Medición en mecánica cuántica

En mecánica cuántica, cada sistema físico se asocia con un espacio de Hilbert , donde cada elemento representa un posible estado del sistema. El enfoque codificado por John von Neumann representa una medición sobre un sistema físico mediante un operador autoadjunto en dicho espacio de Hilbert, denominado "observable". ^{[ 1 ] : 17} Estos observables desempeñan el papel de cantidades medibles conocidas en la física clásica: posición, momento , energía , momento angular , etc. La dimensión del espacio de Hilbert puede ser infinita, como ocurre con el espacio de funciones de cuadrado integrable en una línea, que se utiliza para definir la física cuántica de un grado de libertad continuo. Alternativamente, el espacio de Hilbert puede ser de dimensión finita, como sucede con los grados de libertad de espín . Muchos estudios de la teoría se centran en el caso de dimensión finita, ya que las matemáticas involucradas son menos exigentes. De hecho, los textos de física introductoria sobre mecánica cuántica a menudo pasan por alto tecnicismos matemáticos que surgen para observables de valor continuo y espacios de Hilbert de dimensión infinita, como la distinción entre operadores acotados y no acotados ; cuestiones de convergencia (si el límite de una secuencia de elementos del espacio de Hilbert también pertenece al espacio de Hilbert), posibilidades exóticas para conjuntos de valores propios, como los conjuntos de Cantor ; y demás. ^{[ 2 ] : 79 [ 3 ]} Estos problemas pueden resolverse satisfactoriamente utilizando la teoría espectral ; ^{[ 2 ] : 101} el presente artículo los evitará siempre que sea posible.

Los autovectores de una observable de von Neumann forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert, y cada posible resultado de esa medición corresponde a uno de los vectores que componen la base. Un operador de densidad es un operador semidefinido positivo en el espacio de Hilbert cuya traza es igual a 1. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Para cada medición que se puede definir, la distribución de probabilidad sobre los resultados de esa medición se puede calcular a partir del operador de densidad. El procedimiento para hacerlo es la regla de Born , que establece que

${\displaystyle P(x_{i})=\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),}$

dónde${\displaystyle \rho }$es el operador de densidad, y${\displaystyle \Pi _{i}}$es el operador de proyección sobre el vector base correspondiente al resultado de la medición${\displaystyle x_{i}}$. El promedio de los autovalores de una observable de von  Neumann, ponderado por las probabilidades de la regla de Born, es el valor esperado de esa observable. Para una observable${\displaystyle A}$, el valor esperado dado un estado cuántico${\displaystyle \rho }$es

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (A\rho).}$

Un operador de densidad que es una proyección de rango -1 se conoce como un estado cuántico puro , y todos los estados cuánticos que no son puros se designan como mixtos . Los estados puros también se conocen como funciones de onda . Asignar un estado puro a un sistema cuántico implica certeza sobre el resultado de alguna medición en ese sistema (es decir,${\displaystyle P(x)=1}$para algún resultado${\displaystyle x}$). Cualquier estado mixto puede escribirse como una combinación convexa de estados puros, aunque no de una manera única . ^{[ 4 ]} El espacio de estados de un sistema cuántico es el conjunto de todos los estados, puros y mixtos, que se le pueden asignar.

La regla de Born asocia una probabilidad a cada vector unitario en el espacio de Hilbert, de tal manera que estas probabilidades suman 1 para cualquier conjunto de vectores unitarios que conformen una base ortonormal. Además, la probabilidad asociada a un vector unitario es función del operador de densidad y del propio vector, y no de información adicional como la elección de la base en la que se inserta dicho vector. El teorema de Gleason establece lo contrario: todas las asignaciones de probabilidades a vectores unitarios (o, equivalentemente, a los operadores que se proyectan sobre ellos) que satisfacen estas condiciones consisten en aplicar la regla de Born a algún operador de densidad. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

En el análisis funcional y la teoría de la medición cuántica, una medida con valores de operador positivo (POVM) es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert . Las POVM son una generalización de las medidas con valores de proyección (PVM) y, correspondientemente, las mediciones cuánticas descritas por POVM son una generalización de las mediciones cuánticas descritas por PVM. En una analogía aproximada, una POVM es a una PVM lo que un estado mixto es a un estado puro. Los estados mixtos son necesarios para especificar el estado de un subsistema de un sistema mayor (véase el teorema de Schrödinger-HJW ); análogamente, las POVM son necesarias para describir el efecto sobre un subsistema de una medición proyectiva realizada sobre un sistema mayor. Las POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también pueden utilizarse en la teoría cuántica de campos . ^{[ 8 ]} Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica .

En el caso más simple, de una POVM con un número finito de elementos que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita , una POVM es un conjunto de matrices semidefinidas positivas.${\displaystyle \{F_{i}\}}$en un espacio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {H}}}$que suman la matriz identidad , ^{[ 9 ] : 90}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

En mecánica cuántica, el elemento POVM${\displaystyle F_{i}}$está asociado con el resultado de la medición${\displaystyle i}$, de tal manera que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición en el estado cuántico${\displaystyle \rho }$es dado por

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

dónde${\displaystyle \operatorname {tr} }$es el operador traza . Cuando el estado cuántico que se está midiendo es un estado puro${\displaystyle |\psi \rangle }$Esta fórmula se reduce a

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

Una medición sobre un sistema cuántico generalmente produce un cambio en el estado cuántico de dicho sistema. Escribir un POVM no proporciona la información completa necesaria para describir este proceso de cambio de estado. ^{[ 10 ] : 134} Para remediar esto, se especifica información adicional descomponiendo cada elemento del POVM en un producto:

${\displaystyle E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.}$

Los operadores de Kraus${\displaystyle A_{i}}$, llamados así por Karl Kraus , proporcionan una especificación del proceso de cambio de estado. ^{[ a ]} ​​No son necesariamente autoadjuntos, pero los productos${\displaystyle A_{i}^{\dagger }A_{i}}$son. Si al realizar la medición el resultado${\displaystyle E_{i}}$se obtiene, entonces el estado inicial${\displaystyle \rho }$se actualiza a

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.}$

Un caso especial importante es la regla de Lüders, que recibe su nombre de Gerhart Lüders . ^{[ 16 ] [ 17 ]} Si el POVM es en sí mismo un PVM, entonces los operadores de Kraus pueden tomarse como los proyectores sobre los autoespacios del observable de von  Neumann:

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.}$

Si el estado inicial${\displaystyle \rho }$es puro, y los proyectores${\displaystyle \Pi _{i}}$tienen rango 1, se pueden escribir como proyectores sobre los vectores${\displaystyle |\psi \rangle }$y${\displaystyle |i\rangle }$, respectivamente. La fórmula se simplifica así a

${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$

La regla de Lüders se ha conocido históricamente como la "reducción del paquete de ondas" o el " colapso de la función de onda ". ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} El estado puro${\displaystyle |i\rangle }$implica una predicción de probabilidad uno para cualquier  observable de von Neumann que tenga${\displaystyle |i\rangle }$como un vector propio. Los textos introductorios sobre teoría cuántica suelen expresar esto diciendo que si una medición cuántica se repite rápidamente, el resultado será el mismo en ambas ocasiones. Esto es una simplificación excesiva, ya que la implementación física de una medición cuántica puede implicar un proceso como la absorción de un fotón; después de la medición, el fotón ya no existe para ser medido de nuevo. ^{[ 9 ] : 91}

Podemos definir un mapa lineal, que conserva la traza y es completamente positivo , sumando sobre todos los posibles estados posteriores a la medición de un POVM sin la normalización:

${\displaystyle \rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.}$

Es un ejemplo de canal cuántico , ^{[ 10 ] : 150} y puede interpretarse como la expresión de cómo cambia un estado cuántico si se realiza una medición pero se pierde el resultado de dicha medición. ^{[ 10 ] : 159}

El ejemplo prototípico de un espacio de Hilbert de dimensión finita es un cúbit , un sistema cuántico cuyo espacio de Hilbert es bidimensional. Un estado puro para un cúbit se puede escribir como una combinación lineal de dos estados base ortogonales.${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$con coeficientes complejos:

