Singularidad canónica

En matemáticas, las singularidades canónicas son una clase de singularidades que aparecen en el modelo canónico de una variedad algebraica , y las singularidades terminales son una clase más restringida que se presentan como singularidades de modelos mínimos . Estas clases de singularidades fueron introducidas por Miles Reid (1980) . Las singularidades terminales son importantes en el programa de modelos mínimos porque no existen modelos mínimos suaves en la generalidad deseada, y por lo tanto, se deben permitir ciertas singularidades "suaves".

Sea X una variedad normal sobre un cuerpo cuya clase canónica K _X es${\displaystyle \mathbb {Q} }$- Cartier (como se comenta más adelante), y dejar${\displaystyle f\colon Y\to X}$ser una resolución de singularidades de X. Usando que los divisores de Cartier se pueden retraer , se puede escribir

${\displaystyle \displaystyle K_{Y}=f^{*}(K_{X})+\sum _{i}a_{i}E_{i}}$

donde la suma se realiza sobre los divisores excepcionales de f (las subvariedades de Y de codimensión 1 , que son irreducibles por definición, cuya imagen en X tiene codimensión al menos 2). Los a _i son números racionales, llamados discrepancias .

Entonces se dice que X es

• terminal si ${\displaystyle a_{i}>0}$para todos yo ,
• canónico si ${\displaystyle a_{i}\geq 0}$para todos yo .

(También se puede decir que X tiene "singularidades terminales" o "singularidades canónicas"). Estas propiedades son independientes de la elección de la resolución. ^{[ 1 ]}

Supongamos, más concretamente, que${\displaystyle f\colon Y\to X}$es una resolución logarítmica , lo que significa que Y no es singular y el lugar excepcional de f es un divisor con cruces normales simples en Y. Entonces se dice que X es

• Terminal de registro de Kawamata (klt) si ${\displaystyle a_{i}>-1}$para todos yo ,
• logaritmo canónico (lc) si ${\displaystyle a_{i}\geq -1}$para todos yo .

Estas dos propiedades son independientes de la elección de la resolución del registro. ^{[ 2 ]} Fueron introducidas a principios de la década de 1980 (con una terminología ligeramente diferente) por Yujiro Kawamata .

Si alguna resolución logarítmica de X tiene un divisor excepcional con discrepancia${\displaystyle a_{i}}$menos que${\displaystyle -1}$, entonces X tiene otras resoluciones logarítmicas con discrepancias arbitrariamente negativas${\displaystyle a_{j}}$. ^{[ 3 ]} Como resultado, "log canonical" es la condición más general que se puede definir en estas líneas, independientemente de la elección de la resolución del logaritmo.

Estas propiedades significan que las formas diferenciales en X se comportan como aquellas en una variedad lisa , en mayor o menor medida. ^{[ 4 ]} Cuando X es una variedad lisa de dimensión n sobre un cuerpo k , su fibrado lineal canónico se define como el haz de n -formas (o "formas de volumen") en X ,${\displaystyle \omega _{X}:=\Omega _{X/k}^{n}}$. Para cualquier morfismo${\displaystyle f\colon Y\to X}$de n -pliegues suaves, hay una forma natural de extraer secciones de${\displaystyle \omega _{X}}$volver a las secciones de${\displaystyle \omega _{Y}}$. En coordenadas locales, esta operación de retroceso viene dada por el determinante jacobiano de f . Cuando${\displaystyle f\colon Y\to X}$es un morfismo birracional de variedades suaves, el retroceso de una sección de${\displaystyle \omega _{X}}$se anula a lo largo de cada divisor excepcional de f , porque el determinante jacobiano se anula allí.

