ecuación de Klein-Gordon

La ecuación de Klein-Gordon fue descubierta independientemente a mediados de la década de 1920 por numerosos físicos . Por ello, Wolfgang Pauli la describió célebremente como «la ecuación con muchos padres». ^{[ 1 ] : 356} A veces se la conoce como la ecuación relativista de Schrödinger o la ecuación de Klein-Gordon-Fock. ^{[ 2 ] : 679}

El primero en descubrir la ecuación en diciembre de 1925, pero no publicarla, fue Erwin Schrödinger . ^{[ 2 ] : 679} Su derivación estuvo motivada por la teoría de De Broglie sobre las ondas de materia , con Schrödinger intentando encontrar una ecuación de onda que describiera su evolución . ^{[ 3 ]} Aplicó la ecuación de Klein-Gordon al átomo de hidrógeno , donde calculó la estructura fina de su espectro . Al encontrar que esto no coincidía con los resultados experimentales, se desmotivó de seguir investigando la ecuación. Como resultado, solo publicó el límite no relativista de la ecuación a principios de 1926, la ecuación de Schrödinger. Fue solo en su cuarto artículo en julio de 1926 que publicó la ecuación completa de Klein-Gordon. ^{[ 4 ]}

Durante la década de 1920, Oskar Klein desarrolló su propia teoría de las ondas, no muy diferente de la teoría de De Broglie. ^{[ 3 ]} En particular, se convenció de que su teoría ondulatoria de los átomos podía conectarse con una unificación de la electrodinámica maxwelliana y la relatividad general einsteiniana . Esto lo llevó a la idea de unificarlas en una teoría de la relatividad pentadimensional (véase la teoría de Kaluza-Klein ), donde interpretó la dimensión extra no como una dirección física real, sino como una coordenada interna formal que codificaba la carga eléctrica . ^{[ 5 ] : 49} A partir de esta teoría derivó la ecuación de Klein-Gordon, pero no le asignó mucha importancia, ya que solo constituía una pequeña parte de su publicación de abril de 1926. ^{[ 6 ]} Esta fue la primera vez que la ecuación apareció impresa. ^{[ 3 ]} Klein afirmó más tarde haber descubierto la ecuación originalmente en el verano de 1925, antes que Schrödinger, pero no hay evidencia primaria directa de esto.

Tras la publicación original de la ecuación no relativista de Schrödinger, fue sencillo generalizarla a su forma relativista . De esta forma, Pauli obtuvo la ecuación relativista en abril de 1926, pero no la publicó. ^{[ 7 ] [ 1 ] : 315} Perdió la confianza en la ecuación al no lograr utilizarla para establecer la equivalencia entre la mecánica matricial y la mecánica ondulatoria , como sí pudo hacerlo con la ecuación de Schrödinger. ^{[ 3 ]}

Mientras tanto, sin conocer el artículo de Klein, Vladimir Fock también derivó la ecuación y la publicó en junio. ^{[ 8 ]} Se centró en analizar la ecuación de onda para estudiar el efecto Zeeman y el efecto Stark . Fue además el primero en publicar la estructura fina resultante para el hidrógeno utilizando la ecuación, hallada previamente por Schrödinger. Poco después, Carl Eckart también calculó la estructura fina del hidrógeno de Klein-Gordon. ^{[ 9 ]}

Louis de Broglie también derivó la ecuación y la publicó en julio, motivado por la formulación no relativista de Schrödinger de su hipótesis sobre la teoría de las ondas de materia. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] : 44}

Walter Gordon también derivó la ecuación y la publicó a finales de septiembre, ^{[ 13 ] [ 14 ] : 115} centrándose principalmente en aplicarla al efecto Compton , derivando también la corriente asociada a la ecuación de Klein-Gordon, un resultado hallado previamente por Klein. ^{[ 3 ]}

Finalmente, hubo otros tres descubridores de la ecuación de Klein-Gordon. Fueron Théophile De Donder y Frans-H. van den Dungen , quienes trataban sistemas dinámicos generales y no se centraban explícitamente en la teoría cuántica . ^{[ 11 ] [ 5 ] : 49} Su artículo se publicó en julio de 1926. ^{[ 15 ]} Johann Kudar también publicó sobre la ecuación de Klein-Gordon en 1926. ^{[ 16 ] : 21 [ 17 ]}

La ecuación se utilizó en los años siguientes para investigar algunos problemas. Por ejemplo, Victor Bursian la utilizó para tratar la dispersión como una perturbación , encontrando solo una pequeña corrección relativista al resultado obtenido de la ecuación de Schrödinger. ^{[ 18 ]} Aparte de su uso en el estudio de la dispersión y la dispersión Compton, la ecuación no fue muy útil para tratar la mayoría de los problemas físicos, principalmente debido a su incapacidad para incorporar el espín . ^{[ 3 ] : 1031} Más importante aún, no era atractiva para los teóricos, ya que no lograba acomodar los principios de la mecánica cuántica tal como se entendían en ese momento, como el principio de incertidumbre de Heisenberg , la interpretación probabilística de Borns y la teoría de la transformación de Paul Dirac y Pascual Jordan . ^{[ 19 ] : 35} Como resultado, la ecuación no desempeñó un papel importante en el desarrollo de la mecánica cuántica.

