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Lista de ecuaciones en mecánica clásica

La mecánica clásica es la rama de la física que describe el movimiento de los objetos macroscópicos . [ 1 ] Es la más conocida de las teorías de la física. Los conceptos que aba...

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La mecánica clásica es la rama de la física que describe el movimiento de los objetos macroscópicos . [ 1 ] Es la más conocida de las teorías de la física. Los conceptos que abarca, como masa , aceleración y fuerza , son de uso común y conocidos. [ 2 ] La disciplina se basa en un espacio euclidiano tridimensional con ejes fijos, denominado sistema de referencia. El punto de concurrencia de los tres ejes se conoce como el origen del espacio. [ 3 ]

La mecánica clásica utiliza numerosas ecuaciones —así como otros conceptos matemáticos— que relacionan diversas magnitudes físicas entre sí. Entre ellas se incluyen ecuaciones diferenciales , variedades , grupos de Lie y teoría ergódica . [ 4 ] Este artículo ofrece un resumen de las más importantes.

Este artículo enumera ecuaciones de la mecánica newtoniana ; consulte mecánica analítica para la formulación más general de la mecánica clásica (que incluye la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana ).

Mecánica clásica

Masa e inercia

Cantidades cinemáticas derivadas

Cantidades cinemáticas de una partícula clásica: masa m , posición r , velocidad v , aceleración a .

Cantidades dinámicas derivadas

Momentos angulares de un objeto clásico. Izquierda: el momento angular intrínseco de "espín" S es en realidad el momento angular orbital del objeto en cada punto, derecha: momento angular orbital extrínseco L alrededor de un eje, arriba: el tensor de momento de inercia I y la velocidad angular ω ( L no siempre es paralelo a ω ) [ 6 ] abajo: momento p y su posición radial r desde el eje. El momento angular total (espín + orbital) es J.

Definiciones generales de energía

Toda fuerza conservativa tiene una energía potencial . Siguiendo dos principios, se puede asignar consistentemente un valor no relativo a U :

  • Allí donde la fuerza es cero, su energía potencial también se define como cero.
  • Siempre que se realiza un trabajo con la fuerza, se pierde energía potencial.

Mecánica generalizada

Cinemática

En las siguientes definiciones de rotación, el ángulo puede ser cualquier ángulo alrededor del eje de rotación especificado. Es habitual usar θ , pero este no tiene por qué ser el ángulo polar utilizado en los sistemas de coordenadas polares. El vector axial unitario

norte^=mi^r×mi^θ{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {e}} _{r}\times \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}

define el eje de rotación,mi^r{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{r}}= vector unitario en la dirección de r ,mi^θ{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}= vector unitario tangente al ángulo.

Dinámica

Precesión

La velocidad angular de precesión de una peonza viene dada por:

Ω=wrIω{\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {wr}{I{\boldsymbol {\omega }}}}}

donde w es el peso del volante giratorio.

Energía

El trabajo mecánico realizado por un agente externo sobre un sistema es igual al cambio en la energía cinética del sistema:

Teorema general del trabajo y la energía (traslación y rotación)

El trabajo realizado W por un agente externo que ejerce una fuerza F (en r ) y un par τ sobre un objeto a lo largo de una trayectoria curva C es:

W=ΔT=∫do(F⋅dr+τ⋅nortedθ){\displaystyle W=\Delta T=\int _{C}\left(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} \,{\mathrm {d} \theta }\right)}

donde θ es el ángulo de rotación alrededor de un eje definido por un vector unitario n .

Energía cinética

El cambio en la energía cinética de un objeto que inicialmente viaja a velocidadv0{\displaystyle v_{0}}y luego a gran velocidadv{\displaystyle v}es: Δmik=W=12metro(v2−v02){\displaystyle \Delta E_{k}=W={\frac {1}{2}}m(v^{2}-{v_{0}}^{2})}

energía potencial elástica

Para un resorte estirado fijo en un extremo que obedece la ley de Hooke , la energía potencial elástica es

Δmipag=12k(r2−r1)2{\displaystyle \Delta E_{p}={\frac {1}{2}}k(r_{2}-r_{1})^{2}}

donde r 2 y r 1 son coordenadas colineales del extremo libre del resorte, en la dirección de extensión/compresión, y k es la constante del resorte.

