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Articulo de referencia

Proceso de Ornstein-Uhlenbeck

Cinco simulaciones con θ = 1, σ = 1 y μ = 0. Una simulación 3D con θ = 1, σ = 3, μ = (0, 0, 0) y la posición inicial (10, 10, 10). En matemáticas, el proceso de Ornstein-Uhlenbe...

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Cinco simulaciones con θ = 1, σ = 1 y μ = 0.
Una simulación 3D con θ = 1, σ = 3, μ = (0, 0, 0) y la posición inicial (10, 10, 10).

En matemáticas, el proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso estocástico con aplicaciones en matemáticas financieras, ciencias físicas y biología evolutiva . Su aplicación original en física fue como modelo para la velocidad de una partícula browniana masiva bajo la influencia de la fricción . Recibe su nombre de Leonard Ornstein y George Eugene Uhlenbeck .

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso estacionario de Gauss-Markov , lo que significa que es un proceso gaussiano , un proceso de Markov y es temporalmente homogéneo. De hecho, es el único proceso no trivial que satisface estas tres condiciones, salvo que se permitan transformaciones lineales de las variables de espacio y tiempo. [ 1 ] Con el tiempo, el proceso tiende a converger hacia su función media: dicho proceso se denomina de reversión a la media .

El proceso puede considerarse una modificación del paseo aleatorio en tiempo continuo , o proceso de Wiener , en el que se han cambiado las propiedades del proceso de manera que existe una tendencia del paseo a regresar a una ubicación central, con una mayor atracción cuanto más lejos se encuentra del centro. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck también puede considerarse como el análogo en tiempo continuo del proceso AR(1) en tiempo discreto .

Definición

Fórmula simplificada del proceso Ornstein-Uhlenbeck, extraída del mural que se muestra a continuación.
Colectivo artístico neerlandés De Strakke Hand: mural de Leonard Ornstein, que muestra a Ornstein como cofundador de la Sociedad Física Neerlandesa ( Netherlands Physical Society ) en su escritorio en 1921, e ilustra el doble de la caminata aleatoria de un borracho con una fórmula simplificada para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck. Oosterkade, Utrecht, Países Bajos, cerca del laboratorio de Ornstein. Texto traducido: El profesor Ornstein investiga el movimiento aleatorio, 1930.

El proceso Ornstein-Uhlenbeckincógnitat{\displaystyle x_{t}}se define mediante la siguiente ecuación diferencial estocástica :

dincógnitat=−θincógnitatdt+σdWt{\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}

dóndeθ>0{\displaystyle \theta >0}yσ>0{\displaystyle \sigma >0}son parámetros yWt{\displaystyle W_{t}}denota el proceso de Wiener . [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

En ocasiones se añade un término adicional:

dincógnitat=−θ(incógnitat−μ)dt+σdWt{\displaystyle dx_{t}=-\theta (x_{t}-\mu )\,dt+\sigma \,dW_{t}}

dóndeμ{\displaystyle \mu }es una constante llamada media (a largo plazo). El proceso de Ornstein-Uhlenbeck a veces también se escribe como una ecuación de Langevin de la forma

dincógnitatdt=−θincógnitat+ση(t){\displaystyle {\frac {dx_{t}}{dt}}=-\theta \,x_{t}+\sigma \,\eta (t)}

dóndeη(t){\displaystyle \eta (t)}, también conocido como ruido blanco , representa al supuesto derivadodWt/dt{\displaystyle dW_{t}/dt}del proceso de Wiener. [ 5 ] Sin embargo,dWt/dt{\displaystyle dW_{t}/dt}no existe porque el proceso de Wiener no es diferenciable en ningún punto, [ 6 ] y por lo tanto la ecuación de Langevin solo tiene sentido si se interpreta en términos de distribución. En física e ingeniería, es una representación común para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck y ecuaciones diferenciales estocásticas similares, asumiendo tácitamente que el término de ruido es una derivada de una interpolación diferenciable (por ejemplo, de Fourier) del proceso de Wiener.

