multiplicador de Lagrange

Dejar${\displaystyle \ M\ }$ser una variedad suave de dimensión${\displaystyle \ m~.}$Supongamos que deseamos encontrar los puntos estacionarios.${\displaystyle \ x\ }$de una función suave${\displaystyle \ f:M\to \mathbb {R} \ }$cuando se restringe a la subvariedad${\displaystyle \ N\ }$definido por${\displaystyle \ g(x)=0\ ,}$dónde${\displaystyle \ g:M\to \mathbb {R} \ }$es una función suave para la cual 0 es un valor regular .

Dejar${\displaystyle \ \operatorname {d} f\ }$y${\displaystyle \ \operatorname {d} g\ }$ser los derivados exteriores de${\displaystyle \ f\ }$y${\displaystyle \ g\ }$Estacionariedad para la restricción${\displaystyle \ f|_{N}\ }$en${\displaystyle \ x\in N\ }$medio${\displaystyle \ \operatorname {d} (f|_{N})_{x}=0~.}$De forma equivalente, el núcleo${\displaystyle \ \ker(\operatorname {d} f_{x})\ }$contiene${\displaystyle \ T_{x}N=\ker(\operatorname {d} g_{x})~.}$En otras palabras,${\displaystyle \ \operatorname {d} f_{x}\ }$y${\displaystyle \ \operatorname {d} g_{x}\ }$son 1-formas proporcionales. Para ello es necesario y suficiente que el siguiente sistema de${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}m(m-1)\ }$Las ecuaciones se cumplen: $${\displaystyle \operatorname {d} f_{x}\wedge \operatorname {d} g_{x}=0\in \Lambda ^{2}(T_{x}^{\ast }M)}$$ dónde${\displaystyle \ \wedge \ }$denota el producto exterior . Los puntos estacionarios${\displaystyle \ x\ }$son las soluciones del sistema de ecuaciones anterior más la restricción${\displaystyle \ g(x)=0~.}$Tenga en cuenta que el${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}m(m-1)\ }$Las ecuaciones no son independientes, ya que el lado izquierdo de la ecuación pertenece a la subvariedad de${\displaystyle \ \Lambda ^{2}(T_{x}^{\ast }M)\ }$compuesto de elementos descomponibles .

En esta formulación, no es necesario hallar explícitamente el multiplicador de Lagrange, un número${\displaystyle \ \lambda \ }$de tal manera que${\displaystyle \ \operatorname {d} f_{x}=\lambda \cdot \operatorname {d} g_{x}~.}$

Dejar${\displaystyle \ M\ }$y${\displaystyle \ f\ }$ser como en la sección anterior con respecto al caso de una sola restricción. En lugar de la función${\displaystyle g}$Descrita allí, ahora consideremos una función suave.${\displaystyle \ G:M\to \mathbb {R} ^{p}(p>1)\ ,}$con funciones de componentes${\displaystyle \ g_{i}:M\to \mathbb {R} \ ,}$para qué${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{p}}$es un valor regular .${\displaystyle N}$sea ​​la subvariedad de${\displaystyle \ M\ }$definido por${\displaystyle \ G(x)=0~.}$

