si también satisface${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$. ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$ser grupos. Un homomorfismo de grupos de${\displaystyle G}$a${\displaystyle H}$es una función${\displaystyle f:G\to H}$de tal manera que${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$a pesar de${\displaystyle a,b\in G}$. ^{[ 8 ]} (Para simplificar, el símbolo de operación${\displaystyle \cdot }$(se omite.) Dejar${\displaystyle e_{H}}$ser el elemento de identidad de${\displaystyle H}$, entonces el núcleo de${\displaystyle f}$es la preimagen del conjunto unitario${\displaystyle \{e_{H}\}}$; es decir, el subconjunto de${\displaystyle G}$compuesto por todos aquellos elementos de${\displaystyle G}$que están mapeados por${\displaystyle f}$al elemento${\displaystyle e_{H}}$. ^{[ 2 ] [ 9 ]}

El núcleo se suele denotar${\displaystyle \ker {f}}$(o una variación). ^{[ 2 ]} En símbolos:

${\displaystyle \ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.}$

Dado que un homomorfismo de grupo preserva los elementos identidad, el elemento identidad${\displaystyle e_{G}}$de${\displaystyle G}$debe pertenecer al núcleo. ^{[ 2 ]} El homomorfismo${\displaystyle f}$es inyectiva si y solo si su núcleo es únicamente el conjunto unitario.${\displaystyle \{e_{G}\}}$. ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \ker {f}}$es un subgrupo de${\displaystyle G}$y además es un subgrupo normal . Por lo tanto, existe un grupo cociente correspondiente.${\displaystyle G/\ker {f}}$. Esto es isomorfo a${\displaystyle f(G)}$, la imagen de${\displaystyle G}$bajo${\displaystyle f}$(que es un subgrupo de${\displaystyle H}$también), por el primer teorema de isomorfismo para grupos. ^{[ 4 ]}

Un anillo con identidad (o unidad) es un conjunto${\displaystyle R}$con dos operaciones binarias${\displaystyle +}$y${\displaystyle \cdot }$satisfactorio: ^{[ 11 ] [ 12 ]}

1. ${\displaystyle R}$con${\displaystyle +}$es un grupo abeliano con identidad${\displaystyle 0}$.
2. Multiplicación${\displaystyle \cdot }$es asociativo.
3. Distributiva :${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$y${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$a pesar de${\displaystyle a,b,c\in R}$
4. Multiplicación${\displaystyle \cdot }$tiene un elemento de identidad${\displaystyle 1}$. ^{[ a ]}

Un anillo es conmutativo si la multiplicación es conmutativa, y dicho anillo es un cuerpo cuando cada${\displaystyle 0\neq a\in R}$tiene un inverso multiplicativo , es decir, algunos${\displaystyle b\in R}$dónde${\displaystyle ab=1}$. ^{[ 12 ]} Dejemos${\displaystyle R}$y${\displaystyle S}$ser anillos. Un homomorfismo de anillos de${\displaystyle R}$a${\displaystyle S}$es una función${\displaystyle f:R\to S}$Satisfactorio para todos${\displaystyle a,b\in R}$: ^{[ 13 ]}

1. ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
2. ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$

El núcleo de${\displaystyle f}$es el núcleo como grupos aditivos. ^{[ 14 ]} Es la preimagen del ideal cero${\displaystyle \{0_{S}\}}$, es decir, el subconjunto de${\displaystyle R}$compuesto por todos aquellos elementos de${\displaystyle R}$que están mapeados por${\displaystyle f}$al elemento${\displaystyle 0_{S}}$El núcleo se suele denotar${\displaystyle \ker {f}}$(o una variación). En símbolos:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}.}$

Dado que un homomorfismo de anillos preserva los elementos cero, el elemento cero${\displaystyle 0_{R}}$de${\displaystyle R}$debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo${\displaystyle f}$es inyectiva si y solo si su núcleo es únicamente el conjunto unitario.${\displaystyle \{0_{R}\}}$. Este es siempre el caso si${\displaystyle R}$es un campo y${\displaystyle S}$no es el anillo cero . ^{[ 6 ]}

