Henri Lebesgue

Henri Léon Lebesgue ( / l ə ˈ b ɛ ɡ / ; ^{[ 3 ]} Francés: [ ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ ] ; 28 de junio de 1875 – 26 de julio de 1941) fue un matemático francés conocido por su teoría de la integración , que fue una generalización del concepto de integración del siglo XVII: sumar el área entre un eje y la curva de una función definida para ese eje. Su teoría fue publicada originalmente en su disertación Intégrale, longueur, aire ("Integral, longitud, área") en la Universidad de Nancy durante 1902. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Henri Lebesgue nació el 28 de junio de 1875 en Beauvais , Oise . Su padre era tipógrafo y su madre maestra . Sus padres reunieron en casa una biblioteca que el joven Henri pudo utilizar. Su padre falleció de tuberculosis cuando Lebesgue era muy pequeño y su madre tuvo que mantenerlo sola. Como demostró un talento excepcional para las matemáticas en la escuela primaria, uno de sus profesores gestionó el apoyo de la comunidad para que continuara su educación en el Collège de Beauvais y posteriormente en el Lycée Saint-Louis y el Lycée Louis-le-Grand de París . ^{[ 6 ]}

En 1894, Lebesgue fue admitido en la École Normale Supérieure , donde continuó dedicando su energía al estudio de las matemáticas, graduándose en 1897. Tras su graduación, permaneció en la École Normale Supérieure durante dos años, trabajando en la biblioteca, donde conoció la investigación sobre discontinuidad que realizaba en aquel entonces René-Louis Baire , recién graduado de la escuela. Al mismo tiempo, comenzó sus estudios de posgrado en la Sorbona , donde conoció el trabajo de Émile Borel sobre la incipiente teoría de la medida y el de Camille Jordan sobre la medida de Jordan . En 1899, se trasladó a un puesto de profesor en el Lycée Central de Nancy , mientras continuaba trabajando en su doctorado. En 1902, obtuvo su doctorado en la Sorbona con la tesis fundamental sobre "Integral, Longitud, Área", presentada bajo la dirección de Borel, cuatro años mayor que él. ^{[ 7 ]}

Lebesgue se casó con la hermana de uno de sus compañeros de estudios, y él y su esposa tuvieron dos hijos, Suzanne y Jacques.

Tras publicar su tesis, en 1902 Lebesgue recibió una oferta para ocupar un puesto en la Universidad de Rennes , donde impartió clases hasta 1906, año en que se trasladó a la Facultad de Ciencias de la Universidad de Poitiers . En 1910, Lebesgue se incorporó a la Sorbona como profesor adjunto , siendo ascendido a catedrático a partir de 1919. En 1921 dejó la Sorbona para convertirse en catedrático de matemáticas en el Collège de France , donde impartió clases e investigó durante el resto de su vida. ^{[ 8 ]} En 1922 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias . Henri Lebesgue falleció el 26 de julio de 1941 en París . ^{[ 7 ]}

El primer artículo de Lebesgue se publicó en 1898 y se tituló "Sur l'approximation des fonctions". Trataba sobre el teorema de Weierstrass sobre la aproximación a funciones continuas mediante polinomios. Entre marzo de 1899 y abril de 1901, Lebesgue publicó seis notas en Comptes Rendus . La primera de ellas, sin relación con su desarrollo de la integración de Lebesgue, trataba sobre la extensión del teorema de Baire a funciones de dos variables. Las siguientes cinco trataban sobre superficies aplicables a un plano, el área de polígonos alabeados , integrales de superficie de área mínima con una cota dada, y la nota final daba la definición de la integración de Lebesgue para alguna función f(x). La gran tesis de Lebesgue, Intégrale, longueur, aire , con la descripción completa de este trabajo, apareció en los Annali di Matematica en 1902. El primer capítulo desarrolla la teoría de la medida (véase Medida de Borel ). En el segundo capítulo define la integral tanto geométrica como analíticamente. Los capítulos siguientes amplían las notas de Comptes Rendus que tratan sobre longitud, área y superficies aplicables. El capítulo final se centra principalmente en el problema de Plateau . Esta disertación se considera una de las mejores jamás escritas por un matemático. ^{[ 1 ]}

Sus conferencias de 1902 a 1903 fueron recopiladas en un tratado de Borel titulado Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives . El problema de la integración, entendida como la búsqueda de una función primitiva, es el eje central del libro. Lebesgue presenta el problema de la integración en su contexto histórico, dirigiéndose a Augustin-Louis Cauchy , Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Bernhard Riemann . Lebesgue presenta seis condiciones que la integral debería satisfacer, la última de las cuales es: «Si la sucesión f _n (x) tiende al límite f(x), la integral de f _n (x) tiende a la integral de f(x)». Lebesgue demuestra que estas condiciones conducen a la teoría de la medida y las funciones medibles , así como a las definiciones analíticas y geométricas de la integral.

A continuación, se dedicó a las funciones trigonométricas con su artículo de 1903, "Sur les séries trigonométriques". En este trabajo presentó tres teoremas principales: que una serie trigonométrica que representa una función acotada es una serie de Fourier, que el n ^-ésimo coeficiente de Fourier tiende a cero (el lema de Riemann-Lebesgue ) y que una serie de Fourier es integrable término a término. En 1904-1905, Lebesgue impartió clases nuevamente en el Collège de France , esta vez sobre series trigonométricas, y publicó sus conferencias en otro de los "Borel tracts". En este tratado, aborda nuevamente el tema en su contexto histórico. Explica las series de Fourier, la teoría de Cantor-Riemann, la integral de Poisson y el problema de Dirichlet .