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

Una medición en el${\displaystyle (|0\rangle,|1\rangle)}$La base producirá un resultado${\displaystyle |0\rangle }$con probabilidad${\displaystyle |\alpha |^{2}}$y resultado ${\displaystyle |1\rangle }$con probabilidad${\displaystyle |\beta |^{2}}$, por lo tanto, mediante la normalización,

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1.}$

Un estado arbitrario para un cúbit se puede escribir como una combinación lineal de las matrices de Pauli , que proporcionan una base para${\displaystyle 2\times 2}$Matrices autoadjuntas: ^{[ 10 ] : 126}

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

donde los números reales${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$son las coordenadas de un punto dentro de la bola unitaria y

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Los elementos POVM pueden representarse de manera similar, aunque la traza de un elemento POVM no está fijada a ser igual a 1. Las matrices de Pauli no tienen traza y son ortogonales entre sí con respecto al producto interno de Hilbert-Schmidt , y por lo tanto las coordenadas${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$del estado${\displaystyle \rho }$son los valores esperados de las tres mediciones de von Neumann definidas por las matrices de Pauli. ^{[ 10 ] : 126} Si se aplica una medición de este tipo a un cúbit, entonces, según la regla de Lüders, el estado se actualizará al vector propio de esa matriz de Pauli correspondiente al resultado de la medición. Los vectores propios de${\displaystyle \sigma _{z}}$son los estados base${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$y una medición de${\displaystyle \sigma _{z}}$a menudo se denomina medición en la "base computacional". ^{[ 10 ] : 76} Después de una medición en la base computacional, el resultado de una${\displaystyle \sigma _{x}}$o${\displaystyle \sigma _{y}}$La medición presenta la máxima incertidumbre.

Un par de cúbits juntos forman un sistema cuyo espacio de Hilbert es de 4 dimensiones. Una medida de von Neumann significativa en este sistema es la definida por la base de Bell , ^{[ 21 ] : 36} un conjunto de cuatro estados máximamente entrelazados :

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Phi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Psi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\\|\Psi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\end{aligned}}}$

Un ejemplo común y útil de mecánica cuántica aplicada a un grado de libertad continuo es el oscilador armónico cuántico . ^{[ 22 ] : 24} Este sistema se define por el hamiltoniano

${\displaystyle {H}={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{x}^{2},}$

dónde${\displaystyle {H}}$, el operador de momento${\displaystyle {p}}$y el operador de posición${\displaystyle {x}}$son operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en la recta real . Los autoestados de energía resuelven la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo :

${\displaystyle {H}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

Se puede demostrar que estos autovalores vienen dados por

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right),}$

Estos valores proporcionan los posibles resultados numéricos de una medición de energía en el oscilador. El conjunto de posibles resultados de una medición de posición en un oscilador armónico es continuo, por lo que las predicciones se expresan en términos de una función de densidad de probabilidad.${\displaystyle P(x)}$que da la probabilidad de que el resultado de la medición se encuentre en el intervalo infinitesimal de${\displaystyle x}$a${\displaystyle x+dx}$.

La antigua teoría cuántica es una colección de resultados de los años 1900–1925 ^{[ 23 ]} que preceden a la mecánica cuántica moderna . La teoría nunca fue completa ni autoconsistente, sino más bien un conjunto de correcciones heurísticas a la mecánica clásica . ^{[ 24 ]} La teoría ahora se entiende como una aproximación semiclasica ^{[ 25 ]} a la mecánica cuántica moderna. ^{[ 26 ]} Los resultados notables de este período incluyen el cálculo del espectro de radiación del cuerpo negro de Max Planck , la explicación del efecto fotoeléctrico de Albert Einstein , el trabajo de Einstein y Peter Debye sobre el calor específico de los sólidos, la prueba de Niels Bohr y Hendrika van Leeuwen de que la física clásica no puede explicar el magnetismo , el modelo del átomo de hidrógeno de Bohr y la extensión del modelo de Bohr de Arnold Sommerfeld para incluir efectos relativistas .