Desde${\displaystyle \ker {f}}$contiene la identidad multiplicativa solo cuando${\displaystyle S}$es el anillo cero, resulta que el núcleo generalmente no es un subanillo de${\displaystyle R}$. El núcleo es un sub rng y, más precisamente, un ideal bilateral de${\displaystyle R}$Por lo tanto, tiene sentido hablar del anillo cociente .${\displaystyle R/\ker {f}}$. El primer teorema de isomorfismo para anillos establece que este anillo cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de${\displaystyle f}$(que es un subanillo de${\displaystyle S}$). ^{[ 6 ]}

Dado un campo${\displaystyle F}$, un espacio vectorial (sobre${\displaystyle F}$) es un grupo abeliano${\displaystyle V}$(con operación binaria)${\displaystyle +}$y la identidad${\displaystyle 0}$) con multiplicación escalar desde${\displaystyle F}$Satisfactorio para todos${\displaystyle a,b\in F}$y${\displaystyle \alpha ,\beta \in V}$: ^{[ 15 ]}

1. ${\displaystyle a(b\alpha )=(ab)\alpha }$
2. ${\displaystyle (a+b)\alpha =a\alpha +b\alpha }$
3. ${\displaystyle a(\alpha +\beta )=a\alpha +a\beta }$
4. ${\displaystyle 1\alpha =\alpha }$

Dejar${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$sean espacios vectoriales sobre el campo${\displaystyle F}$. Una aplicación lineal (o transformación lineal) de${\displaystyle V}$a${\displaystyle W}$es una función${\displaystyle T:V\to W}$Satisfactorio para todos${\displaystyle \alpha ,\beta \in V}$y${\displaystyle a\in F}$: ^{[ 16 ]}

1. ${\displaystyle T(\alpha +\beta )=T(\alpha )+T(\beta )}$
2. ${\displaystyle T(a\alpha )=aT(\alpha )}$

Si${\displaystyle 0_{W}}$es el vector cero de${\displaystyle W}$, entonces el núcleo de${\displaystyle T}$(o espacio nulo ^{[ 17 ]} ) es la preimagen del subespacio cero${\displaystyle \{0_{W}\}}$; es decir, el subconjunto de${\displaystyle V}$compuesto por todos aquellos elementos de${\displaystyle V}$que están mapeados por${\displaystyle T}$al elemento${\displaystyle 0_{W}}$El núcleo se denota como${\displaystyle \ker {T}}$, o alguna variación de la misma, y ​​se define simbólicamente como:

${\displaystyle \ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.}$

Dado que una aplicación lineal conserva los vectores cero, el vector cero${\displaystyle 0_{V}}$de${\displaystyle V}$debe pertenecer al núcleo. La transformación${\displaystyle T}$es inyectiva si y solo si su núcleo se reduce al subespacio cero. ^{[ 18 ]}

El núcleo${\displaystyle \ker {T}}$es siempre un subespacio lineal de${\displaystyle V}$. ^{[ 19 ]} Por lo tanto, tiene sentido hablar del espacio cociente${\displaystyle V/\ker {T}}$. El primer teorema de isomorfismo para espacios vectoriales establece que este espacio cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de${\displaystyle T}$(que es un subespacio de${\displaystyle W}$). Como consecuencia, la dimensión de${\displaystyle V}$es igual a la dimensión del núcleo más la dimensión de la imagen. ^{[ 19 ]}

Dejar${\displaystyle R}$ser un anillo . Un módulo sobre${\displaystyle R}$se define exactamente igual que un espacio vectorial sobre un cuerpo, utilizando los mismos axiomas, excepto que el cuerpo se reemplaza por un anillo. De hecho, un módulo sobre un cuerpo es exactamente lo mismo que un espacio vectorial sobre un cuerpo. ^{[ 20 ]} Sea${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$ser${\displaystyle R}$-módulos. Un homomorfismo de módulos de${\displaystyle M}$a${\displaystyle N}$también es una función${\displaystyle \varphi :M\to N}$que satisface las mismas propiedades análogas de una aplicación lineal. El núcleo de${\displaystyle \varphi }$se define como: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle \ker \varphi =\{m\in M\ |\ \varphi (m)=0\}}$