${\displaystyle \ x\ }$es un punto estacionario de${\displaystyle f|_{N}}$si y solo si${\displaystyle \ \ker(\operatorname {d} f_{x})\ }$contiene${\displaystyle \ \ker(\operatorname {d} G_{x})~.}$Para mayor comodidad, deje que${\displaystyle \ L_{x}=\operatorname {d} f_{x}\ }$y${\displaystyle \ K_{x}=\operatorname {d} G_{x}\ ,}$dónde${\displaystyle \ \operatorname {d} G}$denota el mapa tangente o jacobiano${\displaystyle \ TM\to T\mathbb {R} ^{p}~}$(${\displaystyle \ T_{x}\mathbb {R} ^{p}}$puede identificarse canónicamente con${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{p}}$). El subespacio${\displaystyle \ker(K_{x})}$tiene una dimensión menor que la de${\displaystyle \ker(L_{x})}$, es decir${\displaystyle \ \dim(\ker(L_{x}))=n-1\ }$y${\displaystyle \ \dim(\ker(K_{x}))=n-p~.}$${\displaystyle \ker(K_{x})}$pertenece a${\displaystyle \ \ker(L_{x})\ }$si y solo si${\displaystyle L_{x}\in T_{x}^{\ast }M}$pertenece a la imagen de${\displaystyle \ K_{x}^{\ast }:\mathbb {R} ^{p\ast }\to T_{x}^{\ast }M~.}$Desde el punto de vista computacional, la condición es que${\displaystyle L_{x}}$pertenece al espacio fila de la matriz de${\displaystyle \ K_{x}\ ,}$o equivalentemente el espacio columna de la matriz de${\displaystyle K_{x}^{\ast }}$(la transpuesta). Si${\displaystyle \ \omega _{x}\in \Lambda ^{p}(T_{x}^{\ast }M)\ }$denota el producto exterior de las columnas de la matriz de${\displaystyle \ K_{x}^{\ast }\ ,}$la condición estacionaria para${\displaystyle \ f|_{N}\ }$en${\displaystyle \ x\ }$se convierte $${\displaystyle L_{x}\wedge \omega _{x}=0\in \Lambda ^{p+1}\left(T_{x}^{\ast }M\right)}$$ Una vez más, en esta formulación no es necesario encontrar explícitamente los multiplicadores de Lagrange, los números${\displaystyle \ \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{p}\ }$de tal manera que $${\displaystyle \ \operatorname {d} f_{x}=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}\operatorname {d} (g_{i})_{x}~.}$$

Supongamos que deseamos maximizar${\displaystyle \ f(x,y)=x+y\ }$sujeto a la restricción${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=1~.}$El conjunto factible es el círculo unitario, y los conjuntos de nivel de f son líneas diagonales (con pendiente −1), por lo que podemos ver gráficamente que el máximo ocurre en${\displaystyle \ \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}},{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\ ,}$y que el mínimo se produce en${\displaystyle \ \left(-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)~.}$

Para el método de los multiplicadores de Lagrange, la restricción es $${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\ ,}$$ de ahí la función lagrangiana, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )&=f(x,y)+\lambda \cdot g(x,y)\\[4pt]&=x+y+\lambda (x^{2}+y^{2}-1)\ ,\end{aligned}}}$$ es una función que es equivalente a${\displaystyle \ f(x,y)\ }$cuando${\displaystyle \ g(x,y)\ }$está establecido en 0 .

Ahora podemos calcular el gradiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{x,y,\lambda }{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )&=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}},{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}},{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}\right)\\[4pt]&=\left(1+2\lambda x,1+2\lambda y,x^{2}+y^{2}-1\right)\ \color {gray}{,}\end{aligned}}}$$ y por lo tanto: $${\displaystyle \nabla _{x,y,\lambda }{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )=0\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{cases}1+2\lambda x=0\\1+2\lambda y=0\\x^{2}+y^{2}-1=0\end{cases}}}$$

Nótese que la última ecuación es la restricción original.

Las dos primeras ecuaciones dan como resultado: $${\displaystyle x=y=-{\frac {1}{2\lambda }},\qquad \lambda \neq 0~.}$$ Sustituyendo en la última ecuación tenemos: $${\displaystyle {\frac {1}{4\lambda ^{2}}}+{\frac {1}{4\lambda ^{2}}}-1=0\ ,}$$ entonces $${\displaystyle \lambda =\pm {\frac {1}{\sqrt {2\ }}}\ ,}$$ lo que implica que los puntos estacionarios de${\displaystyle {\mathcal {L}}}$son $${\displaystyle \left({\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}},{\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}},-{\tfrac {1}{\sqrt {2\ }}}\right),\qquad \left(-{\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}},{\tfrac {1}{\sqrt {2\ }}}\right)~.}$$

Evaluar la función objetivo f en estos puntos produce: $${\displaystyle f\left({\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}},{\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}}\right)={\sqrt {2\ }}\ ,\qquad f\left(-{\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}}\right)=-{\sqrt {2\ }}~.}$$

Por lo tanto, el máximo restringido es${\displaystyle \ {\sqrt {2\ }}\ }$y el mínimo restringido es${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$.

