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Grupo de clases de mapeo

En matemáticas , dentro del subcampo de la topología geométrica , el grupo de clases de mapeo es un invariante algebraico importante de un espacio topológico . En resumen, el gr...

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En matemáticas , dentro del subcampo de la topología geométrica , el grupo de clases de mapeo es un invariante algebraico importante de un espacio topológico . En resumen, el grupo de clases de mapeo es un grupo discreto que corresponde a las simetrías del espacio.

Motivación

Consideremos un espacio topológico, es decir, un espacio con alguna noción de cercanía entre sus puntos. Podemos considerar el conjunto de homeomorfismos del espacio en sí mismo, es decir, aplicaciones continuas con inversas continuas : funciones que estiran y deforman el espacio de forma continua sin romperlo ni pegarlo. Este conjunto de homeomorfismos puede considerarse como un espacio en sí mismo. Forma un grupo bajo la composición funcional. También podemos definir una topología en este nuevo espacio de homeomorfismos. Los conjuntos abiertos de este nuevo espacio de funciones estarán formados por conjuntos de funciones que transforman subconjuntos compactos K en subconjuntos abiertos U a medida que K y U recorren nuestro espacio topológico original, complementados con sus intersecciones finitas (que deben ser abiertas por definición de topología) y uniones arbitrarias (que también deben ser abiertas). Esto proporciona una noción de continuidad en el espacio de funciones, de modo que podemos considerar la deformación continua de los propios homeomorfismos, denominada homotopías . Definimos el grupo de clases de mapeo tomando clases de homotopía de homeomorfismos e induciendo la estructura de grupo a partir de la estructura de grupo de composición funcional ya presente en el espacio de homeomorfismos.

Definición

El término grupo de clases de mapeo tiene un uso flexible. Con mayor frecuencia se utiliza en el contexto de una variedad M. El grupo de clases de mapeo de M se interpreta como el grupo de clases de isotopía de automorfismos de M. Así, si M es una variedad topológica , el grupo de clases de mapeo es el grupo de clases de isotopía de homeomorfismos de M. Si M es una variedad diferenciable , el grupo de clases de mapeo es el grupo de clases de isotopía de difeomorfismos de M. Siempre que el grupo de automorfismos de un objeto X tenga una topología natural , el grupo de clases de mapeo de X se define comoAutomático⁡(incógnita)/Automático0⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {Aut} (X)/\operatorname {Aut} _{0}(X)}, dóndeAutomático0⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {Aut} _{0}(X)}es el componente de ruta de la identidad enAutomático⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}. (Nótese que en la topología compacta-abierta, los componentes de camino y las clases de isotopía coinciden, es decir, dos mapas f y g están en el mismo componente de camino si y solo si son isotópicos ). Para espacios topológicos, esta suele ser la topología compacta-abierta . En la literatura de topología de baja dimensión , el grupo de clases de mapeo de X se suele denotar MCG( X ), aunque también se denota frecuentementeπ0(Automático⁡(incógnita)){\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Aut} (X))}donde se sustituye Aut por el grupo apropiado para la categoría a la que pertenece X. Aquíπ0{\displaystyle \pi _{0}}denota el grupo homotópico 0 de un espacio.

En general, existe una secuencia corta y exacta de grupos:

1→Automático0⁡(incógnita)→Automático⁡(incógnita)→MCG⁡(incógnita)→1.{\displaystyle 1\rightarrow \operatorname {Aut} _{0}(X)\rightarrow \operatorname {Aut} (X)\rightarrow \operatorname {MCG} (X)\rightarrow 1.}

Con frecuencia esta secuencia no se divide . [ 1 ]

Si se trabaja en la categoría de homotopía , el grupo de clases de mapeo de X es el grupo de clases de homotopía de equivalencias de homotopía de X.

Hay muchos subgrupos de grupos de clases de mapeo que se estudian con frecuencia. Si M es una variedad orientada,Automático⁡(METRO){\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}serían los automorfismos que preservan la orientación de M y, por lo tanto, el grupo de clases de mapeo de M (como una variedad orientada) sería el índice dos en el grupo de clases de mapeo de M (como una variedad no orientada) siempre que M admita un automorfismo que invierta la orientación. De manera similar, el subgrupo que actúa como identidad en todos los grupos de homología de M se llama el grupo de Torelli de M.