Aunque la ecuación prácticamente desapareció de la física después de que se descubriera la ecuación de Dirac en 1928, fue revivida en 1934 por Pauli y Victor Weisskopf, quienes la reinterpretaron a la luz de la teoría de la cuantización de campos desarrollada en ese momento, dándole una interpretación cuántica aceptable como descripción de partículas de espín 0. ^{[ 20 ] [ 2 ] : 684} Esto permitió que los estados de energía negativa que aparecían en la interpretación mecánica cuántica ingenua se reinterpretaran como antipartículas .

La primera partícula de espín 0 predicha fue el mesón en 1935 por Hideki Yukawa , quien utilizó una forma de la ecuación. ^{[ 21 ]} Los primeros mesones descubiertos fueron los piones cargados en 1947, cuya cinemática se describe mediante la ecuación de Klein-Gordon. Muchos otros mesones fueron descubiertos en las décadas siguientes. La primera partícula elemental de espín 0 descubierta fue el bosón de Higgs en 2012.

Dado que los campos escalares relativistas desempeñan un papel destacado en la física moderna , el modelo de Klein-Gordon es igualmente indispensable en muchas áreas. Por ejemplo, dichos campos escalares se encuentran en cosmología y en la teoría de la inflación , ^{[ 22 ] : 154} en la descripción de candidatos a materia oscura como los axiones y muchos otros escenarios más allá del Modelo Estándar , ^{[ 23 ]} en muchas áreas de la física teórica como la teoría de cuerdas en forma de módulos , y en la correspondencia AdS/CFT . ^{[ 24 ]}

La ecuación de Klein-Gordon describe la evolución temporal de un campo escalar real.${\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})}$, que es un campo que asigna un número real a cada punto del espaciotiempo . La ecuación es una ecuación diferencial parcial hiperbólica de segundo orden dada por ^{[ 2 ] : 680}

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {c^{2}m^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bigg )}\phi (t,{\boldsymbol {x}})=0.}$

Aquí${\displaystyle \nabla ^{2}}$es el operador de Laplace ,${\displaystyle c}$la velocidad de la luz y${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida . El parámetro${\displaystyle m}$desempeña el papel de la masa del campo escalar . ^{[ nb 1 ]} El caso independiente del tiempo de la ecuación es equivalente a la ecuación de Poisson apantallada . Una expresión más concisa para la ecuación emplea unidades naturales , donde tanto la velocidad de la luz como la constante de Planck reducida se establecen en la unidad.${\displaystyle c=\hbar =1}$El operador diferencial toma la forma del operador de d'Alembert .${\displaystyle \square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$, dónde${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$es la métrica plana elevada . La ecuación de Klein-Gordon toma entonces la forma ^{[ 25 ] : 17}

La ecuación de Klein-Gordon también puede actuar sobre un campo escalar complejo.${\displaystyle \chi (x)}$, que es un campo que asigna a cada punto en el espaciotiempo un número complejo. ^{[ 25 ] : 18} En este caso, la ecuación puede descomponerse en un par de ecuaciones de Klein-Gordon que actúan independientemente sobre los dos grados de libertad del campo escalar complejo. Estos pueden ser las componentes real e imaginaria , o alternativamente el campo y su conjugado complejo . Esta descomposición se cumple porque una teoría no interactuante de un único campo escalar complejo es equivalente a una teoría de dos campos escalares reales desacoplados.

En el caso de un campo escalar complejo, las interacciones electromagnéticas pueden introducirse acoplando mínimamente los campos mediante la introducción de una derivada covariante de gauge.

${\displaystyle D_{\mu }\chi =(\partial _{\mu }-ieA_{\mu })\chi (x),}$

dónde${\displaystyle A_{\mu }}$es el campo de calibre y${\displaystyle e}$es la carga eléctrica del campo escalar. La derivada covariante se introduce para asegurar que la teoría resultante sea invariante de gauge bajo transformaciones de gauge donde el campo de gauge y el campo escalar se transforman como

${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }\lambda (x),\ \ \ \ \ \ \ \ \chi (x)\rightarrow e^{ie\lambda (x)}\chi (x),}$

para un parámetro de medición${\displaystyle \lambda (x)}$La ecuación de Klein-Gordon, acoplada mínimamente al electromagnetismo, toma entonces la forma

${\displaystyle (D_{\mu }D^{\mu }+m^{2})\chi (x)=0.}$

Esta ecuación describe la evolución de campos escalares complejos en electrodinámica escalar .