Ahora modificamos la función objetivo del Ejemplo 1 para minimizar ${\displaystyle \ f(x,y)=(x+y)^{2}\ }$en lugar de${\displaystyle \ f(x,y)=x+y\ ,}$de nuevo a lo largo del círculo${\displaystyle \ g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0~.}$Ahora los conjuntos de nivel de${\displaystyle f}$siguen siendo líneas de pendiente −1, y los puntos en el círculo tangente a estos conjuntos de nivel son nuevamente${\displaystyle \ ({\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2)\ }$y${\displaystyle \ (-{\sqrt {2}}/2,-{\sqrt {2}}/2)~.}$Estos puntos de tangencia son máximos de${\displaystyle \ f~.}$

Por otro lado, los mínimos ocurren en el conjunto de nivel para${\displaystyle \ f=0\ }$(ya que por su construcción${\displaystyle \ f\ }$no puede tomar valores negativos), en${\displaystyle \ ({\sqrt {2}}/2,-{\sqrt {2}}/2)\ }$y${\displaystyle \ (-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2)\ ,}$donde las curvas de nivel de${\displaystyle \ f\ }$no son tangentes a la restricción. La condición que${\displaystyle \ \nabla _{x,y,\lambda }\left(f(x,y)+\lambda \cdot g(x,y)\right)=0\ }$identifica correctamente los cuatro puntos como extremos; los mínimos se caracterizan por${\displaystyle \ \lambda =0\ }$y los máximos por${\displaystyle \ \lambda =-2~.}$

Este ejemplo aborda cálculos más complejos, pero sigue siendo un problema con una sola restricción.

Supongamos que uno quiere encontrar los valores máximos de $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}y}$$ con la condición de que el${\displaystyle \ x\ }$- y${\displaystyle \ y\ }$-las coordenadas se encuentran en el círculo alrededor del origen con radio${\displaystyle \ {\sqrt {3\ }}~.}$Es decir, sujeto a la restricción $${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-3=0~.}$$

Como solo hay una restricción, hay un solo multiplicador, por ejemplo${\displaystyle \ \lambda ~.}$

La restricción${\displaystyle \ g(x,y)\ }$es idénticamente cero en el círculo de radio${\displaystyle \ {\sqrt {3\ }}~.}$Cualquier múltiplo de${\displaystyle \ g(x,y)\ }$se puede agregar a${\displaystyle \ g(x,y)\ }$partida${\displaystyle \ g(x,y)\ }$sin cambios en la región de interés (en el círculo donde se cumple nuestra restricción original).

Aplicando el método del multiplicador de Lagrange ordinario se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )&=f(x,y)+\lambda \cdot g(x,y)\\&=x^{2}y+\lambda (x^{2}+y^{2}-3)\ ,\end{aligned}}}$$ a partir de la cual se puede calcular el gradiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{x,y,\lambda }{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )&=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}},{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}},{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}\right)\\&=\left(2xy+2\lambda x,x^{2}+2\lambda y,x^{2}+y^{2}-3\right)~.\end{aligned}}}$$ Y por lo tanto: $${\displaystyle \nabla _{x,y,\lambda }{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )=0\quad \iff \quad {\begin{cases}2xy+2\lambda x=0\\x^{2}+2\lambda y=0\\x^{2}+y^{2}-3=0\end{cases}}\quad \iff \quad {\begin{cases}x(y+\lambda )=0&{\text{(i)}}\\x^{2}=-2\lambda y&{\text{(ii)}}\\x^{2}+y^{2}=3&{\text{(iii)}}\end{cases}}}$$ (iii) es simplemente la restricción original. (i) implica${\displaystyle \ x=0\ }$o${\displaystyle \ \lambda =-y~.}$Si${\displaystyle x=0}$entonces${\displaystyle \ y=\pm {\sqrt {3\ }}\ }$por (iii) y, en consecuencia, ${\displaystyle \ \lambda =0\ }$de (ii). Si${\displaystyle \ \lambda =-y\ ,}$Sustituyendo esto en (ii) se obtiene${\displaystyle \ x^{2}=2y^{2}~.}$Sustituyendo esto en (iii) y resolviendo para${\displaystyle \ y\ }$da${\displaystyle \ y=\pm 1~.}$Por lo tanto, hay seis puntos críticos de${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\$ :} $${\displaystyle ({\sqrt {2\ }},1,-1);\quad (-{\sqrt {2\ }},1,-1);\quad ({\sqrt {2\ }},-1,1);\quad (-{\sqrt {2\ }},-1,1);\quad (0,{\sqrt {3\ }},0);\quad (0,-{\sqrt {3\ }},0)~.}$$