Ejemplos

Esfera

En cualquier categoría (suave, PL, topológica, homotópica) [ 2 ]

MCG⁡(S2)≃Z/2Z,{\displaystyle \operatorname {MCG} (S^{2})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z},}

correspondientes a mapas de grado  ±1.

Toro

En la categoría de homotopía

MCG⁡(Tnorte)≃GL⁡(norte,Z).{\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\simeq \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} ).}

Esto se debe al toro n-dimensionalTnorte=(S1)norte{\displaystyle \mathbf {T} ^{n}=(S^{1})^{n}}es un espacio de Eilenberg-MacLane .

Para otras categorías sinorte≥5{\displaystyle n\geq 5}, [ 3 ] se tienen las siguientes secuencias exactas divididas:

En la categoría de espacios topológicos

0→Z2∞→MCG⁡(Tnorte)→GL⁡(norte,Z)→0{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}

En la categoría PL

0→Z2∞⊕(norte2)Z2→MCG⁡(Tnorte)→GL⁡(norte,Z)→0{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}

(⊕ que representa la suma directa ). En la categoría suave

0→Z2∞⊕(norte2)Z2⊕∑i=0norte(nortei)Γi+1→MCG⁡(Tnorte)→GL⁡(norte,Z)→0{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\oplus \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\Gamma _{i+1}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}

dóndeΓi{\displaystyle \Gamma _{i}}son los grupos abelianos finitos de Kervaire-Milnor de esferas de homotopía yZ2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}es el grupo de orden 2.

Superficies

Los grupos de clases de mapeo de superficies han sido ampliamente estudiados y a veces se denominan grupos modulares de Teichmüller (nótese el caso especial deMCG⁡(T2){\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{2})}arriba), ya que actúan sobre el espacio de Teichmüller y el cociente es el espacio de módulos de superficies de Riemann homeomorfas a la superficie. Estos grupos exhiben características similares tanto a los grupos hiperbólicos como a los grupos lineales de rango superior . Tienen muchas aplicaciones en la teoría de Thurston de las tres-variedades geométricas (por ejemplo, a los haces de superficies ). Los elementos de este grupo también se han estudiado por sí mismos: un resultado importante es el teorema de clasificación de Nielsen-Thurston , y una familia generadora para el grupo está dada por las torsiones de Dehn que son en cierto sentido las clases de mapeo "más simples". Todo grupo finito es un subgrupo del grupo de clases de mapeo de una superficie cerrada y orientable; [ 4 ] de hecho, se puede realizar cualquier grupo finito como el grupo de isometrías de alguna superficie de Riemann compacta (lo que implica inmediatamente que se inyecta en el grupo de clases de mapeo de la superficie topológica subyacente).

Superficies no orientables

Algunas superficies no orientables tienen grupos de clases de mapeo con presentaciones simples. Por ejemplo, todo homeomorfismo del plano proyectivo real.PAG2(R){\displaystyle \mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} )}es isotópico a la identidad:

MCG⁡(PAG2(R))=1.{\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} ))=1.}

El grupo de clases de mapeo de la botella de Klein K es:

MCG⁡(K)=Z2⊕Z2.{\displaystyle \operatorname {MCG} (K)=\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}.}

Los cuatro elementos son la identidad, una torsión de Dehn sobre una curva de dos lados que no delimita una cinta de Möbius , el homeomorfismo y de Lickorish y el producto de la torsión y el homeomorfismo y. Es un buen ejercicio demostrar que el cuadrado de la torsión de Dehn es isotópico a la identidad.

También observamos que la superficie cerrada no orientable de género tres N 3 (la suma conexa de tres planos proyectivos) tiene:

MCG⁡(norte3)=GL⁡(2,Z).{\displaystyle \operatorname {MCG} (N_{3})=\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} ).}

Esto se debe a que la superficie N tiene una clase única de curvas unilaterales tales que, cuando N se corta a lo largo de una de esas curvas C , la superficie resultantenorte∖do{\displaystyle N\setminus C}es un toroide con un disco eliminado . Como superficie no orientada, su grupo de clases de mapeo esGL⁡(2,Z){\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )}. (Lema 2.1 [ 5 ] ).