Para una variedad X sobre un cuerpo perfecto que es normal pero no liso, el lugar singular de X tiene codimensión al menos 2. El haz relevante de "formas de volumen", llamado haz canónico${\displaystyle \omega _{X}}$, se define por: una sección de${\displaystyle \omega _{X}}$en un subconjunto abierto U de X es simplemente una n -forma en el lugar liso de U. ^{[ 5 ]} Este haz no tiene por qué ser un fibrado lineal (un haz localmente libre de rango 1) en X. ( Es decir, en un punto singular p en X , puede que no exista ningún entorno abierto U de p para el cual exista una n - forma que no se anule en ningún lugar en${\displaystyle U^{\text{smooth}}}$.) Pero la condición de que${\displaystyle K_{X}}$es${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Cartier, en la definición de "terminal", etc., quiere decir que para algún entero positivo m , el m -ésimo haz de líneas de potencia tensorial${\displaystyle \omega _{X}^{\otimes m}}$en${\displaystyle X^{\text{smooth}}}$se extiende a un fibrado de líneas en X. La parte principal de la definición de "terminal" dice que para una resolución de singularidades${\displaystyle f\colon Y\to X}$, cada sección de${\displaystyle \omega _{X}}$(en un subconjunto abierto de X ) retrocede a una sección de${\displaystyle \omega _{Y}}$que se desvanece en cada divisor excepcional de f , y asimismo para todos los múltiplos positivos de${\displaystyle \omega _{X}}$. Por lo tanto, las formas de volumen en una variedad terminal se comportan "exactamente igual" que las de una variedad lisa.

Asimismo, "canónico" significa que secciones de${\displaystyle \omega _{X}}$retroceder a secciones de${\displaystyle \omega _{Y}}$, y asimismo para múltiplos positivos (pero sin que se requiera que se anulen en los divisores excepcionales). "Klt" significa que secciones de${\displaystyle \omega _{X}}$retroceder a secciones de${\displaystyle \omega _{Y}}$, sin el mismo requisito para múltiplos positivos de${\displaystyle \omega _{X}}$. Finalmente, "log canonical" significa que las secciones de${\displaystyle \omega _{X}}$retroceder a secciones racionales de${\displaystyle \omega _{Y}}$que tienen como máximo un polo de orden 1 a lo largo de cada divisor excepcional. (La palabra "log" proviene principalmente de la noción de formas logarítmicas , que equivale a esta condición de "polo de orden 1". Por ejemplo,${\displaystyle dx/x}$es una 1-forma en la línea afín con "polos logarítmicos" en el origen.)

Una consecuencia directa de la definición de singularidades canónicas es que si dos variedades proyectivas con singularidades canónicas son birracionales, entonces tienen los mismos plurigéneros , las dimensiones de los espacios vectoriales.${\displaystyle H^{0}(X,O(mK_{X}))}$a pesar de${\displaystyle m\geq 0}$Según Caucher Birkar , Paolo Cascini, Christopher Hacon y James McKernan , toda variedad proyectiva lisa X de tipo general sobre un cuerpo de característica cero es birracional a una única variedad proyectiva con singularidades canónicas y clase canónica amplia , denominada modelo canónico de X. Además, X también es birracional a una variedad proyectiva (no en general única) con singularidades terminales y clase canónica nef , denominada modelo mínimo de X. ^{[ 6} ] Estas son herramientas fundamentales para la clasificación birracional de variedades algebraicas ^.

La motivación para definir singularidades terminales o canónicas fue que constituyen las clases más pequeñas de singularidades para las que se espera la existencia de modelos mínimos o canónicos. Sin embargo, muchas técnicas del programa de modelos mínimos resultaron ser aplicables a la mayor generalidad de las singularidades klt o incluso log canónicas. En consecuencia, se puede afirmar más al considerar estas clases más amplias de singularidades. Por ejemplo: el teorema de anulación de Kodaira y el teorema del cono se extienden a variedades log canónicas proyectivas (y pares, como se analiza más adelante ) en característica cero. ^{[ 7 ]} O también: las variedades de Fano klt en característica cero son racionalmente conexas . ^{[ 8 ]}

Las variedades terminales de dimensión como máximo 2 sobre un cuerpo perfecto son suaves. (Sobre un cuerpo arbitrario, la afirmación correcta es que las variedades terminales de dimensión como máximo 2 son esquemas regulares ). Esto explica por qué los modelos mínimos de superficies pueden considerarse suaves. De manera más general, el lugar singular de cualquier variedad terminal tiene codimensión al menos 3. Por lo tanto, las singularidades terminales en dimensión 3 están aisladas; sobre los números complejos , fueron clasificadas por Shigefumi Mori (1985) y Reid. En particular, una singularidad terminal triple es el cociente de una singularidad de hipersuperficie con multiplicidad 2 por un grupo cíclico finito . ^{[ 9 ]} Algunos ejemplos simples de singularidades terminales en dimensión 3 son el nodo triple,${\displaystyle xy=zw}$en${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{4}}$y la singularidad del cociente${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{3}/\pm 1}$.