Al evaluar el objetivo en estos puntos, se encuentra que $${\displaystyle f(\pm {\sqrt {2\ }},1)=2;\quad f(\pm {\sqrt {2\ }},-1)=-2;\quad f(0,\pm {\sqrt {3\ }})=0~.}$$

Por lo tanto, la función objetivo alcanza el máximo global (sujeto a las restricciones) en${\displaystyle \ (\pm {\sqrt {2\ }},1\ )}$y el mínimo global en${\displaystyle \ (\pm {\sqrt {2\ }},-1)~.}$El punto${\displaystyle \ (0,{\sqrt {3\ }})\ }$es un mínimo local de${\displaystyle \ f\ }$y${\displaystyle \ (0,-{\sqrt {3\ }})\ }$es un máximo local de${\displaystyle \ f\ ,}$como se puede determinar considerando la matriz hessiana de${\displaystyle \ {\mathcal {L}}(x,y,0)~.}$

Tenga en cuenta que mientras${\displaystyle \ ({\sqrt {2\ }},1,-1)\ }$es un punto crítico de${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ ,}$no es un extremo local de${\displaystyle \ {\mathcal {L}}~.}$Tenemos $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left({\sqrt {2\ }}+\varepsilon ,1,-1+\delta \right)=2+\delta \left(\varepsilon ^{2}+\left(2{\sqrt {2\ }}\right)\varepsilon \right)~.}$$

Dado cualquier vecindario de${\displaystyle \ ({\sqrt {2\ }},1,-1)\ ,}$uno puede elegir un pequeño positivo${\displaystyle \ \varepsilon \ }$y un pequeño${\displaystyle \ \delta \ }$de cualquiera de los signos para obtener${\displaystyle \ {\mathcal {L}}}$valores tanto mayores como menores que${\displaystyle \ 2~.}$Esto también se puede observar en la matriz hessiana de${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$evaluado en este punto (o de hecho en cualquiera de los puntos críticos) que es una matriz indefinida . Cada uno de los puntos críticos de${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$es un punto de silla de${\displaystyle \ {\mathcal {L}}~.}$^{[ 4 ]}

Supongamos que deseamos encontrar la distribución de probabilidad discreta en los puntos${\displaystyle \ \{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}\}\ }$con máxima entropía de información . Esto es lo mismo que decir que deseamos encontrar la distribución de probabilidad menos estructurada en los puntos.${\displaystyle \ \{p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\}~.}$En otras palabras, deseamos maximizar la ecuación de entropía de Shannon : $${\displaystyle f(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})=-\sum _{j=1}^{n}p_{j}\log _{2}p_{j}~.}$$

Para que esto sea una distribución de probabilidad, la suma de las probabilidades${\displaystyle \ p_{i}\ }$en cada punto${\displaystyle \ x_{i}\ }$debe ser igual a 1, por lo tanto nuestra restricción es: $${\displaystyle g(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})=\sum _{j=1}^{n}p_{j}=1~.}$$

Utilizamos multiplicadores de Lagrange para encontrar el punto de máxima entropía,${\displaystyle \ {\vec {p}}^{\,*}\ ,}$en todas las distribuciones de probabilidad discretas${\displaystyle \ {\vec {p}}\ }$en${\displaystyle \ \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}~.}$Requerimos que: $${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial {\vec {p}}}}(f+\lambda (g-1))\right|_{{\vec {p}}={\vec {p}}^{\,*}}=0\ ,}$$ lo que da como resultado un sistema de n ecuaciones,${\displaystyle \ k=1,\ \ldots ,n\ ,}$de tal manera que: $${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\left\{-\left(\sum _{j=1}^{n}p_{j}\log _{2}p_{j}\right)+\lambda \left(\sum _{j=1}^{n}p_{j}-1\right)\right\}\right|_{p_{k}=p_{\star k}}=0~.}$$