En una formulación lagrangiana , la ecuación de Klein-Gordon para un campo escalar real se puede obtener como la ecuación de Euler-Lagrange del lagrangiano ^{[ 16 ] : 21}

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _ {\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}.}$

En la teoría cuántica de campos, este lagrangiano describe un campo escalar real masivo no interactuante cuyas excitaciones son bosones escalares de masa${\displaystyle m}$En el caso de un campo escalar complejo${\displaystyle \chi (x)}$, su lagrangiano viene dado por ^{[ 25 ] : 18}

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\chi ^{\dagger }\partial _{\mu }\chi -m^{2}\chi ^{\dagger }\chi .}$

La ecuación de Klein-Gordon para${\displaystyle \chi }$y${\displaystyle \chi ^{\dagger }}$se encuentra variando el lagrangiano con respecto a${\displaystyle \chi ^{\dagger }}$y${\displaystyle \chi }$, respectivamente. Este lagrangiano es manifiestamente invariante bajo una condición global${\displaystyle {\text{U}}(1)}$simetría , que al ser calibrada resulta en electrodinámica escalar. ^{[ 26 ] : 140} La formulación lagrangiana es útil al calcular las corrientes asociadas con las simetrías usando el teorema de Noether . ^{[ 27 ] : 92}

La ecuación se puede derivar de forma análoga a como se deriva la ecuación de Schrödinger a partir de la ecuación no relativista para la energía de una partícula . En particular, en el límite no relativista, la energía${\displaystyle E}$de una partícula libre con momento${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$es dado por

${\displaystyle E={\frac {1}{2m}}{\boldsymbol {p}}^{2}.}$

Al elevar el momento y la energía a los operadores a través del principio de correspondencia ^{[ 14 ] : 116–117}

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}\rightarrow {\hat {\boldsymbol {p}}}=-i\hbar \nabla ,\ \ \ \ \ \ \ \ E\rightarrow {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}},}$

Esto da como resultado la ecuación de Schrödinger. ^{[ 12 ] : 368} La ecuación de Klein-Gordon se obtiene de manera similar reemplazando análogamente la energía y el momento por los operadores correspondientes en la relación energía-momento relativista ^{[ 2 ] : 680}

${\displaystyle E^{2}={\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}.}$

Intentar obtener la ecuación para la raíz cuadrada de la expresión anterior es, por otro lado, problemático, ya que el tiempo y el espacio no aparecen en igualdad de condiciones. ^{[ 28 ] : 4} Además, se tendrían raíces cuadradas de operadores diferenciales , que generalmente se manejan mediante la expansión de Taylor de la raíz cuadrada. Esto conduce a una serie infinita de términos de derivadas de orden superior, lo que dificulta el trabajo con la teoría. ^{[ 14 ] : 118}

La ecuación se transforma covariantemente bajo traslaciones espaciotemporales y el grupo de Lorentz . Juntos, estos forman el grupo de Poincaré que codifica las isometrías del espaciotiempo plano . Los campos escalares se transforman como escalares bajo transformaciones de Lorentz , lo que significa que bajo${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}$, el campo escalar se transforma como${\displaystyle \phi '(x')=\phi (x)}$. ^{[ 12 ] : 364–365}

Las simetrías globales dan lugar a corrientes y cargas a través del teorema de Noether . Las cuatro corrientes correspondientes a las cuatro traslaciones del espaciotiempo vienen dadas por el tensor de energía-impulso , que para una teoría de campo escalar real viene dado por ^{[ 28 ] : 138}

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }\phi \partial ^{\nu }\phi -g^{\mu \nu }{\mathcal {L}},}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es el lagrangiano . Las cargas conservadas vienen dadas por la integral espacial de la componente cero de la corriente. En este caso, las cargas conservadas son la energía total y el momento del campo . ^{[ 27 ] : 95} Para las transformaciones de Lorentz, las seis corrientes se expresan en términos del tensor energía-impulso como ^{[ 28 ] : 139}

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu \rho }=x^{\nu }T^{\mu \rho }-x^{\rho }T^{\mu \nu }.}$

Las cargas conservadas que surgen de los tres grados de libertad rotacionales son los momentos angulares , mientras que para los tres impulsos corresponden al movimiento del centro de energía.

La teoría del campo escalar real también tiene un campo discreto interno.${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$simetría${\displaystyle \phi (x)\rightarrow -\phi (x)}$, aunque esto no tiene consecuencias dinámicas en la teoría libre. ^{[ 28 ] : 144–145} En el caso de un campo escalar complejo, hay una constante interna continua.${\displaystyle {\text{U}}(1)}$simetría de fase ^{[ 16 ] : 79}

${\displaystyle \chi (x)\rightarrow e^{i\alpha }\chi (x),}$

con una corriente de Noether asociada dada por ^{[ 25 ] : 18}

${\displaystyle j^{\mu }=i(\chi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\chi -\chi \partial ^{\mu }\chi ^{\dagger }).}$

La carga conservada para esta simetría mide la diferencia en el número de partículas a antipartículas . Cuando se acopla al electromagnetismo , la carga es la carga eléctrica , cuya conservación corresponde a la conservación de la carga . ^{[ 27 ] : 96}

