teoría de campos de Liouville

El espectro${\displaystyle {\mathcal {S}}}$de la teoría de Liouville es una combinación diagonal de módulos de Verma del álgebra de Virasoro ,

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{{\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}d\Delta \ {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }\ ,}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta}}$y${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$denotan el mismo módulo de Verma, visto como una representación del álgebra de Virasoro que se mueve hacia la izquierda y hacia la derecha, respectivamente. La dimensión conforme${\displaystyle \Delta }$toma valores${\displaystyle \Delta \in {\tfrac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$, que en términos de impulso${\displaystyle \alpha }$equivale a

${\displaystyle \alpha \in {\frac {Q}{2}}+iP\qquad {\text{con}}\qquad P\in \mathbb {R} _{+}.}$

La relación de reflexión es la responsable de que el momento tome valores en una semirrecta, en lugar de una retícula completa como en una teoría libre.

La teoría de Liouville es unitaria si y solo si${\displaystyle c\in (1,+\infty )}$El espectro de la teoría de Liouville no incluye un estado de vacío . Se puede definir un estado de vacío, pero no contribuye a las expansiones de productos de operadores .

En la teoría de Liouville, los campos primarios suelen estar parametrizados por su momento en lugar de por su dimensión conforme , y se denotan${\displaystyle V_{P}(z)}$Ambos campos${\displaystyle V_{P}(z)}$y${\displaystyle V_{-P}(z)}$corresponder al estado primario de la representación${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$y están relacionados por la relación de reflexión

${\displaystyle V_{P}(z)=R_{P}V_{-P}(z)\ ,}$

donde el coeficiente de reflexión es ^{[ 1 ]}

${\displaystyle R_{P}=\pm \lambda ^{-2iP}{\frac {\Gamma (2ibP)\Gamma (2ib^{-1}P)}{\Gamma (-2ibP)\Gamma (-2ib^{-1}P)}}\ .}$

(El letrero es${\displaystyle +1}$si${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$y${\displaystyle -1}$de lo contrario, y el parámetro de normalización${\displaystyle \lambda }$es arbitrario.)

Para${\displaystyle c\notin (-\infty,1)}$, la constante de estructura de tres puntos viene dada por la fórmula DOZZ (para Dorn–Otto ^{[ 2 ]} y Zamolodchikov–Zamolodchikov ^{[ 3 ]} ),

${\displaystyle C_{P_{1},P_{2},P_{3}}={\frac {\left[b^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{-{\frac {Q}{2}}-i(P_{1}+P_{2}+P_{3})}\Upsilon _{b}'(0)\prod _{j=1}^{3}\Upsilon _{b}(-2iP_{j})}{\prod _{\pm ,\pm }\Upsilon _{b}({\frac {Q}{2}}+iP_{1}\pm iP_{2}\pm iP_{3})}}\ ,}$

donde la función especial${\displaystyle \Upsilon _{b}}$es una especie de función gamma múltiple .

Para${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$, la constante de estructura de tres puntos es ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {C}}_{P_{1},P_{2},P_{3}}={\frac {\left[\beta ^{2(\beta +\beta ^{-1})}\lambda ^{-i}\right]^{{\frac {\beta ^{-1}-\beta }{2}}+P_{1}+P_{2}+P_{3}}\prod _{\pm ,\pm }\Upsilon _{\beta }({\frac {\beta +\beta ^{-1}}{2}}+P_{1}\pm P_{2}\pm P_{3})}{\Upsilon _{\beta }(\beta ^{-1})\prod _{j=1}^{3}\Upsilon _{\beta }(\beta ^{-1}+2P_{j})}}\ ,}$

dónde

${\displaystyle \beta =ib\in \mathbb {R} \ .}$

${\displaystyle N}$Las funciones de punto en la esfera se pueden expresar en términos de constantes de estructura de tres puntos y bloques conformes .${\displaystyle N}$La función de cuatro puntos puede tener varias expresiones diferentes: que coincidan es equivalente a la simetría cruzada de la función de cuatro puntos, lo cual se ha comprobado numéricamente ^{[ 3 ] [ 4 ]} y demostrado analíticamente. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