Representación de la ecuación de Fokker-Planck

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck también puede describirse en términos de una función de densidad de probabilidad,PAG(incógnita,t){\displaystyle P(x,t)}, que especifica la probabilidad de encontrar el proceso en el estadoincógnita{\displaystyle x}en ese momentot{\displaystyle t}[ 5 ] Esta función satisface la ecuación de Fokker-Planck .

∂PAG∂t=θ∂∂incógnita((incógnita−μ)PAG)+D∂2PAG∂incógnita2{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}((x-\mu )P)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}}

dóndeD=σ2/2{\displaystyle D=\sigma ^{2}/2}. Esta es una ecuación diferencial parcial parabólica lineal que puede resolverse mediante diversas técnicas. La probabilidad de transición, también conocida como la función de Green ,PAG(incógnita,t∣incógnita0,t0){\displaystyle P(x,t\mid x_{0},t_{0})}es una gaussiana con mediaincógnita0mi−θ(t−t0)+μ(1−mi−θ(t−t0)){\displaystyle x_{0}e^{-\theta (t-t_{0})}+\mu (1-e^{-\theta (t-t_{0})})}y varianzaDθ(1−mi−2θ(t−t0)){\displaystyle {\frac {D}{\theta }}\left(1-e^{-2\theta (t-t_{0})}\right)}:

PAG(incógnita,t∣incógnita0,t0)=θ2πD(1−mi−2θ(t−t0))exp⁡[−θ2D(incógnita−incógnita0mi−θ(t−t0)−μ(1−mi−θ(t−t0)))21−mi−2θ(t−t0)]{\displaystyle P(x,t\mid x_{0},t_{0})={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t_{0})})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(x-x_{0}e^{-\theta (t-t_{0})}-\mu (1-e^{-\theta (t-t_{0})}))^{2}}{1-e^{-2\theta (t-t_{0})}}}\right]}

Esto da la probabilidad del estadoincógnita{\displaystyle x}ocurriendo en el momentot{\displaystyle t}dado el estado inicialincógnita0{\displaystyle x_{0}}en ese momentot0<t{\displaystyle t_{0}<t}. De forma equivalente,PAG(incógnita,t∣incógnita0,t0){\displaystyle P(x,t\mid x_{0},t_{0})}es la solución de la ecuación de Fokker-Planck con condición inicialPAG(incógnita,t0)=δ(incógnita−incógnita0){\displaystyle P(x,t_{0})=\delta (x-x_{0})}.

Propiedades matemáticas

Condicionado a un valor particular deincógnita0{\displaystyle x_{0}}, la media es

mi⁡(incógnitat∣incógnita0)=incógnita0mi−θt+μ(1−mi−θt){\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (x_{t}\mid x_{0})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})}

y la covarianza es

cobertura⁡(incógnitas,incógnitat)=σ22θ(mi−θ|t−s|−mi−θ(t+s)).{\displaystyle \operatorname {cov} (x_{s},x_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).}

Para el proceso estacionario (no condicionado), la media deincógnitat{\displaystyle x_{t}}esμ{\displaystyle \mu }y la covarianza deincógnitas{\displaystyle x_{s}}yincógnitat{\displaystyle x_{t}}esσ22θmi−θ|t−s|{\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}e^{-\theta |t-s|}}.

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un ejemplo de proceso gaussiano con varianza limitada y distribución de probabilidad estacionaria , a diferencia del proceso de Wiener . La diferencia entre ambos radica en su término de "deriva". En el proceso de Wiener, este término es constante, mientras que en el de Ornstein-Uhlenbeck depende del valor actual del proceso: si el valor actual es menor que la media (a largo plazo), la deriva será positiva; si es mayor, será negativa. En otras palabras, la media actúa como un nivel de equilibrio para el proceso. De ahí su nombre descriptivo: "reversión a la media".