En un artículo de 1910, "Représentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz" trata sobre la serie de Fourier de funciones que satisfacen una condición de Lipschitz , con una evaluación del orden de magnitud del término restante. También demuestra que el lema de Riemann-Lebesgue es un resultado óptimo para funciones continuas y ofrece un análisis de las constantes de Lebesgue .

Lebesgue escribió una vez: "Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu". ("Reducidas a teorías generales, las matemáticas serían una hermosa forma sin contenido").

En el análisis de la teoría de la medida y ramas relacionadas de las matemáticas, la integral de Lebesgue-Stieltjes generaliza la integración de Riemann-Stieltjes y de Lebesgue, conservando las numerosas ventajas de esta última en un marco de teoría de la medida más general.

Durante su trayectoria profesional, Lebesgue también incursionó en los campos del análisis complejo y la topología . Asimismo, discrepó con Émile Borel sobre cuál de sus integrales era más general. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} Sin embargo, estas incursiones menores palidecen en comparación con sus contribuciones al análisis real ; sus aportaciones a este campo tuvieron un impacto trascendental en su configuración actual y sus métodos se han convertido en una parte esencial del análisis moderno. Estas tienen importantes implicaciones prácticas para la física fundamental, de las cuales Lebesgue probablemente no era consciente, como se indica más adelante.

La integración es una operación matemática que corresponde a la idea informal de hallar el área bajo la gráfica de una función . La primera teoría de la integración fue desarrollada por Arquímedes en el siglo III a. C. con su método de cuadraturas , pero este solo podía aplicarse en circunstancias limitadas con un alto grado de simetría geométrica. En el siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz descubrieron que la integración estaba intrínsecamente ligada a la diferenciación , siendo esta última una forma de medir la rapidez con la que una función cambia en cualquier punto de la gráfica. Esta sorprendente relación entre dos operaciones geométricas fundamentales del cálculo, la diferenciación y la integración, se conoce ahora como el teorema fundamental del cálculo . Ha permitido a los matemáticos calcular por primera vez una amplia clase de integrales. Sin embargo, a diferencia del método de Arquímedes, que se basaba en la geometría euclidiana , los matemáticos consideraban que el cálculo integral de Newton y Leibniz carecía de una base rigurosa.

La noción matemática de límite y la estrechamente relacionada noción de convergencia son fundamentales para cualquier definición moderna de integración. En el siglo XIX, Karl Weierstrass desarrolló la rigurosa definición épsilon-delta de límite, que aún hoy es aceptada y utilizada por los matemáticos. Se basó en trabajos previos, aunque no rigurosos, de Augustin Cauchy , quien había utilizado la noción no estándar de números infinitesimalmente pequeños , rechazada actualmente en el análisis matemático estándar . Antes de Cauchy, Bernard Bolzano había sentado las bases fundamentales de la definición épsilon-delta. Véase aquí para más información.

Bernhard Riemann continuó este trabajo formalizando lo que hoy se conoce como la integral de Riemann . Para definir esta integral, se rellena el área bajo la gráfica con rectángulos cada vez más pequeños y se toma el límite de la suma de las áreas de los rectángulos en cada etapa. Sin embargo, para algunas funciones, el área total de estos rectángulos no se aproxima a un único número. Por lo tanto, no tienen una integral de Riemann.

Lebesgue inventó un nuevo método de integración para resolver este problema. En lugar de utilizar las áreas de los rectángulos, que centran la atención en el dominio de la función, Lebesgue consideró el codominio de la función como su unidad fundamental de área. La idea de Lebesgue fue definir primero la medida, tanto para conjuntos como para funciones definidas en dichos conjuntos. A continuación, construyó la integral para lo que denominó funciones simples : funciones medibles que solo toman un número finito de valores. Posteriormente, la definió para funciones más complejas como la menor cota superior de todas las integrales de funciones simples menores que la función en cuestión.

La integración de Lebesgue tiene la propiedad de que toda función definida sobre un intervalo acotado con una integral de Riemann también tiene una integral de Lebesgue, y para esas funciones ambas integrales coinciden. Además, toda función acotada en un intervalo cerrado y acotado tiene una integral de Lebesgue, y existen muchas funciones con una integral de Lebesgue que no tienen una integral de Riemann. Todas estas ventajas sobre la integración de Riemann convirtieron el método de Lebesgue en una herramienta más potente para los matemáticos.

Como parte del desarrollo de la integración de Lebesgue, Lebesgue inventó el concepto de medida , que extiende la idea de longitud desde los intervalos a una clase muy amplia de conjuntos, denominados conjuntos medibles. Esta clase más amplia de conjuntos permitió que la técnica de Lebesgue para convertir una medida en una integral se generalizara fácilmente a muchas otras situaciones con conjuntos medibles, dando origen al campo moderno de la teoría de la medida .

La integral de Lebesgue es deficiente en un aspecto. La integral de Riemann se generaliza a la integral de Riemann impropia para medir funciones cuyo dominio de definición no es un intervalo cerrado . La integral de Lebesgue integra muchas de estas funciones (siempre reproduciendo el mismo resultado), pero no todas. Para funciones en la recta real, la integral de Henstock es una noción aún más general de integral (basada en la teoría de Riemann en lugar de la de Lebesgue) que engloba tanto la integración de Lebesgue como la de Riemann impropia. Sin embargo, la integral de Henstock depende de características de orden específicas de la recta real y, por lo tanto, no se generaliza para permitir la integración en espacios más generales (por ejemplo, variedades ), mientras que la integral de Lebesgue se extiende a dichos espacios de forma bastante natural.

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• Henri Léon Lebesgue (28 de junio de 1875 [Rennes] - 26 de julio de 1941 [París]) (en francés)