Ecuaciones de Euler para la dinámica de cuerpos rígidos

Euler también desarrolló leyes de movimiento análogas a las de Newton, véase Leyes de movimiento de Euler . Estas extienden el alcance de las leyes de Newton a cuerpos rígidos, pero son esencialmente las mismas que las anteriores. Una nueva ecuación formulada por Euler es: [ 10 ]

I⋅α+ω×(I⋅ω)=τ{\displaystyle \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\boldsymbol {\tau }}}

donde I es el tensor del momento de inercia .

movimiento planar general

Las ecuaciones anteriores para el movimiento planar se pueden usar aquí: los corolarios de momento, momento angular, etc., se pueden obtener inmediatamente aplicando las definiciones anteriores. Para cualquier objeto que se mueva en cualquier trayectoria en un plano,

r=r(t)=rr^{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}}

Los siguientes resultados generales se aplican a la partícula.

movimiento de fuerza central

Para un cuerpo masivo que se mueve en un potencial central debido a otro objeto, que depende únicamente de la separación radial entre los centros de masa de los dos objetos, la ecuación de movimiento es:

d2dθ2(1r)+1r=−μr2l2F(r){\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\left({\frac {1}{\mathbf {r} }}\right)+{\frac {1}{\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {l} ^{2}}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )}

Ecuaciones de movimiento (aceleración constante)

Estas ecuaciones solo pueden utilizarse cuando la aceleración es constante. Si la aceleración no es constante, deben emplearse las ecuaciones generales de cálculo mencionadas anteriormente, que se obtienen integrando las definiciones de posición, velocidad y aceleración (véase más arriba).

Transformaciones del marco galileano

En mecánica clásica (galileo-newtoniana), la ley de transformación de un sistema de referencia inercial o acelerado (incluida la rotación) (sistema de referencia que se desplaza a velocidad constante, incluso a velocidad cero) a otro es la transformación galileana.

Las cantidades sin prima se refieren a la posición, la velocidad y la aceleración en un sistema de referencia F; las cantidades con prima se refieren a la posición, la velocidad y la aceleración en otro sistema de referencia F' que se mueve a velocidad de traslación V o velocidad angular Ω con respecto a F. A la inversa, F se mueve a velocidad (— V o — Ω ) con respecto a F'. La situación es similar para las aceleraciones relativas.

osciladores mecánicos

SHM, DHM, SHO y DHO se refieren respectivamente al movimiento armónico simple, al movimiento armónico amortiguado, al oscilador armónico simple y al oscilador armónico amortiguado.

Véase también

Notas

  1. ↑ Mayer, Sussman y Wisdom 2001 , pág. xiii 
  2. ↑ Berkshire y Kibble 2004 , pág. 1 
  3. ↑ Berkshire y Kibble 2004 , pág. 2 
  4. ↑ Arnold 1989 , pág. v 
  5. ↑ " Sección: Momentos y centro de masa " .
  6. ↑ RP Feynman; RB Leighton; M. Sands (1964). Lecciones de física de Feynman (volumen 2) . Addison-Wesley. págs. 31–37 . ISBN  978-0-201-02117-2.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  7. ↑ "Relatividad, JR Forshaw 2009"
  8. ↑ "Mecánica, D. Kleppner 2010"
  9. ↑ "Relatividad, JR Forshaw 2009"
  10. ↑ "Relatividad, JR Forshaw 2009"

Referencias

  • Arnold, Vladimir I. (1989), Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2.ª  ed.), Springer, ISBN 978-0-387-96890-2
  • Berkshire, Frank H.; Kibble , TWB (2004), Mecánica clásica (5.ª  ed.), Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-435-2
  • Mayer, Meinhard E.; Sussman, Gerard J.; Wisdom, Jack (2001), Estructura e interpretación de la mecánica clásica , MIT Press, ISBN 978-0-262-19455-6