Distribución de Laplace

Una variable aleatoria tiene una${\displaystyle \operatorname {Laplace} (\mu,b)}$distribución si su función de densidad de probabilidad es

$${\displaystyle f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}},}$$

dónde${\displaystyle \mu }$es un parámetro de ubicación y${\displaystyle b>0}$, que a veces se denomina "diversidad", es un parámetro de escala . Si${\displaystyle \mu =0}$y${\displaystyle b=1}$, la semirrecta positiva es exactamente una distribución exponencial escalada por 1/2. ^{[ 2 ]}

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Laplace también recuerda a la distribución normal ; sin embargo, mientras que la distribución normal se expresa en términos de la diferencia al cuadrado con respecto a la media.${\displaystyle \mu }$La densidad de Laplace se expresa en términos de la diferencia absoluta con respecto a la media. Por consiguiente, la distribución de Laplace tiene colas más pesadas que la distribución normal. Es un caso especial de la distribución normal generalizada y la distribución hiperbólica . Las distribuciones simétricas continuas que tienen colas exponenciales, como la distribución de Laplace, pero cuyas funciones de densidad de probabilidad son diferenciables en la moda incluyen la distribución logística , la distribución secante hiperbólica y la distribución de Champernowne .

La distribución de Laplace es fácil de integrar (si se distinguen dos casos simétricos) debido al uso de la función de valor absoluto . Su función de distribución acumulativa es la siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{si }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{si }}x\geq \mu \end{cases}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu )\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

La función de distribución acumulativa inversa viene dada por

$${\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).}$$

$${\displaystyle \mu _{r}'={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{r}\left[{\frac {r!}{(rk)!}}b^{k}\mu ^{(rk)}\left\{1+(-1)^{k}\right\}\right].}$$

• Si${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$entonces${\displaystyle kX+c\sim {\textrm {Laplace}}(k\mu +c,|k|b)}$.
• Si${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$entonces${\displaystyle bX\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)}$.
• Si${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)}$entonces${\displaystyle \left|X\right|\sim {\textrm {Exponencial}}\left(b^{-1}\right)}$( distribución exponencial ).
• Si${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponencial}}(\lambda )}$entonces${\displaystyle XY\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)}$．
• Si${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$entonces${\displaystyle \left|X-\mu \right|\sim {\textrm {Exponencial}}(b^{-1})}$.
• Si${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$entonces${\displaystyle X\sim {\textrm {EPD}}(\mu ,b,1)}$( distribución de potencia exponencial ).
• Si${\displaystyle X_{1},...,X_{4}\sim {\textrm {N}}(0,1)}$( distribución normal ) entonces${\displaystyle X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$y${\displaystyle (X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+X_{3}^{2}-X_{4}^{2})/2\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$.
• Si${\displaystyle X_{i}\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$entonces${\displaystyle {\frac {\displaystyle 2}{b}}\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-\mu |\sim \chi ^{2}(2n)}$( distribución chi-cuadrado ).
• Si${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$entonces${\displaystyle {\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$( Distribución F )
• Si${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {U}}(0,1)}$( distribución uniforme ) entonces${\displaystyle \log(X/Y)\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$.
• Si${\displaystyle X\sim {\textrm {Exponencial}}(\lambda )}$y${\displaystyle Y\sim {\textrm {Bernoulli}}(0.5)}$( Distribución de Bernoulli ) independiente de${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle X(2Y-1)\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)}$.
• Si${\displaystyle X\sim {\textrm {Exponencial}}(\lambda )}$y${\displaystyle Y\sim {\textrm {exponencial}}(\nu )}$independiente de${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle \lambda X-\nu Y\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$．
• Si${\displaystyle X}$tiene una distribución Rademacher y${\displaystyle Y\sim {\textrm {Exponencial}}(\lambda )}$entonces${\displaystyle XY\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}$.
• Si${\displaystyle V\sim {\textrm {Exponential}}(1)}$y${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$independiente de${\displaystyle V}$, entonces${\displaystyle X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)}$.
• Si${\displaystyle X\sim {\textrm {GeometricStable}}(2,0,\lambda ,0)}$( distribución geométrica estable ) entonces${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,\lambda )}$.
• La distribución de Laplace es un caso límite de la distribución hiperbólica .
• Si${\displaystyle X|Y\sim {\textrm {N}}(\mu ,Y^{2})}$con${\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)}$( Distribución de Rayleigh ) entonces${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$. Tenga en cuenta que si${\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)}$, entonces${\displaystyle Y^{2}\sim {\textrm {Gamma}}(1,2b^{2})}$con${\displaystyle {\textrm {E}}(Y^{2})=2b^{2}}$, lo que a su vez equivale a la distribución exponencial${\displaystyle {\textrm {Exp}}(1/(2b^{2}))}$.
• Dado un número entero${\displaystyle n\geq 1}$, si${\displaystyle X_{i},Y_{i}\sim \Gamma \left({\frac {1}{n}},b\right)}$( distribución gamma , utilizando${\displaystyle k,\theta }$caracterización), entonces${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mu }{n}}+X_{i}-Y_{i}\right)\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$( divisibilidad infinita ) ^{[ 3 ]}
• Si X tiene una distribución de Laplace, entonces Y = e ^X tiene una distribución log-Laplace ; recíprocamente, si X tiene una distribución log-Laplace, entonces su logaritmo tiene una distribución de Laplace.