Cada núcleo es un submódulo del módulo de dominio, lo que significa que siempre contienen 0, la identidad aditiva del módulo. Los núcleos de grupos abelianos pueden considerarse un tipo particular de núcleo de módulo cuando el anillo subyacente son los enteros . ^{[ 21 ]}

Dejar${\displaystyle G}$ser el grupo cíclico de 6 elementos${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$con adición modular ,${\displaystyle H}$ser el cíclico en 2 elementos${\displaystyle \{0,1\}}$con adición modular y${\displaystyle f}$el homomorfismo que mapea cada elemento${\displaystyle g\in G}$al elemento${\displaystyle g}$módulo 2 en${\displaystyle H}$. Entonces${\displaystyle \ker f=\{0,2,4\}}$, ya que todos estos elementos están mapeados a${\displaystyle 0\in H}$. El grupo cociente${\displaystyle G/\ker {f}}$tiene dos elementos:${\displaystyle \{0,2,4\}}$y${\displaystyle \{1,3,5\}}$y es isomorfo a${\displaystyle H}$. ^{[ 22 ]}

Dado un isomorfismo${\displaystyle \varphi :G\to H}$, uno tiene${\displaystyle \ker \varphi =1}$. ^{[ 22 ]} Por otro lado, si esta aplicación es simplemente un homomorfismo donde H es el grupo trivial, entonces${\displaystyle \varphi (g)=1}$a pesar de${\displaystyle g\in G}$, así que${\displaystyle \ker \varphi =G}$. ^{[ 22 ]}

Dejar${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } sea la aplicación definida como${\displaystyle \varphi ((x,y))=x}$. Entonces, este es un homomorfismo cuyo núcleo consiste precisamente en los puntos de la forma${\displaystyle (0,y)}$. Este mapeo se considera la "proyección sobre el eje x". ^{[ 22 ]} Un fenómeno similar ocurre con el mapeo${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{\times })^{2}\to \mathbb {R} ^{\times }}$definido como${\displaystyle f(a,b)=b}$, donde el núcleo son los puntos de la forma${\displaystyle (a,1)}$^{[ 9 ]}

Para un ejemplo no abeliano, sea${\displaystyle Q_{8}}$denotamos el grupo de cuaterniones y${\displaystyle V_{4}}$El grupo de Klein de 4 miembros . Definir una asignación${\displaystyle \varphi :Q_{8}\to V_{4}}$ser: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle \varphi (\pm 1)=1}$

${\displaystyle \varphi (\pm i)=a}$

${\displaystyle \varphi (\pm j)=b}$

${\displaystyle \varphi (\pm k)=c}$

Entonces este mapeo es un homomorfismo donde${\displaystyle \ker \varphi =\{\pm 1\}}$. ^{[ 22 ]}

Dejar${\displaystyle S^{1}}$denotamos el grupo circular , que consta de todos los números complejos con valor absoluto (o módulo ) de${\displaystyle 1}$, siendo la operación de grupo la multiplicación. ^{[ 23 ]} Entonces la función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to S^{1}}$envío${\displaystyle x\mapsto e^{2\pi ix}=\cos(2\pi x)+i\sin(2\pi x)}$es un homomorfismo con los enteros como núcleo. El primer teorema de isomorfismo implica entonces que${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$. ^{[ 24 ]}

El grupo simétrico en${\displaystyle n}$elementos,${\displaystyle S_{n}}$, tiene un homomorfismo sobreyectivo${\displaystyle \epsilon :S_{n}\to \mathbb {Z} _{2}}$que lleva cada permutación a la paridad del número de transposiciones cuyo producto es esa permutación. El grupo alternante${\displaystyle A_{n}=\ker \epsilon }$es el núcleo de este homomorfismo, que consiste en las permutaciones pares. El grupo alternante es un grupo simple no abeliano para${\displaystyle n\geq 5}$. ^{[ 25 ]}

