Teorema de diferenciación de Lebesgue

En matemáticas , el teorema de diferenciación de Lebesgue es un teorema de análisis real que establece que, para casi cualquier punto, el valor de una función integrable es el promedio límite tomado alrededor de ese punto. El teorema recibe su nombre de Henri Lebesgue .

Para una función f de valor real o complejo integrable de Lebesgue en R ⁿ , la integral indefinida es una función de conjunto que asigna a un conjunto medible A la integral de Lebesgue de${\displaystyle f\cdot \mathbf {1} _{A}}$, dónde${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$denota la función característica del conjunto A. Generalmente se escribe $${\displaystyle A\mapsto \int _ {A}f\ \mathrm {d} \lambda,}$$ donde λ es la medida de Lebesgue n - dimensional .

La derivada de esta integral en x se define como $${\displaystyle \lim _{B\to x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f\,\mathrm {d} \lambda ,}$$ donde | B | denota el volumen (es decir, la medida de Lebesgue) de una bola B centrada en x , y B  → x significa que el diámetro de B tiende a 0. El teorema de diferenciación de Lebesgue ( Lebesgue 1910 ) establece que esta derivada existe y es igual a f ( x ) en casi todos los puntos x  ∈ R ⁿ . ^{[ 1 ]} De hecho, una afirmación ligeramente más fuerte es cierta. Nótese que: $${\displaystyle \left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} \lambda (y)-f(x)\right|=\left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}(f(y)-f(x))\,\mathrm {d} \lambda (y)\right|\leq {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f(x)|\,\mathrm {d} \lambda (y).}$$

La afirmación más contundente es que el lado derecho tiende a cero para casi todos los puntos x . Los puntos x para los cuales esto es cierto se denominan puntos de Lebesgue de f .

También es válida una versión más general. Se pueden reemplazar las bolas B por una familia.${\displaystyle {\mathcal {V}}}$de conjuntos U de excentricidad acotada . Esto significa que existe algún c  > 0 fijo tal que cada conjunto U de la familia está contenido en una bola B con${\displaystyle |U|\geq c\,|B|}$. También se supone que cada punto x ∈ R ⁿ está contenido en conjuntos arbitrariamente pequeños de${\displaystyle {\mathcal {V}}}$. Cuando estos conjuntos se reducen a x , se mantiene el mismo resultado: para casi todos los puntos x , $${\displaystyle f(x)=\lim _{U\to x,\,U\in {\mathcal {V}}}{\frac {1}{|U|}}\int _{U}f\,\mathrm {d} \lambda .}$$

La familia de cubos es un ejemplo de dicha familia.${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, como lo es la familia${\displaystyle {\mathcal {V}}}$( m ) de rectángulos en R ² tales que la razón de lados permanece entre m ⁻¹ y m , para algún m  ≥  1 fijo. Si se da una norma arbitraria en R ⁿ , la familia de bolas para la métrica asociada a la norma es otro ejemplo.

El caso unidimensional fue demostrado anteriormente por Lebesgue (1904) . Si f es integrable en la recta real, la función $${\displaystyle F(x)=\int _{(-\infty ,x]}f(t)\,\mathrm {d} t}$$ es casi en todas partes diferenciable, con${\displaystyle F'(x)=f(x).}$Eran${\displaystyle F}$Definido por una integral de Riemann, este sería esencialmente el teorema fundamental del cálculo , pero Lebesgue demostró que sigue siendo cierto al usar la integral de Lebesgue. ^{[ 2 ]}

El teorema en su forma más fuerte —que casi todo punto es un punto de Lebesgue de una función localmente integrable f— puede demostrarse como consecuencia de las estimaciones débiles – L ¹ para la función maximal de Hardy–Littlewood . La demostración que sigue a continuación sigue el tratamiento estándar que se puede encontrar en Benedetto & Czaja (2009) , Stein & Shakarchi (2005) , Wheeden & Zygmund (1977) y Rudin (1987) .

Dado que la afirmación es de carácter local, se puede suponer que f es cero fuera de alguna bola de radio finito y, por lo tanto, integrable. Entonces basta con demostrar que el conjunto

${\displaystyle E_{\alpha }={\Bigl \{}x\in \mathbf {R} ^{n}:\limsup _{|B|\rightarrow 0,\,x\in B}{\frac {1}{|B|}}{\bigg |}\int _{B}f(y)-f(x)\,\mathrm {d} y{\bigg |}>2\alpha {\Bigr \}}}$

tiene medida 0 para todo α  >  0.