Al realizar la diferenciación de estas n ecuaciones, obtenemos $${\displaystyle -\left({\frac {1}{\ln 2}}+\log _{2}p_{\star k}\right)+\lambda =0~.}$$

Esto demuestra que todos${\displaystyle \ p_{\star k}\ }$son iguales (porque dependen solo de λ ). Al usar la restricción $${\displaystyle \sum _{j}p_{j}=1\ ,}$$ encontramos $${\displaystyle p_{\star k}={\frac {1}{n}}~.}$$

Por lo tanto, la distribución uniforme es la distribución con la mayor entropía, entre las distribuciones en n puntos.

Los puntos críticos de los lagrangianos ocurren en puntos de silla , en lugar de en máximos (o mínimos) locales. ^{[ 4 ] [ 17 ]} Desafortunadamente, muchas técnicas de optimización numérica, como ascenso de colina , descenso de gradiente , algunos de los métodos cuasi-Newton , entre otros, están diseñadas para encontrar máximos (o mínimos) locales y no puntos de silla. Por esta razón, se debe modificar la formulación para asegurar que sea un problema de minimización (por ejemplo, extremizando el cuadrado del gradiente del lagrangiano como se muestra a continuación), o bien utilizar una técnica de optimización que encuentre puntos estacionarios (como el método de Newton sin una búsqueda lineal de extremos ) y no necesariamente extremos.

Como ejemplo sencillo, consideremos el problema de encontrar el valor de x que minimiza${\displaystyle \ f(x)=x^{2}\ ,}$restringido de tal manera que${\displaystyle \ x^{2}=1~.}$(Este problema es algo atípico porque solo hay dos valores que satisfacen esta restricción, pero resulta útil a efectos ilustrativos porque la función correspondiente sin restricciones puede visualizarse en tres dimensiones).

Utilizando multiplicadores de Lagrange, este problema se puede convertir en un problema de optimización sin restricciones: $${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\lambda )=x^{2}+\lambda (x^{2}-1)~.}$$

Los dos puntos críticos se producen en los puntos de silla donde x = 1 y x = −1 .

Para resolver este problema mediante una técnica de optimización numérica, primero debemos transformarlo de manera que los puntos críticos coincidan con mínimos locales. Esto se logra calculando la magnitud del gradiente del problema de optimización sin restricciones.

Primero, calculamos la derivada parcial del problema sin restricciones con respecto a cada variable: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=2x+2x\lambda \\[5pt]&{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}=x^{2}-1~.\end{aligned}}}$$

Si la función objetivo no es fácilmente diferenciable, el diferencial con respecto a cada variable se puede aproximar como $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\ \partial {\mathcal {L}}\ }{\partial x}}\approx {\frac {{\mathcal {L}}(x+\varepsilon ,\lambda )-{\mathcal {L}}(x,\lambda )}{\varepsilon }},\\[5pt]{\frac {\ \partial {\mathcal {L}}\ }{\partial \lambda }}\approx {\frac {{\mathcal {L}}(x,\lambda +\varepsilon )-{\mathcal {L}}(x,\lambda )}{\varepsilon }},\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \varepsilon }$es un valor pequeño.

A continuación, calculamos la magnitud del gradiente, que es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las derivadas parciales: $${\displaystyle {\begin{aligned}h(x,\lambda )&={\sqrt {(2x+2x\lambda )^{2}+(x^{2}-1)^{2}\ }}\\[4pt]&\approx {\sqrt {\left({\frac {\ {\mathcal {L}}(x+\varepsilon ,\lambda )-{\mathcal {L}}(x,\lambda )\ }{\varepsilon }}\right)^{2}+\left({\frac {\ {\mathcal {L}}(x,\lambda +\varepsilon )-{\mathcal {L}}(x,\lambda )\ }{\varepsilon }}\right)^{2}\ }}~.\end{aligned}}}$$

(Dado que la magnitud siempre es no negativa, optimizar sobre la magnitud al cuadrado equivale a optimizar sobre la magnitud. Por lo tanto, la raíz cuadrada puede omitirse de estas ecuaciones sin que ello afecte a los resultados de la optimización).