Propiedades de las trayectorias de muestra

Un proceso de Ornstein-Uhlenbeck temporalmente homogéneo que comienza enincógnita0=0{\displaystyle x_{0}=0}puede representarse como un proceso de Wiener escalado y transformado en el tiempo :

incógnitat=σ2θmi−θtWmi2θt−1{\displaystyle x_{t}={\frac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}-1}}

dóndeWt{\displaystyle W_{t}}es el proceso estándar de Wiener. Esto es aproximadamente el Teorema 1.2 en Doob 1942. De forma equivalente, con el cambio de variables=mi2θt{\displaystyle s=e^{2\theta t}}esto se convierte en

Ws=2θσs1/2incógnita(ln⁡s)/(2θ),s>0{\displaystyle W_{s}={\frac {\sqrt {2\theta }}{\sigma }}s^{1/2}x_{(\ln s)/(2\theta )},\qquad s>0}

Utilizando este mapeo, se pueden traducir propiedades conocidas deWt{\displaystyle W_{t}}en declaraciones correspondientes paraincógnitat{\displaystyle x_{t}}Por ejemplo, la ley del logaritmo iterado paraWt{\displaystyle W_{t}}se convierte en [ 1 ]

límite superiort→∞incógnitat(σ2/θ)ln⁡t=1,con probabilidad 1.{\displaystyle \limsup _{t\to \infty }{\frac {x_{t}}{\sqrt {(\sigma ^{2}/\theta )\ln t}}}=1,\quad {\text{with probability 1.}}}

Solución formal

La ecuación diferencial estocástica paraincógnitat{\displaystyle x_{t}}puede resolverse formalmente mediante la variación de parámetros . [ 7 ] Escritura

F(incógnitat,t)=incógnitatmiθt{\displaystyle f(x_{t},t)=x_{t}e^{\theta t}\,}

obtenemos

dF(incógnitat,t)=θincógnitatmiθtdt+miθtdincógnitat=miθtθμdt+σmiθtdWt.{\displaystyle {\begin{aligned}df(x_{t},t)&=\theta \,x_{t}\,e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dx_{t}\\[6pt]&=e^{\theta t}\theta \,\mu \,dt+\sigma \,e^{\theta t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}

Integrando desde0{\displaystyle 0}at{\displaystyle t}obtenemos

incógnitatmiθt=incógnita0+∫0tmiθsθμds+∫0tσmiθsdWs{\displaystyle x_{t}e^{\theta t}=x_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \,\mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma \,e^{\theta s}\,dW_{s}\,}

entonces vemos

incógnitat=incógnita0mi−θt+μ(1−mi−θt)+σ∫0tmi−θ(t−s)dWs.{\displaystyle x_{t}=x_{0}\,e^{-\theta t}+\mu \,(1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\,dW_{s}.\,}

A partir de esta representación, se demuestra que el primer momento (es decir, la media) es

mi⁡(incógnitat)=incógnita0mi−θt+μ(1−mi−θt) {\displaystyle \operatorname {E} (x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\!\ }

arroganteincógnita0{\displaystyle x_{0}}es constante. Además, la isometría de Itō se puede utilizar para calcular la función de covarianza mediante

cobertura⁡(incógnitas,incógnitat)=mi⁡[(incógnitas−mi⁡[incógnitas])(incógnitat−mi⁡[incógnitat])]=mi⁡[∫0sσmiθ(tú−s)dWtú∫0tσmiθ(v−t)dWv]=σ2mi−θ(s+t)mi⁡[∫0smiθtúdWtú∫0tmiθvdWv]=σ22θmi−θ(s+t)(mi2θmin(s,t)−1)=σ22θ(mi−θ|t−s|−mi−θ(t+s)).{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})&=\operatorname {E} [(x_{s}-\operatorname {E} [x_{s}])(x_{t}-\operatorname {E} [x_{t}])]\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)}-1)\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).\end{aligned}}}