La ecuación de Klein-Gordon puede elevarse a la ecuación de Klein-Gordon no homogénea mediante la introducción de un término fuente.${\displaystyle J(x)}$como ^{[ 27 ] : 66}

${\displaystyle (\square +m^{2})\phi (x)=J(x).}$

Esta ecuación admite una solución general de la forma ^{[ 27 ] : 146}

${\displaystyle \phi (x)=\int d^{4}y\ G(x,y)J(y),}$

dónde${\displaystyle G(x,y)}$se conoce como la función de Green , que es la solución formal de la ecuación ^{[ 28 ] : 55}

${\displaystyle (\square +m^{2})G(x,y)=-i\delta ^{4}(xy).}$

El principio que subyace a la función de Green${\displaystyle G(x,y)}$es relacionar la solución en${\displaystyle x}$a algún término forzado en${\displaystyle y}$. ^{[ 27 ] : 145} Mientras que la función de Green puede verse como la inversa formal del operador de Klein-Gordon${\displaystyle (\square +m^{2})^{-1}}$, esta elección no es única. ^{[ 16 ] : 133} Una elección precisa de la función de Green requiere una elección de condiciones de contorno , especificando dónde tiene soporte , como por ejemplo, anularse para ciertos valores de${\displaystyle y}$.

Por ejemplo, la función de Green retardada se define como la que relaciona la solución en el presente con impulsos estrictamente del pasado.${\displaystyle y^{0}<x^{0}}$. ^{[ 28 ] : 30} Mientras tanto, la función de Green avanzada relaciona las soluciones en el presente con impulsos estrictamente del futuro. Estos están dados por

${\displaystyle G_{r,a}(x,y)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{ip\cdot (xy)}}{(p_{0}\pm i\epsilon )^{2}-{\boldsymbol {p}}^{2}-m^{2}}},}$

donde el signo positivo corresponde a la función de Green avanzada. ^{[ 29 ]}

Otra elección común de condición de contorno da como resultado el propagador de Feynman , que implementa el ordenamiento temporal y está dado por ^{[ nb 2 ] [ 28 ] : 55}

${\displaystyle G_{F}(x,y)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{ip\cdot (xy)}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}.}$

En la teoría cuántica de campos , este propagador es proporcional a la función de correlación de dos puntos ordenada en el tiempo para campos escalares. ^{[ 25 ] : 31}

La ecuación de Klein-Gordon se puede resolver directamente sustituyendo la transformada de Fourier del campo escalar ^{[ 27 ] : 59}

${\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\phi (p)e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}.}$

El operador de d'Alembert actúa únicamente sobre el término de 4 posiciones en el exponente, reduciendo los factores de momento. La ecuación se reduce entonces a una restricción sobre el cuadrimomento de las ondas planas.

${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=m^{2}.}$

Al expresar esto en términos de energía y momento tridimensional, se observa que es equivalente a la relación energía-momento para una partícula masiva.${\displaystyle E^{2}-{\boldsymbol {p}}^{2}=m^{2}}$. ^{[ 12 ] : 367} Por lo tanto, la solución más general a la ecuación de Klein-Gordon es una superposición de soluciones de ondas planas cuyos momentos satisfacen la relación energía-momento. ^{[ 26 ] : 21}

Al imponer la condición en la capa , como por ejemplo mediante la inserción de funciones delta en la solución de la transformada de Fourier, se encuentra una forma más explícita para las soluciones ^{[ nb 3 ].}

${\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {d^{3}{\boldsymbol {p}}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E({\boldsymbol {p}})}}(A({\boldsymbol {p}})e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}+B({\boldsymbol {p}})e^{ip_{\mu }x^{\mu }}),}$

dónde${\displaystyle A({\boldsymbol {p}})}$y${\displaystyle B({\boldsymbol {p}})}$son funciones arbitrarias del momento tridimensional, y${\displaystyle E({\boldsymbol {p}})={\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}}}}$es la energía de los modos. Esta forma hace explícita la presencia inevitable de soluciones de frecuencia tanto positivas como negativas .

Cuando la ecuación de Klein-Gordon se acopla mínimamente al electromagnetismo con un potencial de Coulomb , se utiliza para estudiar átomos exóticos cuyos núcleos son orbitados por partículas bosónicas sin espín . ^{[ 31 ] : 34} Por ejemplo, en un átomo piónico, el núcleo atómico es orbitado por piones con carga negativa.${\displaystyle \pi ^{-}}$con masa${\displaystyle m_{\pi }}$. La vida útil de los piones es lo suficientemente larga como para que este sistema forme estados ligados antes de que el pión se desintegre .