La función de N puntos de la esfera${\displaystyle \left\langle \prod _ {j=1}^{N}V_ {P_ {j}}(z_ {j}) \right\rangle}$es una función meromorfa de${\displaystyle P_{j}}$. Para${\displaystyle c\notin (-\infty,1)}$sus polos están en${\displaystyle i\sum _{j=1}^{N}\epsilon _{j}P_{j}\in {\tfrac {N-2}{2}}Q+\mathbb {N} b+\mathbb {N} b^{-1}}$para cualquier${\displaystyle \epsilon _{j}=\pm }$. ^{[ 7 ]} (Estos polos son simples si no coinciden.) Para${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$Los polos se deben a factores${\displaystyle {\frac {1}{\Upsilon _{\beta }(\beta ^{-1}+2P_{j})}}}$y puede eliminarse mediante una renormalización de campo.

La función de 4 puntos de la esfera se transforma covariantemente bajo ^{[ 7 ].}

${\displaystyle P_{1}\mapsto P_{\Sigma }\quad ,\quad P_{j}{\underset {j=2,3,4}{\mapsto }}P_{1}+P_{j}-P_{\Sigma }\quad {\text{with}}\quad P_{\Sigma }={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{4}P_{j}\ .}$

Es decir, bajo esta transformación, para${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$, lo siguiente es invariable:

${\displaystyle \left(\prod _{j<k}|z_{j}-z_{k}|^{2P_{j}^{2}+2P_{k}^{2}}\right)\left(\prod _{j=1}^{4}{\frac {1}{\Upsilon _{b}(-2iP_{j})}}\right)\left\langle \prod _{j=1}^{4}V_{P_{j}}(z_{j})\right\rangle \ .}$

La teoría de Liouville existe no solo en la esfera, sino también en cualquier superficie de Riemann de género${\displaystyle g\geq 1}$Técnicamente, esto es equivalente a la invariancia modular de la función de un punto del toro . Debido a las notables identidades de los bloques conformes y las constantes de estructura, esta propiedad de invariancia modular puede deducirse de la simetría de cruce de la función de cuatro puntos de la esfera. ^{[ 8 ] [ 4 ]}

Utilizando el enfoque de bootstrap conforme , se puede demostrar que la teoría de Liouville es la única teoría de campo conforme tal que ^{[ 1 ]}

• El espectro es un continuo, sin multiplicidades mayores que uno,
• Las funciones de correlación dependen analíticamente de${\displaystyle b}$y los momentos.

La teoría de Liouville se define por la acción local.

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\,{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi +QR\varphi +\lambda 'e^{2b\varphi })\ ,}$

dónde${\displaystyle g_{\mu \nu }}$es la métrica del espacio bidimensional sobre el cual se formula la teoría,${\displaystyle R}$es el escalar de Ricci de ese espacio, y${\displaystyle \varphi }$es el campo de Liouville. El parámetro${\displaystyle \lambda '}$, que a veces se denomina constante cosmológica, está relacionada con el parámetro${\displaystyle \lambda }$que aparece en las funciones de correlación por

${\displaystyle \lambda '=4{\frac {\Gamma (1-b^{2})}{\Gamma (b^{2})}}\lambda ^{b}.}$

La ecuación de movimiento asociada a esta acción es

${\displaystyle \Delta \varphi (x)={\frac {1}{2}}QR(x)+\lambda 'be^{2b\varphi (x)}\ ,}$

dónde${\displaystyle \Delta =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })}$es el operador de Laplace-Beltrami . Si${\displaystyle g_{\mu \nu }}$es la métrica euclidiana , esta ecuación se reduce a

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\varphi (x_{1},x_{2})=\lambda 'be^{2b\varphi (x_{1},x_{2})}\ ,}$

lo cual es equivalente a la ecuación de Liouville .

Una vez compactada en un cilindro, la teoría de campos de Liouville puede formularse de manera equivalente como una teoría de líneas de universo. ^{[ 9 ]}

Utilizando un sistema de coordenadas complejo${\displaystyle z}$y una métrica euclidiana

${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dzd{\bar {z}},}$

Los componentes del tensor energía-momento obedecen

${\displaystyle T_{z{\bar {z}}}=T_{{\bar {z}}z}=0\;,\quad \partial _{\bar {z}}T_{zz}=0\;,\quad \partial _{z}T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\ .}$

Los componentes que no se desvanecen son

${\displaystyle T=T_{zz}=(\partial _{z}\varphi )^{2}+Q\partial _{z}^{2}\varphi \;,\quad {\bar {T}}=T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=(\partial _{\bar {z}}\varphi )^{2}+Q\partial _{\bar {z}}^{2}\varphi \ .}$

Cada uno de estos dos componentes genera un álgebra de Virasoro con la carga central

${\displaystyle c=1+6Q^{2}.}$

Para ambas álgebras de Virasoro, un campo${\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}$es un campo primario con la dimensión conforme

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha ).}$

Para que la teoría tenga invariancia conforme , el campo${\displaystyle e^{2b\varphi }}$que aparece en la acción debe ser marginal , es decir, tener la dimensión conforme.