ecuaciones de Kolmogorov

El generador infinitesimal del proceso es [ 8 ]LF=−θ(incógnita−μ)F′+12σ2F″{\displaystyle Lf=-\theta (x-\mu )f'+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}f''}Si dejamosy=(incógnita−μ)2θσ2{\displaystyle y=(x-\mu ){\sqrt {\frac {2\theta }{\sigma ^{2}}}}}, entonces la ecuación de valores propios se simplifica a: d2dy2ϕ−yddyϕ−λθϕ=0{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\phi -y{\frac {d}{dy}}\phi -{\frac {\lambda }{\theta }}\phi =0}que es la ecuación definitoria de los polinomios de Hermite . Sus soluciones sonϕ(y)=Hminorte(y){\displaystyle \phi (y)=He_{n}(y)}, conλ=−norteθ{\displaystyle \lambda =-n\theta }, lo que implica que el tiempo medio de primer paso para que una partícula alcance un punto en el límite es del orden deθ−1{\displaystyle \theta ^{-1}}.

Simulación numérica

Mediante el uso de datos muestreados discretamente en intervalos de tiempo de anchot{\displaystyle t}, los estimadores de máxima verosimilitud para los parámetros del proceso de Ornstein-Uhlenbeck son asintóticamente normales a sus valores verdaderos. [ 9 ] Más precisamente,norte((θ^norteμ^norteσ^norte2)−(θμσ2))→d norte((000),(mi2tθ−1t20σ2(mi2tθ−1−2tθ)t2θ0σ2(mitθ+1)2(mitθ−1)θ0σ2(mi2tθ−1−2tθ)t2θ0σ4[(mi2tθ−1)2+2t2θ2(mi2tθ+1)+4tθ(mi2tθ−1)]t2(mi2tθ−1)θ2)){\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\begin{pmatrix}{\widehat {\theta }}_{n}\\{\widehat {\mu }}_{n}\\{\widehat {\sigma }}_{n}^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\theta \\\mu \\\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\right)\xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {e^{2t\theta }-1}{t^{2}}}&0&{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}\\0&{\frac {\sigma ^{2}\left(e^{t\theta }+1\right)}{2\left(e^{t\theta }-1\right)\theta }}&0\\{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}&0&{\frac {\sigma ^{4}\left[\left(e^{2t\theta }-1\right)^{2}+2t^{2}\theta ^{2}\left(e^{2t\theta }+1\right)+4t\theta \left(e^{2t\theta }-1\right)\right]}{t^{2}\left(e^{2t\theta }-1\right)\theta ^{2}}}\end{pmatrix}}\right)}

Cuatro ejemplos de trayectorias de diferentes procesos OU con θ  =  1, σ  = 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}: azul : valor inicial a  =  10, μ  =  0 naranja : valor inicial a  =  0, μ  =  0 verde : valor inicial a  =  −10, μ  =  0 rojo : valor inicial a  =  0, μ  =  −10

Para simular numéricamente un proceso OU con desviación estándarΣ{\displaystyle \Sigma }y tiempo de correlaciónτ=1/Θ{\displaystyle \tau =1/\Theta }Un método consiste en aplicar la fórmula de diferencias finitas.

incógnita(t+dt)=incógnita(t)−Θdtincógnita(t)+Σ2dtΘνi{\displaystyle x(t+dt)=x(t)-\Theta \,dt\,x(t)+\Sigma {\sqrt {2\,dt\,\Theta }}\nu _{i}} dóndeνi{\displaystyle \nu _{i}}es un número aleatorio con distribución normal, media cero y varianza unitaria, muestreado independientemente en cada paso de tiempo.dt{\displaystyle dt}. [ 10 ]

Interpretación del límite de escala

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck puede interpretarse como un límite de escala de un proceso discreto, de la misma manera que el movimiento browniano es un límite de escala de caminatas aleatorias . Consideremos una urna que contienenorte{\displaystyle n}bolas blancas y negras. En cada paso se elige una bola al azar y se reemplaza por una bola del color opuesto.incógnitak{\displaystyle X_{k}}sea ​​el número de bolas negras en la urna despuésk{\displaystyle k}pasos. Entoncesincógnita[nortet]−norte/2norte{\displaystyle {\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}converge en derecho a un proceso Ornstein-Uhlenbeck comonorte{\displaystyle n}tiende al infinito. Esto fue obtenido por Mark Kac . [ 11 ]

Heurísticamente se puede obtener esto de la siguiente manera.