Las singularidades canónicas bidimensionales también se denominan singularidades de du Val . ^{[ 10 ]} Sobre los números complejos, son localmente analíticamente isomorfas a cocientes del plano afín.${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{2}}$por subgrupos finitos del grupo lineal especial${\displaystyle SL(2,{\mathbb {C} })}$. En cualquier dimensión, singularidades cociente${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{n}/G}$son canónicos cuando G es un subgrupo finito de${\displaystyle SL(n,{\mathbb {C} })}$.

Singularidades klt bidimensionales sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$son localmente analíticamente isomorfos a cocientes de${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{2}}$por subgrupos finitos del grupo lineal general${\displaystyle GL(2,{\mathbb {C} })}$. ^{[ 11 ]} En cualquier dimensión, todas las singularidades cociente${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{n}/G}$(con G un subgrupo finito de${\displaystyle GL(n,{\mathbb {C} })}$) son klt. Por otro ejemplo, las variedades tóricas X con${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Cartier son klt.

Kawamata (1988) clasificó las singularidades logarítmicas canónicas bidimensionales : son elípticas simples, cúspides o suaves, divididas por la acción de un grupo finito . ^{[ 12 ]} Por ejemplo, la superficie${\displaystyle x^{d}+y^{d}+z^{d}=0}$en${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{3}}$es terminal (de hecho, suave) para${\displaystyle d=1}$, canónico (o también klt) para${\displaystyle d\leq 2}$y el logaritmo canónico para${\displaystyle d\leq 3}$. Para${\displaystyle d=2}$Este es el cono afín sobre una curva cónica suave en el plano proyectivo.${\displaystyle {\mathbf {P} }^{2}}$(llamado nodo de superficie), que también puede verse como el cociente${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{2}/\pm 1}$. Para${\displaystyle d=3}$, este es el cono afín sobre una curva elíptica .

Generalizando el ejemplo anterior, existe una descripción clara de estas condiciones para una singularidad de cono de cualquier dimensión. Sea X una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo, A un fibrado lineal amplio sobre X , e Y el cono afín sobre X con respecto a A :

${\displaystyle Y={\text{Spec}}(\oplus _{m\geq 0}H^{0}(X,A^{\otimes m})).}$

Entonces ^{[ 13 ]}

• Y es terminal si y solo si A es${\displaystyle \mathbb {Q} }$- linealmente equivalente a${\displaystyle c(-K_{X})}$para algún número racional${\displaystyle 0<c<1}$;
• Y es canónico si y solo si A es${\displaystyle \mathbb {Q} }$-linealmente equivalente a${\displaystyle c(-K_{X})}$para algún número racional${\displaystyle 0<c\leq 1}$;
• Y es klt si y solo si A es${\displaystyle \mathbb {Q} }$-linealmente equivalente a${\displaystyle c(-K_{X})}$para algún número racional${\displaystyle c>0}$;
• y Y es logarítmica canónica si y solo si${\displaystyle -K_{X}}$es${\displaystyle \mathbb {Q} }$-linealmente equivalente a${\displaystyle bA}$para algún número racional${\displaystyle b\geq 0}$.

En particular, si Y es klt, entonces X debe ser una variedad de Fano , lo que significa que${\displaystyle -K_{X}}$es amplio. Si Y es log canónico, entonces X es una variedad de Fano o de Calabi-Yau , lo que significa que${\displaystyle K_{X}}$es${\displaystyle \mathbb {Q} }$-linealmente equivalente a cero. Por ejemplo, un cono sobre una curva elíptica es log canónico pero no klt, y un cono sobre una curva de género al menos 2 no es log canónico.

Otro ejemplo: porque el fibrado canónico de la línea proyectiva${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$tiene título${\displaystyle -2}$, estos resultados dan que el cono afín sobre la curva normal racional de grado d en${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$es terminal (de hecho, suave) para${\displaystyle d=1}$, canónico para${\displaystyle d\leq 2}$y klt para todos los enteros positivos d . (Sobre los números complejos, estas singularidades de superficie también pueden verse como singularidades de cociente)${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{2}/G}$, donde G es el grupo cíclico de orden d que actúa mediante escalares.)