3 colectores

Los grupos de clases de mapeo de variedades tridimensionales también han sido objeto de un estudio considerable y están estrechamente relacionados con los grupos de clases de mapeo de variedades bidimensionales. Por ejemplo, cualquier grupo finito puede realizarse como el grupo de clases de mapeo (y también el grupo de isometrías) de una variedad tridimensional hiperbólica compacta. [ 6 ]

Agrupación de clases de pares

Dado un par de espacios (X,A), el grupo de clases de mapeo del par son las clases de isotopía de los automorfismos del par, donde un automorfismo de (X,A) se define como un automorfismo de X que preserva A , es decir, f : X → X es invertible y f (A) = A.

Si K ⊂ S 3 es un nudo o un enlace , el grupo de simetría del nudo (respectivamente, enlace) se define como el grupo de clases de mapeo del par ( S 3 , K ). Se sabe que el grupo de simetría de un nudo hiperbólico es diedral o cíclico ; además, todo grupo diedral y cíclico puede realizarse como grupos de simetría de nudos. Se sabe que el grupo de simetría de un nudo toroidal es de orden dos Z 2 .

Grupo Torelli

Nótese que existe una acción inducida del grupo de clases de mapeo sobre la homología (y cohomología ) del espacio X. Esto se debe a que la (co)homología es funtorial y Homeo 0 actúa trivialmente (porque todos los elementos son isotópicos, por lo tanto homotópicos a la identidad, que actúa trivialmente, y la acción sobre la (co)homología es invariante bajo homotopía). El núcleo de esta acción es el grupo de Torelli , llamado así por el teorema de Torelli .

En el caso de superficies orientables, esta es la acción sobre la primera cohomología H 1 (Σ) ≅ Z 2 g . Los mapas que preservan la orientación son precisamente aquellos que actúan trivialmente sobre la cohomología superior H 2 (Σ) ≅ Z . H 1 (Σ) tiene una estructura simpléctica , proveniente del producto de copas ; dado que estos mapas son automorfismos, y los mapas preservan el producto de copas, el grupo de clases de mapeo actúa como automorfismos simplécticos, y de hecho todos los automorfismos simplécticos se realizan, produciendo la secuencia exacta corta :

1→Colina⁡(Σ)→MCG⁡(Σ)→Sp⁡(H1(Σ))≅Sp2gramo⁡(Z)→1{\displaystyle 1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} (\Sigma )\to \operatorname {Sp} (H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbf {Z} )\to 1}

Esto se puede extender a

1→Colina⁡(Σ)→MCG∗⁡(Σ)→Sp±⁡(H1(Σ))≅Sp2gramo±⁡(Z)→1{\displaystyle 1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} ^{*}(\Sigma )\to \operatorname {Sp} ^{\pm }(H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}^{\pm }(\mathbf {Z} )\to 1}

El grupo simpléctico se comprende bien. Por lo tanto, comprender la estructura algebraica del grupo de clases de mapeo a menudo se reduce a preguntas sobre el grupo de Torelli.

Nótese que para el toro (género 1) la aplicación al grupo simpléctico es un isomorfismo y el grupo de Torelli se anula.