Dejarincógnitat(norte):=incógnita[nortet]−norte/2norte{\displaystyle X_{t}^{(n)}:={\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}y obtendremos la ecuación diferencial estocástica en elnorte→∞{\displaystyle n\to \infty }límite. Primero deduce. Δt=1/norte,Δincógnitat(norte)=incógnitat+Δt(norte)−incógnitat(norte).{\displaystyle \Delta t=1/n,\quad \Delta X_{t}^{(n)}=X_{t+\Delta t}^{(n)}-X_{t}^{(n)}.} Con esto podemos calcular la media y la varianza deΔincógnitat(norte){\displaystyle \Delta X_{t}^{(n)}}, que resulta ser−2incógnitat(norte)Δt{\displaystyle -2X_{t}^{(n)}\Delta t}yΔt{\displaystyle \Delta t}. Así pues en elnorte→∞{\displaystyle n\to \infty }límite, tenemosdincógnitat=−2incógnitatdt+dWt{\displaystyle dX_{t}=-2X_{t}\,dt+dW_{t}}, con solución (suponiendoincógnita0{\displaystyle X_{0}}La distribución es normal estándar.incógnitat=mi−2tWmi4t{\displaystyle X_{t}=e^{-2t}W_{e^{4t}}}.

Aplicaciones

En física: relajación ruidosa

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un prototipo de un proceso de relajación ruidoso . Un ejemplo canónico es un resorte hookeano ( oscilador armónico ) con constante elásticak{\displaystyle k}cuya dinámica está sobreamortiguada con coeficiente de fricciónγ{\displaystyle \gamma }. En presencia de fluctuaciones térmicas con la temperaturaT{\displaystyle T}, la longitudincógnita(t){\displaystyle x(t)}del resorte fluctúa alrededor de la longitud de reposo del resorteincógnita0{\displaystyle x_{0}}; su dinámica estocástica se describe mediante un proceso de Ornstein-Uhlenbeck con

θ=k/γ,μ=incógnita0,σ=2D=2kBT/γ,{\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=k/\gamma ,\\\mu &=x_{0},\\\sigma &={\sqrt {2D}}={\sqrt {2k_{B}T/\gamma }},\end{aligned}}}

dóndeσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}Se deriva de la ecuación de Stokes-Einstein.D=kBT/γ{\displaystyle D=k_{B}T/\gamma }para la constante de difusión efectiva. [ 12 ] [ 13 ] Reescrita como ecuación de Langevin como es común en física, γincógnita˙=−k(incógnita−incógnita0)+ξ(t){\displaystyle \gamma \,{\dot {x}}=-k(x-x_{0})+\xi (t)}, dóndeξ(t){\displaystyle \xi (t)}denota ruido blanco gaussiano con ⟨ξ(t)ξ(t′)⟩=2Dδ(t−t′){\displaystyle \langle \xi (t)\xi (t')\rangle =2D\,\delta (t-t')}; por lo tanto, tenemos para la función de autocorrelación (igual que arriba en notación matemática) ⟨[incógnita(t)−incógnita0][incógnita(t′)−incógnita0]⟩=(kBT/k)exp⁡[−(k/γ)|t−t′|]{\displaystyle \langle [x(t)-x_{0}][x(t')-x_{0}]\rangle =(k_{B}T/k)\exp[-(k/\gamma )|t-t'|]}con varianzakBT/k{\displaystyle k_{B}T/k}independiente deγ{\displaystyle \gamma }y escala de tiempo de relajaciónγ/k{\displaystyle \gamma /k}tal como se esperaba del análisis dimensional.