Para números enteros positivos${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$con n al menos 2, la singularidad de la hipersuperficie${\displaystyle \{x_{1}^{a_{1}}+\cdots +x_{n}^{a_{n}}=0\}}$en${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{n}}$es canónico si y solo si${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}>1}$. ^{[ 14 ]}

Estas clases de singularidades están estrechamente relacionadas con la noción más antigua de singularidades racionales . Supongamos aquí que el cuerpo base son los números complejos.${\displaystyle \mathbb {C} }$Entonces, toda variedad klt X tiene singularidades racionales. ^{[ 15 ]} En particular, X es Cohen-Macaulay . (Estas afirmaciones pueden fallar para variedades log-canónicas. Por ejemplo, un cono afín sobre una superficie abeliana es log-canónico pero no Cohen-Macaulay, por lo que no tiene singularidades racionales. ^{[ 16 ]} )

Por el contrario, si${\displaystyle K_{X}}$es Cartier, entonces "canónicas", "klt" y "singularidades racionales" son todas equivalentes, e implican que X es Gorenstein . ^{[ 17 ]} Más generalmente, toda variedad klt X (en algún entorno de un punto dado p ) es el cociente por un grupo cíclico finito G de una singularidad canónica Y con${\displaystyle K_{Y}}$Cartier, llamado la cubierta de índice 1 de X cerca de p . Además, G actúa libremente en codimensión 1 (lo que significa que actúa libremente fuera de un subconjunto cerrado de codimensión al menos 2 en Y ). Como resultado, las singularidades klt sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$son exactamente los cocientes de singularidades de Gorenstein racionales por un grupo cíclico que actúa libremente en codimensión 1. ^{[ 18 ]}

De forma más general, siguiendo a Kawamata, estos conceptos pueden definirse para un par (o par logarítmico ).${\displaystyle (X,\Delta )}$. Es decir, sea X una variedad normal, y sea${\displaystyle \Delta }$ser un${\displaystyle \mathbb {Q} }$-divisor en X (una combinación lineal finita de subvariedades de codimensión-1 con coeficientes racionales) tal que${\displaystyle K_{X}+\Delta }$es${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Cartier. (Las siguientes propiedades dependen de la específica${\displaystyle \mathbb {Q} }$-divisor${\displaystyle \Delta }$, no solo en su clase de equivalencia lineal . De manera más general, las definiciones funcionan de la misma manera para${\displaystyle \mathbb {R} }$-divisores.) La idea básica es pensar en un par como una generalización de una variedad, con la "clase canónica" del par${\displaystyle (X,\Delta )}$ser${\displaystyle K_{X}+\Delta }$.

Dejar${\displaystyle f\colon Y\to X}$ser una resolución de registro de${\displaystyle (X,\Delta )}$, lo que significa que Y es no singular y la unión del lugar excepcional de f con la transformación estricta de${\displaystyle \Delta }$es un divisor con cruces normales simples en Y. (La transformación estricta de una subvariedad S de X de codimensión 1 (entendida como irreducible) es la única subvariedad de Y de codimensión 1 que se aplica a S ; esto se extiende de forma obvia a una combinación lineal finita de subvariedades). Existe una bien definida${\displaystyle \mathbb {Q} }$-divisor${\displaystyle \Gamma }$en Y tal que

${\displaystyle K_{Y}+\Gamma =f^{*}(K_{X}+\Delta ).}$

(Aquí la transformación estricta de cada componente de${\displaystyle \Delta }$tiene el mismo coeficiente en${\displaystyle \Gamma }$como en${\displaystyle \Delta }$.) La pareja${\displaystyle (X,\Delta )}$se llama ^{[ 2 ]}

• Kawamata log terminal (klt) si todos los coeficientes de${\displaystyle \Gamma }$son${\displaystyle <1}$,
• log canónico (lc) si todos los coeficientes de${\displaystyle \Gamma }$son${\displaystyle \leq 1}$.

