Categoría regular

En teoría de categorías , una categoría regular es aquella con límites finitos y coecualizadores de todos los pares de morfismos denominados pares núcleo , que satisfacen ciertas condiciones de exactitud . De este modo, las categorías regulares recuperan muchas propiedades de las categorías abelianas , como la existencia de imágenes , sin requerir aditividad. Al mismo tiempo, las categorías regulares proporcionan una base para el estudio de un fragmento de la lógica de primer orden , conocido como lógica regular.

Una categoría C se denomina regular si satisface las siguientes tres propiedades: ^{[ 1 ]}

• C es finitamente completo .
• Si f  : X → Y es un morfismo en C , y   

es un retroceso , entonces el coecualizador de p ₀ , p ₁ existe. El par ( p ₀ , p ₁ ) se llama par núcleo de f . Al ser un retroceso, el par núcleo es único salvo un isomorfismo único . 

• Si f  : X → Y es un morfismo en C , y   

es un retroceso, y si f es un epimorfismo regular , entonces g también es un epimorfismo regular.

Algunos ejemplos de categorías regulares son:

• Conjunto , la categoría de conjuntos y funciones entre los conjuntos.
• En términos más generales, cada topos elemental
• Grp , la categoría de grupos y homomorfismos de grupos
• La categoría de anillos y homomorfismos de anillos
• En términos más generales, la categoría de modelos de cualquier variedad.
• Cada semirretículo de encuentro acotado , con morfismos dados por la relación de orden
• Cada categoría abeliana

Las siguientes categorías no son regulares:

• Top , la categoría de espacios topológicos y funciones continuas
• Gato , la categoría de categorías pequeñas y functores

En una categoría regular, los epimorfismos regulares y los monomorfismos forman un sistema de factorización . Todo morfismo f:X→Y puede factorizarse en un epimorfismo regular e:X→E seguido de un monomorfismo m:E→Y , de modo que f=me . La factorización es única en el sentido de que si e':X→E' es otro epimorfismo regular y m':E'→Y es otro monomorfismo tal que f=m'e' , entonces existe un isomorfismo h:E→E' tal que he=e' y m'h=m . El monomorfismo m se denomina imagen de f .

En una categoría regular, un diagrama de la forma${\displaystyle R\rightrightarrows X\to Y}$Se dice que es una sucesión exacta si es a la vez un coecualizador y un par núcleo. La terminología es una generalización de las sucesiones exactas en el álgebra homológica : en una categoría abeliana , un diagrama

${\displaystyle R\;{\overset {r}{\underset {s}{\rightrightarrows }}}\;X\xrightarrow {f} Y}$

es exacto en este sentido si y solo si${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {(r,s)}}X\oplus X{\xrightarrow {(f,-f)}}Y\to 0}$es una secuencia exacta corta en el sentido habitual.

Un functor entre categorías regulares se denomina regular si conserva los límites finitos y los coecualizadores de pares de núcleos. Un functor es regular si y solo si conserva los límites finitos y las sucesiones exactas. Por esta razón, a los functores regulares se les suele llamar functores exactos . A los functores que conservan los límites finitos se les suele llamar exactos por la izquierda .

La lógica regular es el fragmento de lógica de primer orden que puede expresar enunciados de la forma

${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$,

dónde${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle \psi }$son fórmulas regulares, es decir, fórmulas construidas a partir de fórmulas atómicas , la constante de verdad, encuentros binarios (conjunción) y cuantificación existencial . Dichas fórmulas pueden interpretarse en una categoría regular, y la interpretación es un modelo de un secuente.${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$, si la interpretación de${\displaystyle \phi }$factores a través de la interpretación de${\displaystyle \psi }$. ^{[ 2 ]} Esto da para cada teoría (conjunto de secuenciantes) T y para cada categoría regular C una categoría Mod ( T ,C) de modelos de T en C . Esta construcción da un functor Mod ( T ,-): RegCat → Cat de la categoría RegCat de categorías regulares pequeñas y functores regulares a categorías pequeñas. Es un resultado importante que para cada teoría T hay una categoría regular R(T) , tal que para cada categoría regular C hay una equivalencia

${\displaystyle \mathbf {Mod} (T,C)\cong \mathbf {RegCat} (R(T),C)}$,

lo cual es natural en C. Aquí, R(T) se denomina la categoría clasificadora de la teoría regular T. Salvo equivalencia, cualquier pequeña categoría regular surge de esta manera como la categoría clasificadora de alguna teoría regular. ^{[ 2 ]}

La teoría de las relaciones de equivalencia es una teoría regular. Una relación de equivalencia en un objeto${\displaystyle X}$de una categoría regular es un monomorfismo en${\displaystyle X\times X}$que satisface las interpretaciones de las condiciones de reflexividad, simetría y transitividad.

Cada par de kernel${\displaystyle p_{0},p_{1}:R\rightarrow X}$define una relación de equivalencia${\displaystyle R\rightarrow X\times X}$. Por el contrario, se dice que una relación de equivalencia es efectiva si surge como un par núcleo. ^{[ 3 ]} Una relación de equivalencia es efectiva si y solo si tiene un coecualizador y es el par núcleo de este.

Se dice que una categoría regular es exacta , o exacta en el sentido de Barr , o regular efectiva , si toda relación de equivalencia es efectiva. ^{[ 4 ]} (Nótese que el término "categoría exacta" también se usa de manera diferente, para las categorías exactas en el sentido de Quillen ).

• Alegoría (teoría de categorías)
• Categoría coherente
• Topos
• Finalización exacta