${\displaystyle \Delta (b)=1.}$

Esto conduce a la relación

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}}$

entre la carga de fondo y la constante de acoplamiento. Si se cumple esta relación, entonces${\displaystyle e^{2b\varphi }}$En realidad es exactamente marginal, y la teoría es conformemente invariante.

La representación integral de trayectoria de un${\displaystyle N}$-función de correlación de puntos de campos primarios es

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i}}(z_{i})\right\rangle =\int D\varphi \ e^{-S[\varphi ]}\prod _{i=1}^{N}e^{2\alpha _{i}\varphi (z_{i})}\ .}$

Ha sido difícil definir y calcular esta integral de trayectoria. En la representación de la integral de trayectoria, no es obvio que la teoría de Liouville tenga invariancia conforme exacta , y no es manifiesto que las funciones de correlación sean invariantes bajo${\displaystyle b\to b^{-1}}$y obedecen la relación de reflexión. Sin embargo, la representación de la integral de trayectoria puede usarse para calcular los residuos de las funciones de correlación en algunos de sus polos como integrales de Dotsenko-Fateev en el formalismo del gas de Coulomb , y así fue como se intuyó por primera vez la fórmula DOZZ en la década de 1990. No fue hasta la década de 2010 que se encontró una construcción probabilística rigurosa de la integral de trayectoria, lo que condujo a una demostración de la fórmula DOZZ ^{[ 10 ]} y el bootstrap conforme. ^{[ 6 ] [ 11 ]}

Cuando la carga central y las dimensiones conformes se envían a los valores discretos relevantes, las funciones de correlación de la teoría de Liouville se reducen a funciones de correlación de modelos mínimos de Virasoro diagonales (serie A) . ^{[ 1 ]}

Por otro lado, cuando la carga central se envía a uno mientras las dimensiones conformes permanecen continuas, la teoría de Liouville tiende a la teoría de Runkel-Watts, una teoría de campos conformes (CFT) no trivial con un espectro continuo cuya función de tres puntos no es analítica en función de los momentos. ^{[ 12 ]} Las generalizaciones de la teoría de Runkel-Watts se obtienen a partir de la teoría de Liouville tomando límites del tipo${\displaystyle b^{2}\notin \mathbb {R} ,b^{2}\to \mathbb {Q} _{<0}}$. ^{[ 4 ]} Entonces, para${\displaystyle b^{2}\in \mathbb {Q} _{<0}}$Se conocen dos teorías de campos conformes (CFT) distintas con el mismo espectro: la teoría de Liouville, cuya función de tres puntos es analítica, y otra CFT con una función de tres puntos no analítica.

La teoría de Liouville se puede obtener a partir de la${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$Modelo de Wess-Zumino-Witten mediante una reducción cuántica de Drinfeld-Sokolov . Además, funciones de correlación de la${\displaystyle H_{3}^{+}}$modelo (la versión euclidiana del${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$El modelo WZW puede expresarse en términos de funciones de correlación de la teoría de Liouville. ^{[ 13 ] [ 14 ]} Esto también es cierto para las funciones de correlación del agujero negro 2D${\displaystyle SL_{2}/U_{1}}$modelo de coset. ^{[ 13 ]} Además, existen teorías que interpolan continuamente entre la teoría de Liouville y la${\displaystyle H_{3}^{+}}$modelo. ^{[ 15 ]}

La teoría de Liouville es el ejemplo más simple de una teoría de campo de Toda , asociada a la${\displaystyle A_{1}}$Matriz de Cartan . Las teorías de Toda conformes más generales pueden considerarse generalizaciones de la teoría de Liouville, cuyos lagrangianos involucran varios bosones en lugar de un solo bosón.${\displaystyle \varphi }$y cuyas álgebras de simetría son álgebras W en lugar del álgebra de Virasoro.