Estas propiedades también se pueden definir sin especificar una resolución de registro particular.${\displaystyle (X,\Delta )}$. Es decir, dejemos${\displaystyle f\colon Y\to X}$Sea cualquier morfismo birracional propio de una variedad normal Y a X. Existe una definición bien definida.${\displaystyle \mathbb {Q} }$-divisor${\displaystyle \Gamma }$en Y como se indicó anteriormente. Para cada subvariedad de codimensión 1 E en Y , defina la discrepancia de E con respecto a${\displaystyle (X,\Delta )}$como el negativo del coeficiente de E en${\displaystyle \Gamma }$. Entonces${\displaystyle (X,\Delta )}$Se dice que es klt si todo divisor irreducible E sobre X (es decir, en toda variedad Y de este tipo ) tiene discrepancia.${\displaystyle >-1}$. Asimismo,${\displaystyle (X,\Delta )}$es log canónico si todo divisor irreducible E sobre X tiene discrepancia${\displaystyle \geq -1}$[ ^{2 ]} (Esto concuerda con las definiciones anteriores si existe una resolución logarítmica, por ejemplo, cuando el campo base tiene característica cero. Las definiciones de este párrafo son las que se utilizan cuando no se sabe que existe una resolución logarítmica, por ejemplo, cuando el campo base tiene característica positiva y ^X tiene dimensión mayor que 3.)

Utilizando esta terminología, se pueden definir varias clases relacionadas de pares de la siguiente manera. A saber, un par${\displaystyle (X,\Delta )}$es

• terminal si${\displaystyle \Delta }$tiene coeficientes${\displaystyle <1}$y todo divisor excepcional sobre X tiene discrepancia${\displaystyle >0}$(con respecto a${\displaystyle (X,\Delta )}$),
• canónico si${\displaystyle \Delta }$tiene coeficientes${\displaystyle \leq 1}$y todo divisor excepcional sobre X tiene discrepancia${\displaystyle \geq 0}$,
• terminal puramente de registro (plt) si${\displaystyle \Delta }$tiene coeficientes${\displaystyle \leq 1}$y todo divisor excepcional sobre X tiene discrepancia${\displaystyle >-1}$.

Aquí un divisor excepcional sobre${\displaystyle X}$significa un divisor irreducible E en alguna variedad normal.${\displaystyle Y\to X}$como se indicó anteriormente, de modo que la imagen de E en X tenga codimensión al menos 2. Cuando${\displaystyle \Delta =0}$Estas definiciones de "terminal" y "canónico" coinciden con las dadas anteriormente para variedades en lugar de pares. Cuando X tiene dimensión al menos 2, la suposición en estas definiciones sobre los coeficientes de${\displaystyle \Delta }$puede omitirse (se deduce de la condición sobre divisores excepcionales). ^{[ 19 ]}

Una última clase de pares relacionados es:${\displaystyle (X,\Delta )}$es el logaritmo terminal divisorial (dlt) si${\displaystyle \Delta }$tiene coeficientes como máximo 1 y la discrepancia es${\displaystyle >-1}$para cada divisor excepcional sobre X cuya imagen en X está contenida en el subconjunto cerrado donde el par${\displaystyle (X,\Delta )}$no tiene cruces normales simples. ^{[ 19 ]} (En términos generales, esto significa que "dlt" es la clase más pequeña de pares que incluye pares klt, así como pares de cruces normales simples con coeficientes como máximo 1.)

En dimensión al menos 2, si un par${\displaystyle (X,\Delta )}$no es log canónico, lo que significa que algún divisor irreducible sobre X tiene una discrepancia menor que${\displaystyle -1}$Entonces, existen divisores irreducibles sobre X con discrepancias arbitrariamente negativas. ^{[ 3 ]} Esto explica por qué "log canónico" es la condición más general que se puede formular en este sentido para variedades normales. (Existe una generalización útil de "log canónico" a esquemas no normales, "semilog canónico" o "slc". ^{[ 20 ]} Por ejemplo, las curvas estables son slc.)