El caso en que solo un pión orbita un núcleo de carga${\displaystyle Ze}$se puede resolver directamente. Las soluciones estacionarias para un potencial de Coulomb utilizan la separación de variables , donde el campo se escribe como${\displaystyle \phi (x)=e^{-i\epsilon t}\Phi ({\boldsymbol {x}})}$, para expresar la ecuación de Klein-Gordon como ^{[ 2 ] : 681}

${\displaystyle {\bigg [}{\bigg (}\epsilon +{\frac {Z\alpha }{r}}{\bigg )}^{2}+\nabla ^{2}-m_{\pi }^{2}{\bigg ]}\Phi ({\boldsymbol {x}})=0,}$

dónde${\displaystyle \alpha }$es la constante de estructura fina . Los niveles de energía de este sistema vienen dados por ^{[ 31 ] : 34–37}

${\displaystyle E_{\text{KG}}={\frac {m_{\pi }}{\sqrt {1+{\frac {(Z\alpha )^{2}}{{\Big (}n-{\big (}l+{\tfrac {1}{2}}{\big )}+{\sqrt {{\big (}l+{\tfrac {1}{2}}{\big )}^{2}-(Z\alpha )^{2}}}{\Big )}^{2}}}}}},}$

dónde${\displaystyle n}$es el número cuántico principal y${\displaystyle l}$es el número cuántico de momento angular orbital . A diferencia del caso no relativista, los efectos relativistas eliminan la degeneración en el${\displaystyle l}$estados.

Estos niveles de energía difieren de los átomos tradicionales porque los electrones son fermiones con espín medio , mientras que la ecuación de Klein-Gordon describe partículas bosónicas de espín cero. Sin embargo, la expresión para los niveles de energía de los átomos regulares, conocida como la fórmula de Sommerfeld, es muy similar. Se obtiene directamente de lo anterior mediante la sustitución de la masa del pión por la masa del electrón y mediante la sustitución${\displaystyle l\rightarrow j}$, el número cuántico angular espín-orbital. Los niveles de energía predichos por${\displaystyle E_{\text{KG}}}$se han observado con éxito en átomos piónicos. ^{[ 32 ]}

La solución falla cuando${\displaystyle Z\alpha >l+1/2}$, donde la raíz cuadrada se vuelve imaginaria, lo que ocurre por primera vez para${\displaystyle Z=69}$[ ^{33 ] : 95} Físicamente, el potencial de Coulomb atractivo es demasiado fuerte, y la energía cinética del pión es insuficiente para evitar que el pión gire en espiral hacia el núcleo. ^{[ 33 ] : 97 A} diferencia del caso no relativista, heurísticamente esto ocurre a nivel clásico en la teoría relativista porque la velocidad del pión no puede aumentar lo suficientemente rápido a medida que disminuye su radio orbital para mantener la fuerza centrífuga necesaria para resistir la fuerza de Coulomb. ^{[ 14 ] : 166} Más precisamente, el problema surge porque la función de onda desarrolla un comportamiento patológico de corta distancia. Para núcleos atómicos realistas, este problema se evita parcialmente para mayores${\displaystyle Z}$debido a que no poseen potenciales de Coulomb puntuales perfectos . ^{[ 14 ] : 166–167}

Otra solución notable a la ecuación de Klein-Gordon es la dispersión de una onda plana inicial en un escalón de potencial de altura${\displaystyle V}$. ^{[ 34 ]} Las propiedades de esta solución se describen mediante un coeficiente de reflexión${\displaystyle R}$y un coeficiente de transmisión${\displaystyle T}$, que satisfacen${\displaystyle R+T=1}$Describen la probabilidad de que la onda incidente se refleje en la barrera o la atraviese, respectivamente. Para grandes energías incidentes${\displaystyle E>V+m}$, tanto los coeficientes de reflexión como de transmisión son distintos de cero, existiendo cierta probabilidad de que la partícula atraviese la barrera y cierta probabilidad de que se refleje. ^{[ 31 ] : 30–34} En el caso en que${\displaystyle V+m>E>V-m}$El coeficiente de transmisión es cero y el coeficiente de reflexión es uno, reflejándose siempre la partícula. Este comportamiento coincide con el observado en la ecuación de Schrödinger no relativista . ^{[ 33 ] : 85–88}

Sin embargo, cuando el potencial es muy grande${\displaystyle V>E+m}$La solución adquiere coeficientes de transmisión negativos.${\displaystyle T<0}$y un coeficiente de reflexión mayor que uno${\displaystyle R>1}$Este comportamiento se conoce como la paradoja de Klein y fue descrito por primera vez por Oskar Klein para la ecuación de Dirac . ^{[ 35 ]} La paradoja se resuelve reinterpretando el fenómeno como la creación de pares partícula-antipartícula a partir de la propia barrera de potencial. ^{[ 31 ] : 30-34} Las antipartículas son atraídas hacia el potencial mientras que las partículas son repelidas, contribuyendo al haz reflejado y aumentando la cantidad de partículas observadas que regresan de la barrera. Un análisis completo requiere una teoría relativista de múltiples partículas en forma de teoría cuántica de campos. ^{[ 33 ] : 88}

La ecuación de Klein-Gordon fue concebida originalmente en el contexto de la mecánica cuántica relativista , donde cumple la función de una generalización relativista de la ecuación de Schrödinger . Allí describe la evolución de la función de onda de valor complejo.${\displaystyle \Psi (t,{\boldsymbol {x}})}$a través de ^{[ 36 ] : 480}

${\displaystyle \hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\Psi (t,{\boldsymbol {x}})={\big (}c^{2}\hbar ^{2}\nabla ^{2}-c^{4}m^{2}{\big )}\Psi (t,{\boldsymbol {x}}),}$

dónde${\displaystyle \nabla ^{2}}$es el laplaciano ,${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida y${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz .

Si la ecuación de Klein-Gordon va a describir una función de onda, debe existir una densidad de probabilidad conservada correspondiente que pueda construirse a partir de la función de onda. ^{[ 36 ] : 482} La densidad de probabilidad candidata, dada por el componente cero de la cuadricorriente correspondiente a la${\displaystyle {\text{U}}(1)}$simetría de fase compleja${\displaystyle \Psi (t,{\boldsymbol {x}})\rightarrow e^{i\theta }\Psi (t,{\boldsymbol {x}})}$, se da por ^{[ 2 ] : 683}

${\displaystyle P({\boldsymbol {r}},t)={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}{\bigg (}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}{\bigg )}.}$

Aunque se conserva , no es definida positiva y, por lo tanto, no puede interpretarse como una densidad de probabilidad. ^{[ 12 ] : 365} Esto es a pesar de que su correspondiente 3-corriente coincide con la forma de la corriente de probabilidad para la ecuación de Schrödinger en el límite no relativista.

Otro problema es la presencia de estados de energía negativa . Soluciones de onda plana de la ecuación${\displaystyle \Psi =Ae^{-i(Et-{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {x}})/\hbar }}$admitir ambas soluciones de energía positiva${\displaystyle E>mc^{2}}$y soluciones de energía negativa${\displaystyle E<-mc^{2}}$[ ^{2 ] : 683} En principio, la presencia de un ^espectro ilimitado no es un problema en una teoría sin interacciones. Sin embargo, los problemas surgen una vez que se incluyen las interacciones, como a través del acoplamiento al campo electromagnético . Históricamente, esto se consideraba un problema porque entonces no hay nada que impida la desintegración indefinida de un estado mediante la emisión de radiación electromagnética . Desde una perspectiva moderna, esto refleja en cambio el fracaso de la interpretación de partícula única de la teoría. ^{[ 36 ] : 487}

En el marco de la segunda cuantización de la teoría cuántica de campos , los campos se elevan a operadores que actúan sobre estados. ^{[ 36 ] : 489} Se pueden usar para crear o destruir partículas o antipartículas cuando actúan sobre un estado. Para un campo escalar complejo, el operador${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)}$aniquila partículas y crea antipartículas, mientras que${\displaystyle {\hat {\phi }}^{\dagger }(x)}$crea partículas y aniquila antipartículas. ^{[ 16 ] : 66} Esto contrasta con la mecánica cuántica relativista, donde el campo corresponde a una función de onda que describe el estado de una sola partícula. La ecuación de Klein-Gordon describe la ecuación de movimiento para el operador de campo y las partículas que crea. ^{[ 37 ] : 82} En el límite de grandes números de ocupación en un estado coherente o semiclasico , la teoría cuántica de campos para un campo escalar se reduce a una teoría clásica de campos . ^{[ 38 ] : 209}

Los estados de frecuencia negativa que causan problemas en la aplicación mecánica cuántica de la ecuación de Klein-Gordon se reinterpretan como antipartículas de energía positiva. ^{[ 37 ] : 18} Para una teoría de campo escalar real, las partículas son sus propias antipartículas, mientras que para una teoría de campo escalar compleja, ambas tienen cargas opuestas . La densidad de probabilidad candidata para la teoría cuántica, que no resultó ser definida positiva, se reinterpreta en cambio como la descripción del operador de densidad de carga conservada en la teoría de campo cuántico. ^{[ 31 ] : 26}

El límite no relativista${\displaystyle v\ll c}$La ecuación compleja de Klein-Gordon produce la ecuación de Schrödinger en el orden principal. Esto se puede derivar factorizando la energía de masa en reposo oscilante a través de la redefinición del campo ^{[ 16 ] : 190}

${\displaystyle \chi (t,{\boldsymbol {x}})={\tilde {\chi }}(t,{\boldsymbol {x}})e^{-imt},}$