Dejar ${\displaystyle X,Y}$sean variables aleatorias de Laplace independientes:${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{X},b_{X})}$y${\displaystyle Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{Y},b_{Y})}$y queremos calcular${\displaystyle P(X>Y)}$.

La probabilidad de${\displaystyle P(X>Y)}$se puede reducir (usando las propiedades a continuación) a${\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})}$, dónde${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$Esta probabilidad es igual a

$${\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})={\begin{cases}{\frac {b^{2}e^{\mu /b}-e^{\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu <0\\1-{\frac {b^{2}e^{-\mu /b}-e^{-\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}$$

Cuando${\displaystyle b=1}$, ambas expresiones se reemplazan por su límite como${\displaystyle b\to 1}$:

$${\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})={\begin{cases}e^{\mu }{\frac {(2-\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu <0\\1-e^{-\mu }{\frac {(2+\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}$$

Para calcular el caso de${\displaystyle \mu >0}$, tenga en cuenta que${\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})=1-P(\mu +Z_{1}<Z_{2})=1-P(-\mu -Z_{1}>-Z_{2})=1-P(-\mu +Z_{1}>Z_{2})}$

desde${\displaystyle Z\sim -Z}$cuando${\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$.

Una variable aleatoria de Laplace puede representarse como la diferencia de dos variables aleatorias exponenciales independientes e idénticamente distribuidas ( i.i.d. ). ^{[ 3 ]} Una forma de demostrar esto es mediante el enfoque de la función característica . Para cualquier conjunto de variables aleatorias continuas independientes, para cualquier combinación lineal de dichas variables, su función característica (que determina de forma única la distribución) puede obtenerse multiplicando las funciones características correspondientes.

Consideremos dos variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$. Las funciones características para${\displaystyle X,-Y}$son

$${\displaystyle {\frac {\lambda }{-it+\lambda }},\quad {\frac {\lambda }{it+\lambda }}}$$

respectivamente. Al multiplicar estas funciones características (equivalentes a la función característica de la suma de las variables aleatorias)${\displaystyle X+(-Y)}$), el resultado es

$${\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{(-it+\lambda )(it+\lambda )}}={\frac {\lambda ^{2}}{t^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

Esto es lo mismo que la función característica para${\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}$, que es

$${\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {t^{2}}{\lambda ^{2}}}}}.}$$

Las distribuciones de Sargan son un sistema de distribuciones del cual la distribución de Laplace es un miembro central.${\displaystyle p}$La distribución de Sargan de orden n tiene densidad ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle f_{p}(x)={\tfrac {1}{2}}\exp(-\alpha |x|){\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\alpha ^{j}|x|^{j}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}j!\beta _{j}}},}$$ para parámetros${\displaystyle \alpha \geq 0,\beta _{j}\geq 0}$. Los resultados de la distribución de Laplace para${\displaystyle p=0}$.