El determinante de${\displaystyle n\times n}$matrices invertibles de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$, cuyo conjunto se denota${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$y llamado el grupo lineal general de${\displaystyle n\times n}$matrices de${\displaystyle \mathbb {R} }$es un homomorfismo sobre el grupo de multiplicación${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$(que consta de todos los números reales distintos de cero), y el núcleo del determinante se denomina grupo lineal especial.${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$de${\displaystyle n\times n}$matrices de${\displaystyle \mathbb {R} }$Estas son las matrices cuyo determinante es precisamente${\displaystyle 1}$. ^{[ 26 ]}

Dado un grupo${\displaystyle G}$y un elemento, el mapeo${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$es un automorfismo , un isomorfismo cuyo dominio e imagen son el mismo grupo. Esto da un homomorfismo de${\displaystyle G}$a su grupo de automorfismos${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$, mapeando cada uno${\displaystyle g}$a su respectivo automorfismo interno como se describe, y el núcleo de este homomorfismo es el centro${\displaystyle Z(G)}$de${\displaystyle G}$, que consta de${\displaystyle g\in G}$donde para cada${\displaystyle x\in G}$, tenemos${\displaystyle gxg^{-1}=x}$o equivalentemente${\displaystyle gx=xg}$. De manera más general, para cada subgrupo normal${\displaystyle H}$de${\displaystyle G}$(es decir, grupos cerrados bajo conjugación), este mapa de conjugación es también un automorfismo en${\displaystyle H}$, dando otro homomorfismo${\displaystyle G}$a${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$, siendo el núcleo el centralizador${\displaystyle C_{G}(H)}$de${\displaystyle H}$en${\displaystyle G}$, siendo el conjunto de${\displaystyle g\in G}$donde para cada${\displaystyle h\in H}$, tenemos${\displaystyle ghg^{-1}=h}$. ^{[ 27 ]}

Consideremos el mapeo${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } donde el anillo posterior son los enteros módulo 2 y la aplicación envía cada número a su paridad ; 0 para los números pares y 1 para los impares. Esta aplicación resulta ser un homomorfismo, y dado que la identidad aditiva del anillo posterior es 0, el núcleo son precisamente los números pares. ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Q} [x]\to \mathbb {Q} } se define como${\displaystyle \varphi (p(x))=p(0)}$Esta aplicación, que resulta ser un homomorfismo, asigna a cada polinomio su término constante. Asigna un polinomio a cero si y solo si su término constante es 0. ^{[ 3 ]} Los polinomios con coeficientes reales pueden recibir un homomorfismo similar, cuyo núcleo son los polinomios con término constante igual a 0. ^{[ 28 ]}

Dejar${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} } se define como${\displaystyle \varphi (x,y,z)=x+2y+3z}$, entonces el núcleo de${\displaystyle \varphi }$(es decir, el espacio nulo) será el conjunto de puntos${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {C} ^{3}}$de tal manera que${\displaystyle x+2y+3z=0}$y este conjunto es un subespacio de${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$(lo mismo es cierto para cada núcleo de una aplicación lineal). ^{[ 17 ]}

Si${\displaystyle D}$representa el operador de derivada en polinomios reales , entonces el núcleo de${\displaystyle D}$consistirá en los polinomios con derivada igual a 0, es decir, las funciones constantes . ^{[ 17 ]}

Consideremos el mapeo${\displaystyle (Tp)(x)=x^{2}p(x)}$, dónde${\displaystyle p}$es un polinomio con coeficientes reales. Entonces${\displaystyle T}$es una aplicación lineal cuyo núcleo es precisamente 0, ya que 0 es el único polinomio que satisface${\displaystyle x^{2}p(x)=0}$a pesar de${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. ^{[ 17 ]}