Grupo de clases de mapeo estable

Se puede incrustar la superficieΣgramo,1{\displaystyle \Sigma _{g,1}}del género g y 1 componente límite enΣgramo+1,1{\displaystyle \Sigma _{g+1,1}}mediante la adición de un orificio adicional en el extremo (es decir, pegando juntos)Σgramo,1{\displaystyle \Sigma _{g,1}}yΣ1,2{\displaystyle \Sigma _{1,2}}), y así los automorfismos de la superficie pequeña que fija el límite se extienden a la superficie mayor. Tomando el límite directo de estos grupos e inclusiones se obtiene el grupo de clases de mapeo estable, cuyo anillo de cohomología racional fue conjeturado por David Mumford (una de las conjeturas llamadas conjeturas de Mumford ). En 2007, Ib Madsen y Michael Weiss publicaron una demostración de la conjetura de Mumford, basada en un cálculo del anillo de cohomología integral (no solo racional). [ 7 ] Sin embargo, se han planteado dudas sobre una afirmación no demostrada en su artículo acerca de la existencia de triangulaciones extendidas de variedades diferenciables. [ 8 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Morita, Shigeyuki (1987). "Clases características de haces de superficies" . Inventiones Mathematicae . 90 (3): 551– 577. Bibcode : 1987InMat..90..551M . doi : 10.1007/bf01389178 . MR 0914849 . 
  2. ↑ Earle, Clifford J. ; Eells, James (1967), "El grupo de difeomorfismos de una superficie de Riemann compacta", Bulletin of the American Mathematical Society , 73 (4): 557– 559, doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11746-4 , MR 0212840 
  3. ↑ Hatcher, AE (1978). "Espacios de concordancia, teoría de homotopía simple superior y aplicaciones" . Topología algebraica y geométrica (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Universidad de Stanford, Stanford, California, 1976), Parte 1. Actas de Simposios de Matemáticas Puras. Vol. 32. págs. 3–21 . doi : 10.1090/pspum/032.1/520490 . ISBN   978-0-8218-9320-3MR 0520490 .​ 
  4. ↑ Greenberg, Leon (1974). «Grupos maximales y signaturas» . Grupos discontinuos y superficies de Riemann: Actas de la conferencia de 1973 en la Universidad de Maryland . Anales de Estudios Matemáticos . Vol. 79. Princeton University Press. págs. 207–226 . ISBN   978-1-4008-8164-2MR 0379835 .​ 
  5. ↑ Scharlemann, Martin (febrero de 1982). "El complejo de curvas en superficies no orientables". Journal of the London Mathematical Society . s2-25 (1): 171– 184. CiteSeerX 10.1.1.591.2588 . doi : 10.1112/jlms/s2-25.1.171 . 
  6. ↑ Kojima, S. (agosto de 1988). "Transformaciones isométricas de variedades hiperbólicas tridimensionales". Topology and Its Applications . 29 (3): 297– 307. doi : 10.1016/0166-8641(88)90027-2 .
  7. ↑ Madsen, Ib ; Weiss, Michael (2007). "El espacio de módulos estables de superficies de Riemann: la conjetura de Mumford". Annals of Mathematics . 165 (3): 843– 941. arXiv : math/0212321 . CiteSeerX 10.1.1.236.2025 . doi : 10.4007/annals.2007.165.843 . JSTOR 20160047. S2CID 119721243 .   
  8. ↑ Pavlov, Dmitri (29 de marzo de 2016). "¿Puede desenfocarse alguna triangulación suave de una variedad suave?" . MathOverflow . Consultado el 6 de noviembre de 2025 .
  • Birman, Joan (1974). Braids, links and mapping class groups . Annals of Mathematics Studies . Vol.  82. Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 978-0691081496MR 0375281 .​ 
  • Casson, Andrew ; Bleiler, Steve (2014) [1988]. Automorfismos de superficies según Nielsen y Thurston . Cambridge University Press. ISBN 978-1-299-70610-1.
  • Ivanov, Nikolai V. (2001). «9. Mapeo de grupos de clases y grupos aritméticos» . Manual de topología geométrica . Elsevier. pp. 618–624 . ISBN  978-0-08-053285-1.
  • Farb, Benson ; Margalit, Dan (2012). Introducción a la representación gráfica de grupos de clases . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14794-9.
  • Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I (PDF) , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol.  11, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, doi : 10.4171/029 , ISBN 978-3-03719-029-6, MR 2284826 
  • Lawton, Sean; Peterson, Elisha (2009), Papadopoulos, Athanase (ed.), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol.  13, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, arXiv : math/0511271 , doi : 10.4171/055 , ISBN 978-3-03719-055-5, MR 2524085 
  • Papadopoulos, Athanase, ed. (2012), Handbook of Teichmüller theory. Vol. III , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol.  17, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, doi : 10.4171/103 , ISBN 978-3-03719-103-3, MR 2961353 
  • Papadopoulos, Athanase, ed. (2014), Handbook of Teichmüller theory. Vol. IV , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol.  19, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, doi : 10.4171/117 , ISBN 978-3-03719-117-0
  • Seminario Madsen-Weiss MCG ; numerosas referencias