Este modelo se ha utilizado para caracterizar el movimiento de una partícula browniana en una trampa óptica . [ 13 ] [ 14 ] En equilibrio, el resorte almacena una energía promedio⟨mi⟩=k⟨(incógnita−incógnita0)2⟩/2=kBT/2{\displaystyle \langle E\rangle =k\langle (x-x_{0})^{2}\rangle /2=k_{B}T/2}de acuerdo con el teorema de equipartición . [ 15 ]

En matemáticas financieras

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck se utiliza en el modelo de Vasicek de la tasa de interés. [ 16 ] El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es uno de los varios enfoques utilizados para modelar (con modificaciones) las tasas de interés, los tipos de cambio de divisas y los precios de las materias primas de forma estocástica. El parámetroμ{\displaystyle \mu }representa el equilibrio o valor medio respaldado por los fundamentos ;σ{\displaystyle \sigma }el grado de volatilidad a su alrededor causado por las perturbaciones yθ{\displaystyle \theta }la tasa a la que estos choques se disipan y la variable revierte hacia la media. Una aplicación del proceso es una estrategia de negociación conocida como negociación de pares . [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]

Marcello Minenna desarrolló una implementación adicional del proceso de Ornstein-Uhlenbeck para modelar el rendimiento de las acciones bajo una dinámica de distribución lognormal . Este modelo busca determinar un intervalo de confianza para predecir fenómenos de abuso de mercado . [ 20 ] [ 21 ]

En biología evolutiva

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck se ha propuesto como una mejora respecto al modelo de movimiento browniano para modelar el cambio en los fenotipos de los organismos a lo largo del tiempo. [ 22 ] Un modelo de movimiento browniano implica que el fenotipo puede moverse sin límite, mientras que para la mayoría de los fenotipos la selección natural impone un coste por moverse demasiado en cualquier dirección. Un metaanálisis de 250 series temporales de fenotipos fósiles mostró que un modelo de Ornstein-Uhlenbeck se ajustaba mejor a 115 (46%) de las series temporales examinadas, lo que respalda la estasis como un patrón evolutivo común. [ 23 ] Dicho esto, existen ciertos desafíos para su uso: los mecanismos de selección de modelos a menudo están sesgados hacia la preferencia por un proceso OU sin suficiente respaldo, y la mala interpretación es fácil para el científico de datos desprevenido. [ 24 ]

Generalizaciones

Es posible definir un proceso de Ornstein-Uhlenbeck impulsado por Lévy , en el que el proceso impulsor de fondo es un proceso de Lévy en lugar de un proceso de Wiener: [ 25 ] [ 26 ]

dincógnitat=−θincógnitatdt+σdLt{\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dL_{t}}

Aquí, el diferencial del proceso de WienerWt{\displaystyle W_{t}}ha sido reemplazado por el diferencial de un proceso de LévyLt{\displaystyle L_{t}}.

Además, en finanzas, se utilizan procesos estocásticos donde la volatilidad aumenta para valores mayores deincógnita{\displaystyle X}. En particular, el proceso CKLS (Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders) [ 27 ] con el término de volatilidad reemplazado porσincógnitaγdWt{\displaystyle \sigma \,x^{\gamma }\,dW_{t}}se puede resolver en forma cerrada paraγ=1{\displaystyle \gamma =1}, así como paraγ=0{\displaystyle \gamma =0}, que corresponde al proceso OU convencional. Otro caso especial esγ=1/2{\displaystyle \gamma =1/2}, que corresponde al modelo de Cox-Ingersoll-Ross (modelo CIR).

Dimensiones superiores

Una versión multidimensional del proceso de Ornstein-Uhlenbeck, denotada por el vector N- dimensional.incógnitat{\displaystyle \mathbf {x} _{t}}, se puede definir desde

dincógnitat=−βincógnitatdt+σdWt.{\displaystyle d\mathbf {x} _{t}=-{\boldsymbol {\beta }}\,\mathbf {x} _{t}\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t}.}

dóndeWt{\displaystyle \mathbf {W} _{t}}es un proceso de Wiener N- dimensional, yβ{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}yσ{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}son matrices constantes N × N. [ 28 ] La solución es

incógnitat=mi−βtincógnita0+∫0tmi−β(t−t′)σdWt′{\displaystyle \mathbf {x} _{t}=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\mathbf {x} _{0}+\int _{0}^{t}e^{-{\boldsymbol {\beta }}(t-t')}{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t'}}

y la media es

mi⁡(incógnitat)=mi−βtmi⁡(incógnita0).{\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {x} _{t})=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\operatorname {E} (\mathbf {x} _{0}).}

Estas expresiones utilizan la exponencial matricial .