Una razón práctica para estudiar pares es que muchos resultados del programa del modelo mínimo se han extendido de variedades a pares. Por ejemplo, el teorema de anulación de Kodaira y el teorema del cono se cumplen para pares log-canónicos proyectivos (o incluso slc).${\displaystyle (X,\Delta )}$con${\displaystyle \Delta }$efectivo (es decir, con coeficientes${\displaystyle \geq 0}$). ^{[ 7 ]} O de nuevo: para un par dlt Fano${\displaystyle (X,\Delta )}$(lo que significa que X es proyectivo,${\displaystyle -(K_{X}+\Delta )}$es amplio y${\displaystyle \Delta }$es efectivo), X está conectado racionalmente. ^{[ 8 ]} Por lo tanto, puede ser posible decir más sobre una variedad dada X encontrando un adecuado${\displaystyle \Delta }$.

Así como las singularidades terminales y canónicas ocurren en modelos mínimos y canónicos de variedades proyectivas suaves, los pares dlt y log canónicos surgen naturalmente como modelos "mínimos" o "log canónicos" de pares.${\displaystyle (X,D)}$con X proyectiva suave y D un divisor de cruce normal simple con coeficientes 1. ^{[ 21 ]} Una motivación temprana para estudiar tales pares fue clasificar las variedades suaves no compactas, en la medida de lo posible. De hecho, toda variedad cuasiproyectiva suave sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$se puede escribir como${\displaystyle X-D}$para alguna variedad proyectiva suave X y algún divisor D con cruces normales simples. Un par dado${\displaystyle (X,D)}$Luego se puede simplificar mediante el programa de modelo mínimo.

Filosóficamente, la definición de singularidades terminales (por ejemplo) ya indica que muchas propiedades de una variedad X pueden codificarse en una resolución de singularidades.${\displaystyle f\colon Y\to X}$junto con el${\displaystyle \mathbb {Q} }$-divisor${\displaystyle \Delta }$de tal manera que${\displaystyle f^{*}(K_{X})=K_{Y}+\Delta }$Esto sugiere que los pares pueden ser vistos como objetos geométricos comparables a las variedades: para algunos propósitos, X puede ser reemplazado por el par${\displaystyle (Y,\Delta )}$. Se dice que X es birracional crepante para el par${\displaystyle (Y,\Delta )}$. ^{[ 22 ]}

Para pares (a diferencia de variedades), las condiciones más importantes son "log canónico" y las diversas versiones de "log terminal". Estas condiciones miden las singularidades de la variedad X junto con las de la${\displaystyle \mathbb {Q} }$-divisor${\displaystyle \Delta }$. Dejando los coeficientes de${\displaystyle \Delta }$variar proporciona una medida cuantitativa de cuán singulares son los componentes de${\displaystyle \Delta }$son. Por ejemplo: para C la curva cúbica cuspidal${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$en el plano afín${\displaystyle A^{2}}$, la pareja${\displaystyle (A^{2},bC)}$es klt si y solo si${\displaystyle b<5/6}$y es logarítmicamente canónica si y solo si${\displaystyle b\leq 5/6}$. ^{[ 23 ]} Es decir, una curva cuspidal en una superficie lisa tiene un umbral canónico logarítmico.${\displaystyle 5/6}$. (Como sugiere este ejemplo, al disminuir los coeficientes siempre se conserva "klt" y estas otras condiciones en un par${\displaystyle (X,\Delta )}$, suponiendo que la propiedad "${\displaystyle K_{X}+\Delta }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Cartier" sigue siendo cierto.)

Para un caso simple, sea X una variedad diferenciable, y sea${\displaystyle \Delta }$ser un${\displaystyle \mathbb {Q} }$-divisor en X cuyo soporte tiene cruces normales simples. (Por ejemplo, X podría ser el plano afín)${\displaystyle A^{2}}$y${\displaystyle \Delta }$podrían ser los dos ejes de coordenadas, con un coeficiente racional dado en cada eje.) Entonces el par${\displaystyle (X,\Delta )}$es klt si y solo si los coeficientes de${\displaystyle \Delta }$son menores que 1. A continuación, "dlt" y "log canonical" son ambos equivalentes a los coeficientes de${\displaystyle \Delta }$siendo como máximo 1. Finalmente, "plt" significa que los coeficientes de${\displaystyle \Delta }$son como máximo 1, y no hay dos componentes con coeficiente 1 que se encuentren. De manera más general, un par${\displaystyle (X,\Delta )}$es plt si y solo si es dlt y no hay dos componentes de${\displaystyle \Delta }$con coeficiente 1 encuentro. ^{[ 24 ]}