Los núcleos pueden generalizarse en categorías que tienen cero objetos . Una categoría debe satisfacer: ^{[ 46 ]}

• objetos${\displaystyle A\in {\mathbf {C}}}$
• Morfismos${\displaystyle f:A\to B}$
• Composición; si${\displaystyle f:A\to B}$y${\displaystyle g:B\to C}$, luego denotamos su composición como${\displaystyle g\circ f:A\to C}$
• Asociatividad: si${\displaystyle f:A\to B}$,${\displaystyle g:B\to C}$, y${\displaystyle h:C\to D}$, entonces${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$
• Un morfismo de identidad${\displaystyle id_{A}:A\to A}$donde la composición con él da como resultado el mismo morfismo; para${\displaystyle f:A\to B}$,${\displaystyle f=f\circ id_{A}=id_{B}\circ f}$

Un morfismo${\displaystyle f:A\to B}$es un isomorfismo cuando existe un morfismo${\displaystyle g:B\to A}$de tal manera que${\displaystyle g\circ f}$y${\displaystyle f\circ g}$son los morfismos identidad. ^{[ 46 ]} Un objeto cero es un objeto de una categoría en el que existe exactamente un morfismo que va a cada objeto y exactamente un morfismo que sale de cada objeto. Dos objetos cero cualesquiera son isomorfos entre sí. ^{[ 47 ]} Si el objeto cero de una categoría está etiquetado${\displaystyle 0}$, entonces la composición de los morfismos${\displaystyle 0:A\to 0\to B}$es el${\displaystyle 0}$-morfismo de${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$. ^{[ 48 ]}

El núcleo de un morfismo${\displaystyle f:B\to C}$es un morfismo${\displaystyle i:A\to B}$que es universal a la propiedad que${\displaystyle f\circ i=0}$. En otras palabras, si hay un morfismo${\displaystyle j:Z\to B}$con${\displaystyle f\circ j=0}$, entonces existe un morfismo único${\displaystyle k:Z\to A}$de tal manera que${\displaystyle j=i\circ k}$Esto se ilustra en el diagrama conmutativo : ^{[ 48 ]}

El núcleo se denota como${\displaystyle \ker f\to B}$El núcleo es el límite del diagrama${\displaystyle B\xrightarrow {f} C\xleftarrow {} 0}$Al invertir la dirección de los morfismos y composiciones dados en la definición de un núcleo, se define la noción de un conúcleo , denotado como${\displaystyle {\text{coker}}f}$. La imagen (teoría de categorías) de un morfismo se define como${\displaystyle {\text{im}}f=\ker({\text{coker}}f)}$cuando existe el núcleo/co-núcleo correspondiente. ^{[ 48 ]}

Las nociones de núcleos/co-núcleos dan lugar a la definición de una categoría abeliana . Una categoría es aditiva cuando tiene un objeto cero, productos para cualesquiera dos objetos, y los morfismos entre cualesquiera dos objetos fijos forman un grupo abeliano con composición que se distribuye sobre la suma en este grupo. Los morfismos en una categoría aditiva pueden llamarse homomorfismos. Una categoría aditiva se denomina entonces categoría abeliana cuando todo homomorfismo tiene un núcleo y un co-núcleo, todo monomorfismo es el núcleo de su co-núcleo, y todo epimorfismo es el co-núcleo de su núcleo. ^{[ 48 ]}

Los núcleos de morfismos pueden generalizarse mediante la noción de ecualizador . Un ecualizador para dos morfismos${\displaystyle f,g:A\to B}$en una categoría es un objeto${\displaystyle E}$y un morfismo${\displaystyle e:E\to A}$de tal manera que${\displaystyle f\circ e=g\circ e}$y además es universal con respecto a esta propiedad; si${\displaystyle z:Z\to A}$es otro morfismo con${\displaystyle f\circ z=g\circ z}$, entonces existe un morfismo único${\displaystyle u:Z\to E}$de tal manera que${\displaystyle z=e\circ u}$. Cualquier morfismo ecualizador debe ser mónico ; si${\displaystyle x,y:Z\to E}$con${\displaystyle e\circ x=e\circ y}$, entonces${\displaystyle x=y}$. ^{[ 49 ]}