El proceso también puede describirse en términos de la función de densidad de probabilidad.PAG(incógnita,t){\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}, que satisface la ecuación de Fokker-Planck [ 29 ]

∂PAG∂t=∑i,jβij∂∂incógnitai(incógnitajPAG)+∑i,jDij∂2PAG∂incógnitai∂incógnitaj,{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(x_{j}P)+\sum _{i,j}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},}

donde la matrizD{\displaystyle {\boldsymbol {D}}}con componentesDij{\displaystyle D_{ij}}se define porD=σσT/2{\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}/2}Al igual que en el caso unidimensional, el proceso es una transformación lineal de variables aleatorias gaussianas y, por lo tanto, debe ser gaussiano. Debido a esto, la probabilidad de transiciónPAG(incógnita,t∣incógnita′,t′){\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x} ',t')}es una gaussiana que se puede escribir explícitamente. Si las partes reales de los valores propios deβ{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}son mayores que cero, una solución estacionariaPAGcalle(incógnita){\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )}Además existe, dado por

PAGcalle(incógnita)=(2π)−norte/2(detω)−1/2exp⁡(−12incógnitaTω−1incógnita),{\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )=(2\pi )^{-N/2}(\det {\boldsymbol {\omega }})^{-1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\omega }}^{-1}\mathbf {x} \right),}

donde la matrizω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}se determina a partir de la ecuación de Lyapunovβω+ωβT=2D{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\beta }}^{T}=2{\boldsymbol {D}}}. [ 5 ]

Véase también

Notas

  1. 1 2 Doob 1942 .
  2. ^ Karatzas y Shreve 1991 , pág. 358.
  3. ↑ Gard 1988 , pág. 115.
  4. ↑ Gardiner 1985 .
  5. 1 2 3 Risken 1989 .
  6. ↑ Lawler 2006 .
  7. ↑ Gardiner 1985 , pág. 106.
  8. ↑ Holmes-Cerfon, Miranda (2022). "Lección 12: Balance detallado y métodos de autofunciones" (PDF) .
  9. ^ Aït-Sahalia 2002 , págs. 223–262.
  10. ↑ Kloeden, Platen y Schurz 1994 .
  11. ↑ Iglehart 1968 .
  12. ↑ Nørrelykke y Flyvbjerg 2011 .
  13. 1 2 Goerlich et al. 2021 .
  14. ↑ Li et al. 2019 .
  15. ↑ Nelson 1967 .
  16. ↑ Björk 2009 , págs. 375, 381.
  17. ↑ Leung y Li 2016 .
  18. ↑ Ventajas del trading de pares: Neutralidad del mercado
  19. ↑ "Un marco de Ornstein-Uhlenbeck para el trading de pares" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 24 de febrero de 2011. Consultado el 13 de septiembre de 2010 .
  20. ↑ "Detección de abusos de mercado" . Revista Risk. 2 de noviembre de 2004.
  21. ↑ "Detección de abuso de mercado en los mercados financieros: un enfoque cuantitativo" . Consob – Comisión Nacional de Valores de Italia.
  22. ^ Martins 1994 , págs. 193-209.
  23. ↑ Caza 2007 .
  24. ↑ Cornuault 2022 .
  25. ^ Jespersen, Metzler y Fogedby 1999 .
  26. ↑ Fink y Klüppelberg 2011 .
  27. ↑ Chan et al. 1992 .
  28. ↑ Gardiner 1985 , pág. 109.
  29. ↑ Gardiner 1985 , pág. 97.

Referencias

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