Los puntos críticos de h ocurren en x = 1 y x = −1 , al igual que en${\displaystyle {\mathcal {L}}~.}$A diferencia de los puntos críticos en${\displaystyle {\mathcal {L}}\,,}$Sin embargo, los puntos críticos en h se producen en mínimos locales, por lo que se pueden utilizar técnicas de optimización numérica para encontrarlos.

En mecánica lagrangiana , las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ampliarse con multiplicadores de Lagrange como método para imponer restricciones físicas a los sistemas. ^{[ 18 ]} Este método no es necesario en general, ya que un método alternativo consiste en elegir un conjunto de coordenadas generalizadas linealmente independientes de tal manera que las restricciones se impongan implícitamente.

Cuando se utilizan multiplicadores de Lagrange, las ecuaciones de restricción deben resolverse simultáneamente con las ecuaciones de Euler-Lagrange. Por lo tanto, las ecuaciones se convierten en un sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas (en contraposición a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias ). ^{[ 19 ]}

El método de los multiplicadores de Lagrange es útil cuando resulta difícil expresar el lagrangiano en términos de un conjunto de coordenadas generalizadas linealmente independientes. Por ejemplo, para su uso en algoritmos de modelado de sistemas dinámicos programáticos o para el modelado de sistemas con cadenas cinemáticas cerradas. ^{[ 20 ]} También son útiles para imponer restricciones no holonómicas. ^{[ 18 ] [ 20 ]}

Dado un conjunto de ecuaciones de restricción holonómicas${\displaystyle f_{j}(\mathbf {q} ,t)=0}$, las ecuaciones de Euler-Lagrange con multiplicadores de Lagrange se pueden escribir como ^{[ 18 ] [ 19 ]}

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}+\underbrace {\sum _{j=1}^{C}\lambda _{j}{\frac {\partial f_{j}}{\partial q_{i}}}} _{-\tau _{i,{\text{constraint}}}}=\tau _{i}}$$

El significado de${\displaystyle \tau _{i,{\text{constraint}}}}$puede interpretarse trasladándolo al otro lado de la ecuación y absorbiéndolo en el término de fuerza generalizada.${\displaystyle \tau _{i}}$. En esta interpretación, el sistema tiene${\displaystyle C}$número de grados de libertad adicionales, y no hay restricciones impuestas adicionales, pero las fuerzas de restricción${\displaystyle \tau _{i,{\text{constraint}}}}$Simplemente tienen los valores correctos para que se cumplan las restricciones. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de Lagrange se interpretan como variables coestado , y los multiplicadores de Lagrange se reformulan como la minimización del hamiltoniano , en el principio del máximo de Pontryagin .

El método de los multiplicadores de Lagrange tiene varias generalizaciones. En programación no lineal existen varias reglas de multiplicación, por ejemplo, la regla de multiplicación de Carathéodory-John y la regla de multiplicación convexa, para restricciones de desigualdad. ^{[ 21 ]}

En muchos modelos de economía matemática , como los modelos de equilibrio general , el comportamiento del consumidor se implementa como maximización de la utilidad y el comportamiento de la empresa como maximización de beneficios , estando ambas entidades sujetas a restricciones como las presupuestarias y las de producción . La forma habitual de determinar una solución óptima se logra maximizando alguna función, donde las restricciones se imponen mediante multiplicadores de Lagrange. ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

Los métodos basados ​​en multiplicadores de Lagrange tienen aplicaciones en sistemas de energía , por ejemplo, en la ubicación de recursos energéticos distribuidos (RED) y la reducción de carga. ^{[ 26 ]}

El método de los multiplicadores de Lagrange se aplica a procesos de decisión de Markov con restricciones . ^{[ 27 ]} Produce de forma natural algoritmos primales-duales basados ​​en gradientes en el aprendizaje por refuerzo seguro. ^{[ 28 ]}

En los problemas de ecuaciones diferenciales parciales con restricciones, es decir, en el estudio de las propiedades de las soluciones normalizadas, los multiplicadores de Lagrange desempeñan un papel importante.

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