Teorema del punto fijo de Lefschetz

En matemáticas , el teorema del punto fijo de Lefschetz ^{[ 1 ]} es una fórmula que cuenta los puntos fijos de una aplicación continua de un espacio topológico compacto .${\displaystyle X}$a sí mismo por medio de rastros de las aplicaciones inducidas en los grupos de homología de${\displaystyle X}$Recibe su nombre de Solomon Lefschetz , quien lo mencionó por primera vez en 1926.

El conteo está sujeto a una multiplicidad imputada en un punto fijo llamado índice de punto fijo . Una versión débil del teorema basta para demostrar que una aplicación sin ningún punto fijo debe tener propiedades topológicas bastante especiales (como una rotación de un círculo).

Para una formulación formal del teorema, sea

${\displaystyle f\colon X\rightarrow X\,}$

sea ​​un mapa continuo de un espacio triangulable compacto${\displaystyle X}$a sí mismo. Defina el número de Lefschetz ^{[ 2 ]}${\displaystyle \Lambda _{f}}$de${\displaystyle f}$por

${\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {tr} (H_{k}(f,\mathbb {Q} )),}$

la suma alternada (finita) de las trazas matriciales de los mapas lineales inducidos por${\displaystyle f}$en${\displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )}$, los grupos de homología singular de${\displaystyle X}$con coeficientes racionales .

Una versión simple del teorema del punto fijo de Lefschetz establece: si

${\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0\,}$

entonces${\displaystyle f}$tiene al menos un punto fijo, es decir, existe al menos uno${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle f(x)=x}$. De hecho, dado que el número de Lefschetz se ha definido a nivel de homología, la conclusión puede extenderse para decir que cualquier aplicación homotópica a${\displaystyle f}$También tiene un punto fijo.

Sin embargo, cabe señalar que lo contrario no es cierto en general:${\displaystyle \Lambda _{f}}$puede ser cero incluso si${\displaystyle f}$tiene puntos fijos, como es el caso del mapa identidad en esferas de dimensión impar.

La misma conclusión podría obtenerse para cualquier ANR compacto, en particular para cualquier variedad topológica compacta. El ingrediente fundamental de esta extensión es que los ANR compactos son homotópicamente equivalentes a complejos simpliciales finitos.

Primero, aplicando el teorema de aproximación simplicial , se demuestra que si${\displaystyle f}$no tiene puntos fijos, entonces (posiblemente después de subdividir${\displaystyle X}$)${\displaystyle f}$es homotópico a un mapa simplicial sin puntos fijos (es decir, envía cada simplex a un simplex diferente). Esto significa que los valores diagonales de las matrices de los mapas lineales inducidos en el complejo de cadena simplicial de${\displaystyle X}$Todos deben ser cero. Entonces se observa que, en general, el número de Lefschetz también puede calcularse utilizando la suma alternada de las trazas matriciales de las aplicaciones lineales mencionadas (esto es cierto casi exactamente por la misma razón que la característica de Euler tiene una definición en términos de grupos de homología ; véase más adelante la relación con la característica de Euler). En el caso particular de una aplicación simplicial sin puntos fijos, todos los valores de la diagonal son cero y, por lo tanto, las trazas son todas cero.

Una forma más fuerte del teorema, también conocida como el teorema de Lefschetz-Hopf , establece que, si${\displaystyle f}$tiene solo un número finito de puntos fijos, entonces

${\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}\mathrm {ind} (f,x)=\Lambda _{f},}$

dónde${\displaystyle \mathrm {Corregir} (f)}$es el conjunto de puntos fijos de${\displaystyle f}$, y${\displaystyle \mathrm {ind} (f,x)}$denota el índice del punto fijo${\displaystyle x}$[ ^{3 ]} De este teorema se puede deducir el teorema de Poincaré-Hopf ^para campos vectoriales de la siguiente manera: Cualquier campo vectorial en una variedad compacta induce un flujo${\displaystyle \varphi (x,t)}$de forma natural y para cada${\displaystyle t}$el mapa${\displaystyle \varphi (x,t)}$es homotópico a la identidad (por lo tanto, tiene el mismo número de Lefschetz); además, para suficientemente pequeño${\displaystyle t}$Los puntos fijos del flujo y los ceros del campo vectorial tienen los mismos índices.

