Teorema de densidad de Lebesgue

En matemáticas , el teorema de densidad de Lebesgue establece que para cualquier conjunto medible de Lebesgue , la "densidad" de A es 0 o 1 en casi todos los puntos de . Además, la "densidad" de A es 1 en casi todos los puntos de A. Intuitivamente, esto significa que el "borde" de A , el conjunto de puntos de A cuyo "vecindario" está parcialmente en A y parcialmente fuera de A , es despreciable . ${\displaystyle A\subconjunto \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Sea μ la medida de Lebesgue en el espacio euclidiano R ⁿ y A un subconjunto medible de Lebesgue de R ⁿ . Defina la densidad aproximada de A en una vecindad ε de un punto x en R ⁿ como

${\displaystyle d_{\varepsilon}(x)={\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon}(x))}{\mu (B_{\varepsilon}(x))}}}$

donde B _ε denota la bola cerrada de radio ε centrada en x .

El teorema de densidad de Lebesgue afirma que para casi cada punto x de A la densidad

${\displaystyle d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)}$

existe y es igual a 0 o 1.

En otras palabras, para cada conjunto medible A , la densidad de A es 0 o 1 casi en todas partes en R ⁿ . ^[1] Sin embargo, si μ( A ) > 0 y μ( R ⁿ  \  A ) > 0 , entonces siempre hay puntos de R ⁿ donde la densidad no es ni 0 ni 1.

Por ejemplo, dado un cuadrado en el plano, la densidad en cada punto dentro del cuadrado es 1, en los bordes es 1/2 y en las esquinas es 1/4. El conjunto de puntos en el plano en el que la densidad no es ni 0 ni 1 no está vacío (el límite del cuadrado), pero es despreciable.

El teorema de densidad de Lebesgue es un caso particular del teorema de diferenciación de Lebesgue .

Por lo tanto, este teorema también es válido para cada medida de Borel finita en R ⁿ en lugar de la medida de Lebesgue, véase Discusión .

• Teorema de diferenciación de Lebesgue  – Teorema matemático en análisis real

• Hallard T. Croft. Tres problemas de puntos reticulares de Steinhaus. Quart. J. Math. Oxford (2) , 33:71-83, 1982.

Este artículo incorpora material del teorema de densidad de Lebesgue en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .