Grupo Mathieu M 24

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Mathieu M ₂₄ es un grupo simple esporádico de orden

244.823.040 = 2 ¹⁰· 3 ³· 5 · 7 · 11 · 23

≈ 2 × 10⁸ .

Historia y propiedades

M ₂₄ es uno de los 26 grupos esporádicos y fue introducido por Mathieu ( 1861 , 1873 ) . Es un grupo de permutaciones 5-transitivo sobre 24 objetos. El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos son triviales .

Los grupos de Mathieu pueden construirse de diversas maneras. Inicialmente, Mathieu y otros los construyeron como grupos de permutaciones . Resultaba difícil comprobar que M₂₄ _existía realmente, que sus generadores no solo generaban el grupo alternante A₂₄ _. El asunto se aclaró cuando Ernst Witt construyó M₂₄ _como el grupo de automorfismos (simetría) de un sistema de Steiner S(5,8,24) W₂₄ (el diseño de Witt ). M₂₄ _{es el grupo de permutaciones que asigna}_a cada bloque de este diseño algún otro bloque. Los subgrupos M₂₃ _y M₂₂ _se definen entonces fácilmente como los estabilizadores de un punto y de un par de puntos, respectivamente.

Construcción como un grupo de permutaciones

M ₂₄ es el subgrupo de S ₂₄ que se genera mediante las tres permutaciones: ^{[ 1 ]}

$(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23)$
$(3,17,10,7,9)(4,13,14,19,5)(8,18,11,12,23)(15,20,22,21,16)$ y
$(1,24)(2,23)(3,12)(4,16)(5,18)(6,10)(7,20)(8,14)(9,21)(11,17)(13,22)(15,19)$ .

M ₂₄ también puede generarse mediante dos permutaciones: ^{[ 2 ]}

$(1,16,8,23,13,14,5)(2,7,11,19,20,24,12)(3,4,17,9,22,21,15)$ y
$(1,24)(2,21)(3,10)(4,22)(5,9)(6,23)(7,8)(11,18)(12,20)(13,14)(15,19)(16,17).$

M ₂₄ de PSL(3,4)

M ₂₄ se puede construir a partir de PSL(3,4), el grupo lineal especial proyectivo del espacio tridimensional sobre el cuerpo finito con 4 elementos ( Dixon y Mortimer 1996 , pp. 192–205) . Este grupo, a veces llamado M ₂₁ , actúa sobre el plano proyectivo sobre el cuerpo F ₄ , un sistema S(2,5,21) llamado W _21. Sus 21 bloques se llaman líneas . Cualquier par de líneas se intersecan en un punto.

M ₂₁ tiene 168 subgrupos simples de orden 360 y 360 subgrupos simples de orden 168. En el grupo lineal general proyectivo más grande PGL(3,4), ambos conjuntos de subgrupos forman clases de conjugación únicas, pero en M ₂₁ ambos conjuntos se dividen en 3 clases de conjugación. Los subgrupos tienen respectivamente órbitas de 6, llamadas hiperóvalos , y órbitas de 7, llamadas subplanos de Fano . Estos conjuntos permiten la creación de nuevos bloques para sistemas de Steiner más grandes. M ₂₁ es normal en PGL(3,4), de índice 3. PGL(3,4) tiene un automorfismo externo inducido por la transposición de elementos conjugados en F ₄ (el automorfismo de cuerpo). Por lo tanto, PGL(3,4) puede extenderse al grupo PΓL(3,4) de transformaciones semilineales proyectivas , que es una extensión escindida de M ₂₁ por el grupo simétrico S ₃ . PΓL(3,4) tiene una incrustación como subgrupo maximal de M ₂₄ . ( Griess 1998 , p. 55)

Un hiperóvalo no tiene tres puntos colineales. Un subplano de Fano también satisface las condiciones de unicidad adecuadas.

A W ₂₁ se le añaden 3 puntos nuevos y se deja que los automorfismos en PΓL(3,4) pero no en M ₂₁ permuten estos puntos nuevos. Un sistema S(3,6,22) W ₂₂ se forma añadiendo solo un punto nuevo a cada una de las 21 líneas y los nuevos bloques son 56 hiperóvalos conjugados bajo M ₂₁ .

Un sistema S(5,8,24) tendría 759 bloques u octadas . Añada los 3 puntos nuevos a cada línea de W ₂₁ , un punto nuevo diferente a los subplanos de Fano en cada uno de los conjuntos de 120, y añada pares apropiados de puntos nuevos a todos los hiperóvalos. Eso explica todas las octadas excepto 210. Esas octadas restantes son subconjuntos de W ₂₁ y son diferencias simétricas de pares de líneas. Hay muchas maneras posibles de expandir el grupo PΓL(3,4) a M ₂₄ .

Grupo de automorfismos del código de Golay

El grupo M ₂₄ también es el grupo de automorfismos de permutación del código binario de Golay W , es decir, el grupo de permutaciones de coordenadas que mapean W sobre sí mismo. Las palabras clave se corresponden de forma natural con subconjuntos de un conjunto de 24 objetos. (En teoría de la codificación, el término "código binario de Golay" suele referirse a un código relacionado más corto de longitud 23, y el código de longitud 24 utilizado aquí se denomina "código binario de Golay extendido"). Aquellos subconjuntos correspondientes a palabras clave con 8 o 12 coordenadas iguales a 1 se denominan octadas o dodecadas, respectivamente. Las octadas son los bloques de un sistema de Steiner S(5,8,24) y el código binario de Golay es el espacio vectorial sobre el campo F ₂ generado por las octadas del sistema de Steiner.

Los subgrupos simples M ₂₃ , M ₂₂ , M ₁₂ , y M ₁₁ pueden definirse como subgrupos de M ₂₄ , estabilizadores respectivamente de una sola coordenada, un par ordenado de coordenadas, un dodecádico y un dodecádico junto con una sola coordenada.

Existe una conexión natural entre los grupos de Mathieu y los grupos de Conway , ya que tanto el código binario de Golay como la red de Leech se encuentran en espacios de dimensión 24. Los grupos de Conway, a su vez, se encuentran en el grupo Monstruo . Robert Griess se refiere a los 20 grupos esporádicos que se encuentran en el Monstruo como la Familia Feliz , y a los grupos de Mathieu como la primera generación .

Simetrías poliédricas

M ₂₄ se puede construir a partir de las simetrías de la cuártica de Klein (las simetrías de una teselación de la superficie de género tres), que es PSL(2,7), la cual se puede ampliar con una permutación adicional. Esta permutación se puede describir comenzando con el recubrimiento de la cuártica de Klein con 56 triángulos (con 24 vértices, los 24 puntos sobre los que actúa el grupo), luego formando cuadrados con algunos de los 2 triángulos y octógonos con 6 triángulos, con la permutación adicional de "intercambiar los dos extremos de aquellos bordes del recubrimiento triangular original que bisecan los cuadrados y octógonos". ^{[ 2 ]} Esto se puede visualizar coloreando los triángulos: el teselado correspondiente es topológicamente, pero no geométricamente, el teselado t _0,1 {4, 3, 3} , y puede sumergirse (poliédricamente) en el espacio euclidiano tridimensional como el pequeño cubeboctaedro (que también tiene 24 vértices). ^{[ 2 ]}

Aplicaciones

La teoría del brillo lunar umbral es una relación parcialmente conjetural entre las superficies K3 y M ₂₄ .

El grupo de Conway Co1 , el grupo de Fischer Fi24 y el grupo de Janko J4 tienen subgrupos máximos que son una extensión del grupo de Mathieu M ₂₄ mediante un grupo 2 ^11. (Estas extensiones no son todas iguales).

Representaciones

Frobenius (1904) calculó la tabla de caracteres complejos de M ₂₄ .

El grupo de Mathieu M ₂₄ tiene una representación de permutación transitiva quíntuple sobre 24 puntos. La representación lineal correspondiente sobre los números complejos es la suma de la representación trivial y una representación irreducible de 23 dimensiones.

M ₂₄ tiene dos representaciones de permutación de rango 3 : una en los 276 = 1+44+231 pares de puntos (o díadas) con estabilizador M ₂₂ .2, y otra en las 1288 = 1+495+792 díadas, con estabilizador M ₁₂ .2.

El cociente de la representación lineal de 24 dimensiones de la representación de permutación por su subespacio fijo de 1 dimensión da una representación de 23 dimensiones, que es irreducible sobre cualquier campo de característica distinta de 2 o 3, y da la representación fiel más pequeña sobre dichos campos.

Al reducir la representación de 24 dimensiones módulo 2 se obtiene una acción sobre F ²⁴₂ . Esta tiene subespacios invariantes de dimensión 1, 12 (el código de Golay) y 23. Los subcocientes dan dos representaciones irreducibles de dimensión 11 sobre el cuerpo con 2 elementos.

subgrupos máximos

Choi (1972b) halló las 9 clases de conjugación de subgrupos máximos de M 24. _Curtis (1977) ofreció una breve demostración del resultado, describiendo las 9 clases en términos de datos combinatorios sobre los 24 puntos: los subgrupos fijan un punto, duada, octada, duum, sexteto, tríada, trío, línea proyectiva u octeno, como se describe a continuación. Todd (1966) proporcionó las tablas de caracteres de M ₂₄ (calculadas originalmente por Frobenius (1904) ) y los 8 subgrupos máximos conocidos en ese momento.

M ₂₄ contiene subgrupos simples no abelianos de 13 tipos de isomorfismo: cinco clases de A ₅ , cuatro clases de PSL(3,2), dos clases de A ₆ , dos clases de PSL(2,11), una clase de cada uno de A ₇ , PSL(2,23), M ₁₁ , PSL(3,4), A ₈ , M ₁₂ , M ₂₂ , M ₂₃ , y M ₂₄ . A ₆ también se menciona más adelante como un subcociente en el subgrupo sexteto.

El grupo de Mathieu actúa sobre los 2048 = 1+759+1288 puntos del código de Golay módulo el espacio fijo con 3 órbitas, y sobre los 4096 = 1+24+276+2024+1771 puntos del cocodo con 5 órbitas, y los subgrupos que fijan un punto no trivial del código o cocodo dan 6 de las 9 clases de subgrupos maximales.

Las 9 clases de subgrupos maximales son las siguientes:

Subgrupo de puntos

El subgrupo que fija un punto es M ₂₃ , orden 10200960.

subgrupo Duad

Una díada es un par de puntos. El subgrupo que fija una díada es M ₂₂ :2, de orden 887040, con órbitas de 2 y 22.

subgrupo de octadas

El subgrupo que fija una de las 759 (= 3·11·23) octadas del código de Golay o sistema de Steiner es el grupo de octadas 2 ⁴ :A ₈ , de orden 322560, con órbitas de tamaño 8 y 16. El grupo lineal GL(4,2) tiene un isomorfismo excepcional con el grupo alternante A ₈ . El estabilizador puntual O de una octada es un grupo abeliano de orden 16, exponente 2, cuyas involuciones mueven los 16 puntos fuera de la octada. El estabilizador de la octada es una extensión escindida de O por A ₈ . ( Thompson 1983 , pp. 197–208)

subgrupo Duum

Un duum es un par de dodecadas complementarias (conjuntos de 12 puntos) en el código de Golay. El subgrupo que fija una duada es M ₁₂ :2, de orden 190080, transitivo e imprimitivo. Este subgrupo fue descubierto por Frobenius. El subgrupo M ₁₂ actúa de manera diferente sobre 2 conjuntos de 12, lo que refleja el automorfismo externo de M ₁₂ .

Subgrupo de sexteto

2 ⁶ :(3.S ₆ ), orden 138240: grupo sexteto

Consideremos una tétrada , cualquier conjunto de 4 puntos en el sistema de Steiner W ₂₄ . Una octada se determina eligiendo un quinto punto de los 20 restantes. Hay 5 octadas posibles. Por lo tanto, cualquier tétrada determina una partición en 6 tétradas, llamada sexteto , cuyo estabilizador en M ₂₄ se llama grupo sexteto .

El número total de tétradas es 24*23*22*21/4! = 23*22*21. Dividiendo esto entre 6 se obtiene el número de sextetos, 23*11*7 = 1771. Además, un grupo de sextetos es un subgrupo de un producto de corona de orden 6!*(4!) ⁶ , cuyos únicos divisores primos son 2, 3 y 5. Ahora conocemos los divisores primos de |M ₂₄ |. Un análisis posterior determinaría el orden del grupo de sextetos y, por lo tanto, |M ₂₄ |.

Es conveniente organizar los 24 puntos en una matriz de 6x4:

AEIMQU

BFJNRV

CGKOSW

DHLPTX

Además, es conveniente utilizar los elementos del campo F ₄ para numerar las filas: 0, 1, u, u ² .

El grupo sexteto tiene un subgrupo abeliano normal H de orden 64, isomorfo al hexacódigo , un espacio vectorial de longitud 6 y dimensión 3 sobre F⁴ _. Un elemento no nulo en H realiza transposiciones dobles dentro de 4 o 6 de las columnas. Su acción puede entenderse como la suma de coordenadas vectoriales a números de fila.

El grupo sexteto es una extensión escindida de H por un grupo 3.S ₆ (una extensión de tallo ). Aquí hay un ejemplo dentro de los grupos de Mathieu donde un grupo simple (A ₆ ) es un subcociente , no un subgrupo. 3.S ₆ es el normalizador en M ₂₄ del subgrupo generado por r =(BCD)(FGH)(JKL)(NOP)(RST)(VWX), que puede pensarse como una multiplicación de los números de fila por u ² . El subgrupo 3.A ₆ es el centralizador de ⟨ r ⟩ . Los generadores de 3.A ₆ son:

(AEI)(BFJ)(CGK)(DHL)(RTS)(VWX) (rotación de las 3 primeras columnas)

(AQ)(BS)(CT)(DR)(EU)(FX)(GV)(HW)

(AUEIQ)(BXGKT)(CVHLR)(DWFJS) (producto de los dos anteriores)

(FGH)(JLK)(MQU)(NRV)(OSW)(PTX) (rotación de las últimas 3 columnas).

Una permutación extraña de columnas, digamos (CD)(GH)(KL)(OP)(QU)(RV)(SX)(TW), genera entonces 3.S ₆ .

El grupo 3.A ₆ es isomorfo a un subgrupo de SL(3,4) cuya imagen en PSL(3,4) se ha señalado anteriormente como el grupo hiperoval.

El miniaplicativo Moggie tiene una función que muestra sextetos en color.

subgrupo de la tríada

A triad is a set of 3 points. The subgroup fixing a triad is PSL(3,4):S₃, order 120960, with orbits of size 3 and 21.

Trio subgroup

A trio is a set of 3 disjoint octads of the Golay code. The subgroup fixing a trio is the trio group 2⁶:(PSL(2,7) x S₃), order 64512, transitive and imprimitive.

Projective line subgroup

The subgroup fixing a projective line structure on the 24 points is PSL(2,23), order 6072, whose action is doubly transitive. This subgroup was observed by Mathieu.

Octern subgroup

An octern is a certain partition of the 24 points into 8 blocks of 3. The subgroup fixing an octern is the octern group isomorphic to PSL(2,7), of order 168, simple, transitive and imprimitive. It was the last maximal subgroup of M₂₄ to be found.

The table below lists all the maximal subgroups.

Conjugacy classes

Existen 26 clases de conjugación. Las formas de los ciclos están todas equilibradas en el sentido de que permanecen invariantes al cambiar la longitud de los ciclos de k a N / k para algún entero N que depende de la clase de conjugación.

Referencias

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Enlaces externos

MathWorld: Grupos de Mathieu
Atlas of Finite Group Representations: M₂₄
Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M₂₄, archived from the original on 2010-01-16, retrieved 2010-04-15

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