El número de Lefschetz ^{[ 2 ]} del mapa identidad en un complejo CW finito se puede calcular fácilmente al darse cuenta de que cada${\displaystyle f_{\ast }}$puede considerarse como una matriz identidad , por lo que cada término de traza es simplemente la dimensión del grupo de homología apropiado. Así, el número de Lefschetz del mapa identidad es igual a la suma alternada de los números de Betti del espacio, que a su vez es igual a la característica de Euler.${\displaystyle \chi (X)}$. Por lo tanto tenemos

${\displaystyle \Lambda _ {\mathrm {id} }=\chi (X).\ }$

El teorema del punto fijo de Lefschetz generaliza el teorema del punto fijo de Brouwer , ^{[ 4 ]} que establece que toda aplicación continua de la${\displaystyle n}$-disco de unidad cerrada dimensional${\displaystyle D^{n}}$a${\displaystyle D^{n}}$debe tener al menos un punto fijo.

Esto puede verse de la siguiente manera:${\displaystyle D^{n}}$es compacto y triangulable, todos sus grupos de homología excepto${\displaystyle H_{0}}$son cero, y cada mapa continuo${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$induce el mapa de identidad${\displaystyle f_{*}\colon H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )\to H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )}$, cuya huella es una; todo esto en conjunto implica que${\displaystyle \Lambda _{f}}$es distinto de cero para cualquier mapa continuo${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$.

Lefschetz presentó su teorema del punto fijo en ^{[ 1 ]} . El enfoque de Lefschetz no estaba en los puntos fijos de las aplicaciones, sino más bien en lo que ahora se denomina puntos de coincidencia de las aplicaciones.

Dados dos mapas${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$desde un colector orientable${\displaystyle X}$a un colector orientable${\displaystyle Y}$de la misma dimensión, el número de coincidencia de Lefschetz de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$se define como

${\displaystyle \Lambda _{f,g}=\sum (-1)^{k}\mathrm {tr} (D_{X}\circ g^{*}\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{*}),}$

dónde${\displaystyle f_{*}}$es como arriba,${\displaystyle g^{*}}$es el homomorfismo inducido por${\displaystyle g}$sobre los grupos de cohomología con coeficientes racionales, y${\displaystyle D_{X}}$y${\displaystyle D_{Y}}$son los isomorfismos de dualidad de Poincaré para${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, respectivamente.

Lefschetz demostró que si el número de coincidencia es distinto de cero, entonces${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$tener un punto de coincidencia. Señaló en su artículo que dejar${\displaystyle X=Y}$y dejar${\displaystyle g}$Si la aplicación identidad da un resultado más sencillo, que ahora se conoce como el teorema del punto fijo.

Dejar${\displaystyle X}$ser una variedad definida sobre el campo finito${\displaystyle k}$con${\displaystyle q}$elementos y dejar${\displaystyle {\bar {X}}}$ser el cambio base de${\displaystyle X}$al cierre algebraico de${\displaystyle k}$. El endomorfismo de Frobenius de${\displaystyle {\bar {X}}}$(a menudo el Frobenius geométrico , o simplemente el Frobenius ), denotado por ${\displaystyle F_{q}}$, mapea un punto con coordenadas${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$al punto con coordenadas${\displaystyle x_{1}^{q},\ldots ,x_{n}^{q}}$. Por lo tanto, los puntos fijos de${\displaystyle F_{q}}$son exactamente los puntos de${\displaystyle X}$con coordenadas en${\displaystyle k}$; el conjunto de dichos puntos se denota por${\displaystyle X(k)}$La fórmula de traza de Lefschetz se cumple en este contexto y se lee así:

${\displaystyle \#X(k)=\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} (F_{q}^{*}|H_{c}^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

Esta fórmula implica la traza del Frobenius en la cohomología étale , con soportes compactos, de${\displaystyle {\bar {X}}}$con valores en el campo de${\displaystyle \ell }$números -ádicos , donde${\displaystyle \ell }$es un número primo coprimo a${\displaystyle q}$.

Si${\displaystyle X}$es suave y equidimensional , esta fórmula se puede reescribir en términos de la aritmética de Frobenius.${\displaystyle \Phi _{q}}$, que actúa como el inverso de${\displaystyle F_{q}}$sobre cohomología:

${\displaystyle \#X(k)=q^{\dim X}\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} ((\Phi _{q}^{-1})^{*}|H^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

Esta fórmula implica la cohomología usual, en lugar de la cohomología con soportes compactos.

La fórmula de traza de Lefschetz también puede generalizarse a pilas algebraicas sobre cuerpos finitos.

• Teoremas de punto fijo
• Función zeta de Lefschetz
• Fórmula de punto fijo de Lefschetz holomorfa ^{[ 5 ] [ 6 ]}