Sea ε  >  0 dado. Usando la densidad de funciones continuas de soporte compacto en L ¹ ( R ⁿ ) , se puede encontrar una función g que satisfaga

${\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}=\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f(x)-g(x)|\,\mathrm {d} x<\varepsilon .}$

Entonces es útil reescribir la principal diferencia como

${\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} y-f(x)={\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}{\bigl (}f(y)-g(y){\bigr )}\,\mathrm {d} y{\Bigr )}+{\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}g(y)\,\mathrm {d} y-g(x){\Bigr )}+{\bigl (}g(x)-f(x){\bigr )}.}$

El primer término puede estar acotado por el valor en x de la función máxima para f − g , denotada aquí por  ${\displaystyle (f-g)^{*}(x)}$:

${\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y\leq \sup _{r>0}{\frac {1}{|B_{r}(x)|}}\int _{B_{r}(x)}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y=(f-g)^{*}(x).}$

El segundo término desaparece en el límite ya que g es una función continua, y el tercer término está acotado por | f ( x ) − g ( x )|. Para que el valor absoluto de la diferencia original sea mayor que 2 α en el límite, al menos uno de los términos primero o tercero debe ser mayor que α en valor absoluto. Sin embargo, la estimación de la función de Hardy-Littlewood dice que 

${\displaystyle {\Bigl |}\left\{x:(f-g)^{*}(x)>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\varepsilon ,}$

para alguna constante A _n que depende únicamente de la dimensión n . La desigualdad de Markov (también llamada desigualdad de Chebyshev) dice que

${\displaystyle {\Bigl |}\left\{x:|f(x)-g(x)|>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {1}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {1}{\alpha }}\,\varepsilon }$

de este modo

${\displaystyle |E_{\alpha }|\leq {\frac {A_{n}+1}{\alpha }}\,\varepsilon .}$

Dado que ε era arbitrario, se puede tomar como arbitrariamente pequeño, y el teorema se deduce.

El lema de recubrimiento de Vitali es vital para la demostración de este teorema; su papel radica en demostrar la estimación para la función maximal de Hardy-Littlewood .

El teorema también se cumple si, en la definición de la derivada, se sustituyen las bolas por familias de conjuntos con diámetro que tiende a cero y que satisfacen la condición de regularidad de Lebesgue , definida anteriormente como familia de conjuntos con excentricidad acotada . Esto se deduce de que la misma sustitución puede realizarse en el enunciado del lema de recubrimiento de Vitali.

Este es un análogo, y una generalización, del teorema fundamental del cálculo , que iguala una función integrable de Riemann con la derivada de su integral (indefinida). También es posible demostrar un recíproco: que toda función diferenciable es igual a la integral de su derivada, pero esto requiere una integral de Henstock-Kurzweil para poder integrar una derivada arbitraria.

Un caso especial del teorema de diferenciación de Lebesgue es el teorema de densidad de Lebesgue , que es equivalente al teorema de diferenciación para funciones características de conjuntos medibles. El teorema de densidad se suele demostrar mediante un método más sencillo (véase, por ejemplo, Medida y Categoría).

Este teorema también es cierto para toda medida de Borel finita en R ⁿ en lugar de la medida de Lebesgue (una demostración se puede encontrar, por ejemplo, en ( Ledrappier y Young 1985 ) ). De manera más general, es cierto para cualquier medida de Borel finita en un espacio métrico separable tal que se cumpla al menos una de las siguientes condiciones:

• El espacio métrico es una variedad riemanniana ,
• el espacio métrico es un espacio ultramétrico localmente compacto ,
• La medida se está duplicando .

Una demostración de estos resultados se puede encontrar en las secciones 2.8–2.9 de (Federer 1969).

• Teorema de densidad de Lebesgue

• Lebesgue, Henri (1904). Leçons sur l'Intégration et la recherche des fonctions primitives . París: Gauthier-Villars.
• Lebesgue, Henri (1910). "Sur l'intégration des fonctions discontinua" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 27 : 361– 450. doi : 10.24033/asens.624 .
• Wheeden, Richard L.; Zygmund, Antoni (1977). Medida e integral: una introducción al análisis real . Marcel Dekker.
• Oxtoby, John C. (1980). Medida y categoría . Springer Verlag.
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). Análisis real . Princeton Lectures in Analysis, III. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp.  xx+402. ISBN 0-691-11386-6.MR 2129625 
• Benedetto, Juan J.; Czaja, Wojciech (2009). Integración y análisis moderno . Textos avanzados de Birkhäuser. Saltador. págs. 361–364 . ISBN  978-0817643065.
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas (3.ª  ed.). McGraw-Hill. ISBN 0070542341.
• Ledrappier, F.; Young, LS (1985). "La entropía métrica de los difeomorfismos: Parte I: Caracterización de medidas que satisfacen la fórmula de entropía de Pesin". Annals of Mathematics . 122 (3): 509– 539. doi : 10.2307/1971328 . JSTOR 1971328 . 
• Federer, Herbert (1969). Teoría de la medida geométrica . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Banda. vol.  153. Nueva York: Springer-Verlag New York Inc.