y al restringirse al sector de partículas de frecuencia positiva, eliminando así la antipartícula del espectro . ^{[ 27 ] : 112–113} Un enfoque más cuidadoso produce dos ecuaciones de Schrödinger independientes para dos campos complejos${\displaystyle ({\tilde {\chi }}_{1},{\tilde {\chi }}_{2})}$, uno para la partícula y otro para la antipartícula. ^{[ 12 ] : 366} La teoría no relativista resultante tiene una expansión${\displaystyle {\text{U}}(2)}$grupo de simetría asociado con el par complejo${\displaystyle ({\tilde {\chi }}_{1},{\tilde {\chi }}_{2})}$. Esto tiene un${\displaystyle {\text{U}}(1)\times {\text{U}}(1)}$subgrupo , correspondiente a una redefinición de fase de cada uno${\displaystyle {\tilde {\chi }}_{i}}$, lo que implica la conservación del número de partículas y del número de antipartículas, por separado. ^{[ 39 ]} Cuando se incluyen las interacciones, estas simetrías pueden romperse en una única global${\displaystyle {\text{U}}(2)\rightarrow {\text{U}}(1)}$correspondiente a la conservación de la carga heredada de la teoría relativista completa. Además, la teoría de campo efectiva no relativista puede tener un rango de viabilidad limitado, como por ejemplo, ser válida solo cuando las partículas y antipartículas no se encuentran y se aniquilan en estados relativistas . Si se permite que ocurran tales eventos y la teoría de campo efectiva no incluye los grados de libertad relativistas , entonces la teoría de campo efectiva no relativista deja de ser una teoría unitaria cerrada . ^{[ 40 ]}

El límite no relativista de la ecuación real de Klein-Gordon es más sutil debido a que la partícula es su propia antipartícula. Sin embargo, puede definirse, con un único campo escalar real relativista que da como resultado una teoría para un único campo escalar complejo en el límite no relativista. A pesar de ser un campo complejo, los grados de libertad coinciden, ya que la teoría relativista es una teoría de segunda derivada en el tiempo, mientras que la teoría no relativista es una teoría de primer orden; por lo tanto, cada campo no relativista tiene la mitad de grados de libertad que en la teoría relativista. ^{[ 41 ]} La definición ingenua del campo escalar complejo no relativista${\displaystyle \psi (t,{\boldsymbol {x}})}$del campo relativista${\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})}$es ^{[ 42 ]}

${\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})={\frac {1}{\sqrt {2m}}}[\psi (t,{\boldsymbol {x}})e^{-imt}+\psi ^{*}(t,{\boldsymbol {x}})e^{imt}].}$

Esta definición funciona bien para una teoría libre donde la teoría no relativista para${\displaystyle \psi (t,{\boldsymbol {x}})}$se obtiene eliminando términos de alta frecuencia de orden${\displaystyle m}$, dando la ecuación de Schrödinger en orden principal. Sin embargo, cuando se tienen en cuenta las interacciones, una definición no local modificada de${\displaystyle \psi (t,{\boldsymbol {x}})}$se suele utilizar para llegar más fácilmente a una teoría no relativista efectiva . ^{[ 43 ]} La teoría no relativista también tiene una emergente${\displaystyle {\text{U}}(1)}$simetría, que es exacta en el caso de no interacción. Esta simetría implica la conservación del número de partículas con una carga numérica de

${\displaystyle N=\int d^{3}{\boldsymbol {x}}\ |\psi |^{2}.}$

En una teoría de autointeracción, esta simetría se mantiene para todos los órdenes en la teoría de perturbaciones en el límite de energías suficientemente bajas.${\displaystyle E\ll m}$y para números de ocupación bajos que cinemáticamente impiden procesos que violen el número. ^{[ 43 ]}

Si bien el límite de la ecuación clásica de Klein-Gordon sin interacción a la ecuación clásica de Schrödinger es directo, se debe tener más cuidado al llevar el límite de la teoría cuántica de campos a la mecánica cuántica no relativista . Esto se debe a que las variables fundamentales utilizadas difieren significativamente en ambos marcos teóricos.

Una forma burda de tomar el límite no relativista es construir la función de onda del estado de la partícula . En particular, para el campo complejo de Klein-Gordon, esto se hace utilizando el operador de campo de la teoría cuántica de campos para crear un estado de una partícula en la posición${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$como ^{[ nb 4 ] [ 36 ] : 480}

${\displaystyle |{\boldsymbol {x}}\rangle =\phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}})|0\rangle .}$

Esto se utiliza luego para construir un estado más general como una superposición de estos estados de posición.

${\displaystyle |\varphi \rangle =\int d^{3}x\varphi ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}\rangle ,}$

dónde${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}})}$ahora es la función de onda. ^{[ 44 ]} Al construir el hamiltoniano de la teoría de campos , se puede demostrar que esto implica la ecuación de Schrödinger para la función de onda.

${\displaystyle i{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\varphi .}$

Este procedimiento es técnicamente bastante impreciso y no se generaliza fácilmente para incluir interacciones. Tampoco aborda qué sucedió con los grados de libertad de la antipartícula. En cambio, un análisis más cuidadoso muestra que el límite no relativista da lugar a la ecuación de Schrödinger tanto para la partícula como para la antipartícula. Este procedimiento también puede utilizarse en el caso de un campo de Klein-Gordon real para obtener una teoría cuántica no relativista. ^{[ 45 ]}

En el espaciotiempo curvo , la métrica plana debe elevarse a una métrica curva , y las derivadas deben modificarse para tener en cuenta la curvatura del espaciotiempo mediante la introducción de una derivada covariante.${\displaystyle \nabla _{\mu }}$. En la signatura métrica mayoritariamente negativa , la ecuación de Klein-Gordon en el espaciotiempo curvo toma la forma ^{[ 46 ] : 182}

${\displaystyle (g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }+m^{2})\phi =0.}$

Una forma alternativa que reemplaza la derivada covariante con derivadas parciales regulares , evitando tener que calcular explícitamente los símbolos de Christoffel , viene dada por ^{[ 47 ] : 105}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\partial _{\nu }\phi )+m^{2}\phi =0.}$

Aquí${\displaystyle g^{\mu \nu }}$es el tensor métrico inverso y${\displaystyle g}$es el determinante de la métrica.

Una forma más general de la ecuación de Klein-Gordon que permite un acoplamiento no mínimo a la gravedad viene dada por ^{[ 48 ] : 44}

${\displaystyle (\nabla ^{\mu }\nabla _{\mu }+m^{2}+\xi R)\phi =0,}$

dónde${\displaystyle R}$es el escalar de Ricci . El caso de${\displaystyle \xi =0}$se conoce como acoplamiento mínimo, y la ecuación se reduce a la forma antes mencionada. Mientras tanto, en${\displaystyle d}$espaciotiempo dimensional, cuando ^{[ 49 ] : 44}

${\displaystyle \xi ={\frac {1}{4}}{\frac {d-2}{d-1}},}$

Se dice que el campo de Klein-Gordon está acoplado conformemente a la gravedad. Cuando el campo acoplado conformemente también carece de masa , la ecuación es conformemente invariante . Este caso se utiliza a menudo como un modelo particularmente manejable para una teoría cuántica de campos en cálculos de espaciotiempo curvo . En particular, para espaciotiempos conformemente planos, estos campos no experimentan ninguna producción de partículas debido a que el sistema es equivalente a una teoría de espacio plano . ^{[ 48 ] : 62}

La ecuación de Klein-Gordon es la ecuación de movimiento para las teorías de campo escalar relativistas libres. Una vez que se introducen las autointeracciones a través de un potencial${\displaystyle V(\phi )}$, la ecuación de movimiento resultante toma la forma de una ecuación de Klein-Gordon no lineal ^{[ 26 ] : 32}

${\displaystyle (\square +m^{2})\phi (x)=-{\frac {\partial V}{\partial \phi }}.}$

Ejemplos notables incluyen la ecuación de seno-Gordon y la ecuación de movimiento para${\displaystyle \phi ^{4}}$teoría . ^{[ 38 ] : 59–60}

También se pueden introducir interacciones en la ecuación de Klein-Gordon al calibrar el campo escalar bajo algún grupo de calibración . ^{[ 26 ] : 121} Cuando se calibra bajo un${\displaystyle {\text{U}}(1)}$grupo, entonces esto conduce a la electrodinámica escalar , mientras que cuando se mide bajo un${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$grupo, el resultado se denomina cromodinámica escalar . En general, cuando se mide bajo algún grupo de Lie${\displaystyle G}$, la ecuación de Klein-Gordon toma la forma ^{[ 50 ]}

${\displaystyle (D_{\mu }D^{\mu }+m^{2})\Phi (x)=0,}$

dónde${\displaystyle \Phi (x)}$es un campo escalar multicomponente que pertenece a alguna representación del grupo de Lie. Esto significa que se transforma como${\displaystyle \Phi (x)\rightarrow \rho (g(x))\Phi (x)}$, dónde${\displaystyle \rho (g)}$es una representación matricial del elemento del grupo${\displaystyle g\in G}$Mientras tanto, la derivada covariante de gauge se define como ^{[ 26 ] : 482}

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}T^{a},}$

dónde${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$son los componentes del campo de calibre, correspondientes a la conexión , y${\displaystyle T^{a}}$son los generadores en la representación del álgebra de Lie correspondientes a la representación del grupo de Lie${\displaystyle \rho (g)}$.

Los componentes de todos los campos de espín no interactuantes satisfacen la ecuación de Klein-Gordon, ya sea directamente o una vez que se imponen las restricciones apropiadas. ^{[ 51 ]} Esta es una consecuencia de la teoría de grupos , ya que todas las representaciones irreducibles unitarias del grupo de Poincaré satisfacen la ecuación. ^{[ 38 ] : 8} Por ejemplo, cualquier solución de la ecuación de Dirac , que describe campos espinoriales de espín 1/2 , es automáticamente una solución de la ecuación de Klein-Gordon. ^{[ 52 ]} Un resultado similar se cumple para la ecuación de Maxwell y la ecuación de Proca , que describen campos sin masa y con masa de espín 1.${\displaystyle A^{\mu }}$, respectivamente. ^{[ 27 ] : 120–121} Sus ecuaciones componentes se reducen a la ecuación de Klein-Gordon sin masa y con masa una vez que se cumple la restricción${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}$Se impone, lo cual es una restricción necesaria para la ecuación de Proca, mientras que para la ecuación de Maxwell solo se trata de una elección de calibre del calibre de Lorenz . ^{[ 38 ] : 125 [ 26 ] : 119}