ecuación de Liénard

En matemáticas , más específicamente en el estudio de sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales , una ecuación de Liénard ^{[ 1 ]} es un tipo de ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que recibe su nombre del físico francés Alfred-Marie Liénard .

Durante el desarrollo de la tecnología de radio y de tubos de vacío , las ecuaciones de Liénard fueron objeto de intensos estudios, ya que pueden utilizarse para modelar circuitos oscilantes . Bajo ciertas suposiciones adicionales, el teorema de Liénard garantiza la unicidad y la existencia de un ciclo límite para dicho sistema. Un sistema de Liénard con funciones lineales a trozos también puede contener órbitas homoclinas . ^{[ 2 ]}

Sean f y g dos funciones continuamente diferenciables en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ,}$donde f es una función par y g una función impar . Entonces, la ecuación diferencial ordinaria de segundo ordentiene la forma$${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0}$$se denomina ecuación de Liénard . ^{[ 3 ]}

La ecuación se puede transformar en un sistema bidimensional equivalente de ecuaciones diferenciales ordinarias . Definimos

${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$

${\displaystyle x_{1}:=x}$

${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$

entonces

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$

Se denomina sistema de Liénard .

Alternativamente, dado que la ecuación de Liénard en sí misma también es una ecuación diferencial autónoma , la sustitución${\displaystyle v={dx \over dt}}$conduce a que la ecuación de Liénard se convierta en una ecuación diferencial de primer orden :

${\displaystyle v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0}$

que es una ecuación de Abel de segundo tipo . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

El oscilador de Van der Pol

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$

es una ecuación de Liénard. La solución de un oscilador de Van der Pol tiene un ciclo límite. Dicho ciclo tiene una solución de una ecuación de Liénard con signo negativo.${\displaystyle f(x)}$en pequeño${\displaystyle |x|}$y positivo${\displaystyle f(x)}$de lo contrario. La ecuación de Van der Pol en general no tiene una solución analítica exacta. Tal solución para un ciclo límite sí existe si${\displaystyle f(x)}$es una función constante por partes. ^{[ 6 ]}

Un sistema de Liénard tiene un ciclo límite único y estable que rodea el origen si satisface las siguientes propiedades adicionales: ^{[ 7 ]}

• g ( x ) > 0 para todo x > 0;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty$ ;}
• F ( x ) tiene exactamente una raíz positiva en algún valor p , donde F ( x ) < 0 para 0 < x < p y F ( x ) > 0 y monótona para x > p .

• ecuación de Biryukov

• "Ecuación de Liénard" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Sistema Lienard en PlanetMath .