La condición "dlt" es local en la topología de Zariski , pero no en la topología clásica sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$(o en la topología étale , sobre un cuerpo general). Por ejemplo, sea C la curva cúbica nodal.${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$en el plano afín${\displaystyle A^{2}}$encima${\displaystyle \mathbb {C} }$Entonces la pareja${\displaystyle (A^{2},C)}$es log canónico pero no dlt, aunque el punto singular de C es localmente analíticamente isomorfo a los dos ejes de coordenadas en${\displaystyle A^{2}}$. El punto es que C tiene cruces normales pero no cruces normales simples . ^{[ 25 ]} El uso de "cruces normales simples" en la definición hace que los pares dlt sean más fáciles de manejar, sin dejar de ser lo suficientemente amplio como para incluir modelos mínimos de pares de cruces normales simples.

Para un par${\displaystyle (X,\Delta )}$Se tienen las siguientes implicaciones:

${\displaystyle {\text{terminal}}\implies {\text{canonical}}\implies {\text{plt}}\implies {\text{dlt}}\implies {\text{lc}}.}$

Además, "terminal" implica "klt", que implica "plt". Un par canónico no tiene por qué ser klt, como lo demuestra el par.${\displaystyle (X,D)}$donde X es una variedad suave y D es una subvariedad suave de codimensión 1 con coeficiente 1.

La noción de "plt" se adapta bien a los argumentos por inducción sobre la dimensión. Por ejemplo, sea S una subvariedad definida localmente por una ecuación en una variedad normal X (de modo que S es un divisor de Cartier irreducible en X ). Entonces la fórmula de adjunción dice que${\displaystyle K_{S}=(K_{X}+S)|_{S}}$. Como resultado, se puede esperar pasar de información sobre la variedad de menor dimensión S a información sobre el par${\displaystyle (X,S)}$. Por lo tanto, resulta natural estudiar pares con coeficiente 1, incluso si el objetivo es demostrar cosas sobre variedades. Una herramienta útil en tales argumentos es el teorema de inversión de la adjunción . Una versión simple dice: si S es Cartier en X y${\displaystyle K_{X}}$es${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Cartier, luego la pareja${\displaystyle (X,S)}$es plt en algún entorno abierto de S si y solo si S es klt. ^{[ 26 ]}

Una consecuencia importante de la condición dlt (y por lo tanto de todas las condiciones más fuertes) es: para un par dlt${\displaystyle (X,\Delta )}$sobre un campo de característica cero con${\displaystyle \Delta }$efectivo, X tiene singularidades racionales. ^{[ 15 ]} Esto falla en general para pares logarítmicos canónicos (e incluso variedades logarítmicas canónicas), como se mencionó anteriormente.

Se dice que una variedad X es de tipo klt si cada punto tiene un vecindario abierto de Zariski U que contiene un efectivo${\displaystyle \mathbb {Q} }$-divisor${\displaystyle \Delta }$de tal manera que el par${\displaystyle (U,\Delta )}$es klt. ^{[ 27 ]} (Una razón para hacer esta definición es que puede que no haya una elección natural de${\displaystyle \Delta }$.) Por ejemplo, toda variedad tórica es de tipo klt. Por otro ejemplo, el cono afín Y sobre la incrustación de Segre${\displaystyle X={\mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {P} }^{2}\subset \mathbf {P} ^{5}}$, también conocida como la variedad determinante de${\displaystyle 2\times 3}$Las matrices con rango como máximo 1 son de tipo klt pero no klt. ^{[ 13 ]} (De hecho,${\displaystyle K_{Y}}$no lo es${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Cartier, porque${\displaystyle -K_{X}=O(2,3)}$no es un múltiplo racional de${\displaystyle O_{{\mathbf {P} }^{5}}(1)|_{X}=O(1,1)}$en el grupo Picard${\displaystyle {\text{Pic}}({\mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {P} }^{2})\cong {\mathbb {Z} }^{2}}$.) Según el párrafo anterior, el tipo klt implica singularidades racionales en característica cero.

• Ideal multiplicador

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