La teoría de Liouville admite dos extensiones supersimétricas diferentes llamadas${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$teoría de Liouville supersimétrica y${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$Teoría de Liouville supersimétrica. ^{[ 16 ]}

En el espacio plano, el modelo sinh-Gordon se define mediante la acción local:

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\left(\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi +\lambda \cosh(2b\varphi )\right).}$

La ecuación de movimiento clásica correspondiente es la ecuación de sinh-Gordon . El modelo puede considerarse una perturbación de la teoría de Liouville. La matriz S exacta del modelo se conoce en el régimen de acoplamiento débil.${\displaystyle 0<b<1}$y es formalmente invariante bajo${\displaystyle b\to b^{-1}}$Sin embargo, se ha argumentado que el modelo en sí no es invariante. ^{[ 17 ]}

En dos dimensiones, la teoría de Liouville puede usarse para construir una teoría cuántica de la gravedad llamada gravedad de Liouville. No debe confundirse ^{[ 18 ] [ 19 ]} con el modelo CGHS o la gravedad de Jackiw-Teitelboim .

En dos dimensiones, la acción de Einstein-Hilbert es topológica, es decir, es proporcional a la característica de Euler . Sin embargo, después de la cuantización, la relatividad general ya no es topológica, debido a la anomalía de Weyl : bajo un reescalamiento de la métrica${\displaystyle g\mapsto e^{\phi }g}$, mientras que la acción es invariante, la medida de integración funcional no lo es, y da lugar a un término proporcional a la acción de Liouville para${\displaystyle \phi }$Esto lleva a la construcción de la gravedad de Liouville como un producto de tres CFT: la teoría de Liouville para el sector gravitacional, los fantasmas de Faddeev-Popov para la invariancia de Weyl (considerada como una simetría de gauge) y una CFT arbitraria que describe la materia. Las cargas centrales de estas CFT deben sumar cero para cancelar la anomalía de Weyl y asegurar que la teoría cuántica sea topológica. ^{[ 16 ]}

Las observables de la gravedad de Liouville son números de correlación: funciones de correlación del producto CFT, integradas sobre los módulos. Los números de correlación se pueden calcular explícitamente en algunos ejemplos, como la cuerda mínima de Virasoro. ^{[ 20 ]} Los números de correlación en una característica de Euler fija son los coeficientes de los correladores de gravedad cuántica, cuando se expanden en potencias de la constante gravitacional .

La teoría de Liouville aparece en el contexto de la teoría de cuerdas al intentar formular una versión no crítica de la teoría en la formulación de integral de trayectoria . ^{[ 21 ]} La teoría también aparece como la descripción de la teoría de cuerdas bosónicas en dos dimensiones espaciotemporales con un fondo de dilatón lineal y un fondo de taquión . La ecuación de movimiento del campo del taquión en el fondo de dilatón lineal requiere que tome una solución exponencial. La acción de Polyakov en este fondo es entonces idéntica a la teoría de campo de Liouville, donde el dilatón lineal es responsable del término de carga de fondo, mientras que el taquión contribuye con el potencial exponencial. ^{[ 22 ]}

Existe una correspondencia exacta entre la teoría de Liouville y${\displaystyle c\geq 25}$y ciertos modelos de energía aleatoria logarítmicamente correlacionados . ^{[ 23 ]} Estos modelos describen una partícula térmica en un potencial aleatorio que está logarítmicamente correlacionado. En dos dimensiones, dicho potencial coincide con el campo libre gaussiano . En ese caso, ciertas funciones de correlación entre campos primarios en la teoría de Liouville se mapean a funciones de correlación de la medida de Gibbs de la partícula. Esto tiene aplicaciones a la estadística de valores extremos del campo libre gaussiano bidimensional y permite predecir ciertas propiedades universales de los modelos de energía aleatoria logarítmicamente correlacionados (en dos dimensiones y más allá).

La teoría de Liouville está relacionada con otros temas de física y matemáticas, como la relatividad general tridimensional en espacios de curvatura negativa , el problema de uniformización de superficies de Riemann y otros problemas de mapeo conforme . También se relaciona con las funciones de partición de instantones en ciertas teorías de gauge superconformes de cuatro dimensiones mediante la correspondencia AGT .