Para los grupos abelianos, el igualador de dos homomorfismos es el mismo que el igualador entre la diferencia de estos dos homomorfismos y el homomorfismo cero, por lo que los únicos igualadores que se deben considerar en la categoría de grupos abelianos son los que se encuentran entre cualquier homomorfismo.${\displaystyle h:A\to B}$y el homomorfismo cero${\displaystyle 0:A\to B}$. El objeto de dicho ecualizador es (salvo isomorfismo)${\displaystyle \ker h}$, el núcleo del homomorfismo${\displaystyle h}$y el morfismo asociado es el mapa de inclusión. ^{[ 49 ]} Este ejemplo ilustra que los ecualizadores son una generalización del núcleo de un morfismo; en particular, el núcleo de un morfismo es el ecualizador entre el morfismo y el morfismo cero correspondiente. ^{[ 50 ]}

El par núcleo de un morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$se define como el retroceso de este morfismo emparejado consigo mismo. Se puede visualizar con el diagrama conmutativo: ^{[ 51 ]}

Los functores entre categorías también pueden tener un núcleo. Un functor (covariante) de una categoría${\displaystyle {\mathbf {C}}}$a${\displaystyle {\mathbf {D}}}$, denotado${\displaystyle F:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {D}}}$, mapea objetos y morfismos de${\displaystyle {\mathbf {C}}}$a${\displaystyle {\mathbf {D}}}$de tal manera que se cumplen las siguientes condiciones: ^{[ 52 ]}

1. Si${\displaystyle f:A\to B}$, entonces${\displaystyle F(f):F(A)\to F(B)}$
2. ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$
3. ${\displaystyle F(id_{A})=id_{F(A)}}$

Una congruencia en una categoría${\displaystyle {\mathbf {C}}}$es una relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$sobre morfismos donde${\displaystyle f\sim g}$implica que comparten el mismo dominio y codominio, y además${\displaystyle bfa\sim bga}$para cualquier morfismo aplicable${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$Una congruencia da lugar a una categoría de congruencia asociada.${\displaystyle {\mathbf {C}}^{\sim }}$con los mismos objetos que${\displaystyle {\mathbf {C}}}$pero con morfismos que consisten en${\displaystyle \langle f,g\rangle }$dónde${\displaystyle f\sim g}$, definiéndose la composición componente a componente, y siendo el morfismo identidad${\displaystyle {\widetilde {id_{A}}}=\langle id_{A},id_{A}\rangle }$. Luego una categoría de cociente${\displaystyle {\mathbf {C}}/\sim }$se pueden formar, donde los objetos son nuevamente los mismos que${\displaystyle {\mathbf {C}}}$Los morfismos son las clases de equivalencia.${\displaystyle [f]}$bajo la congruencia, el morfismo identidad es su clase de equivalencia asociada.${\displaystyle [id_{A}]}$y composición definida como${\displaystyle [g]\circ [f]=[g\circ f]}$. Hay dos functores de proyección de la categoría de congruencia a la categoría original, etiquetados como${\displaystyle p_{1},p_{2}}$y hay un functor cociente${\displaystyle \pi }$de la categoría a su categoría cociente que actúa como el coecualizador ^{[ b ]} de los dos functores de proyección. ^{[ 53 ]}

Un functor${\displaystyle F:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {D}}}$da una congruencia${\displaystyle \sim _{F}}$dónde${\displaystyle f\sim _{F}g}$si y solo si comparten el mismo dominio y codominio, y además${\displaystyle F(f)=F(g)}$. El núcleo de${\displaystyle F}$se denomina entonces categoría de congruencia asociada${\displaystyle \ker F={\mathbf {C}}^{\sim _{F}}}$. ^{[ 53 ]}