El experimento de Stern-Gerlach , propuesto en 1921 e implementado en 1922, ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]} se convirtió en un ejemplo prototípico de una medición cuántica con un conjunto discreto de resultados posibles. En el experimento original, se enviaron átomos de plata a través de un campo magnético que variaba espacialmente, el cual los desvió antes de que impactaran una pantalla detectora, como una lámina de vidrio. Las partículas con momento magnético distinto de cero se desvían, debido al gradiente del campo magnético , de una trayectoria recta. La pantalla revela puntos discretos de acumulación, en lugar de una distribución continua, debido al espín cuantizado de las partículas . ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

Un artículo de Werner Heisenberg de 1925 , conocido en inglés como " Reinterpretación teórica cuántica de las relaciones cinemáticas y mecánicas ", marcó un momento crucial en la maduración de la física cuántica. ^{[ 33 ]} Heisenberg buscaba desarrollar una teoría de los fenómenos atómicos que se basara únicamente en cantidades "observables". En aquel entonces, y a diferencia de la presentación estándar posterior de la mecánica cuántica, Heisenberg no consideraba "observable" la posición de un electrón ligado dentro de un átomo. En cambio, sus principales cantidades de interés eran las frecuencias de la luz emitida o absorbida por los átomos. ^{[ 33 ]}

El principio de incertidumbre data de este período. Se le atribuye frecuentemente a Heisenberg, quien introdujo el concepto al analizar un experimento mental en el que se intenta medir simultáneamente la posición y el momento de un electrón . Sin embargo, Heisenberg no proporcionó definiciones matemáticas precisas de lo que significaba la "incertidumbre" en estas mediciones. La formulación matemática precisa del principio de incertidumbre de posición-momento se debe a Earle Hesse Kennard , Wolfgang Pauli y Hermann Weyl , y su generalización a pares arbitrarios de observables no conmutativos se debe a Howard P. Robertson y Erwin Schrödinger . ^{[ 34 ] [ 35 ]}

Escribiendo${\displaystyle {x}}$y${\displaystyle {p}}$Para los operadores autoadjuntos que representan la posición y el momento respectivamente, se puede definir una desviación estándar de la posición como

${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {x}^{2}\rangle -\langle {x}\rangle ^{2}}},}$

y lo mismo ocurre con el impulso:

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {p}^{2}\rangle -\langle {p}\rangle ^{2}}}.}$

La relación de incertidumbre de Kennard-Pauli-Weyl es

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$

Esta desigualdad significa que ninguna preparación de una partícula cuántica puede implicar predicciones precisas simultáneamente para una medición de posición y para una medición de momento. ^{[ 36 ]} La desigualdad de Robertson generaliza esto al caso de un par arbitrario de operadores autoadjuntos.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$. El conmutador de estos dos operadores es

${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$

y esto proporciona el límite inferior del producto de las desviaciones estándar:

${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [A,B]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.}$

Sustituyendo en la relación de conmutación canónica${\displaystyle [{x},{p}]=i\hbar }$, una expresión postulada por primera vez por Max Born en 1925, ^{[ 37 ]} recupera el enunciado de Kennard–Pauli–Weyl del principio de incertidumbre.

La existencia del principio de incertidumbre plantea, naturalmente, la cuestión de si la mecánica cuántica puede entenderse como una aproximación a una teoría más exacta. ¿Existen « variables ocultas », más fundamentales que las magnitudes consideradas en la propia teoría cuántica, cuyo conocimiento permitiría predicciones más exactas que las que esta puede ofrecer? Diversos resultados, entre los que destaca el teorema de Bell , han demostrado que amplias clases de dichas teorías de variables ocultas son, de hecho, incompatibles con la física cuántica.

John Stewart Bell publicó el teorema que ahora lleva su nombre en 1964, investigando más a fondo un experimento mental propuesto originalmente en 1935 por Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen . ^{[ 38 ] [ 39 ]} Según el teorema de Bell, si la naturaleza opera realmente de acuerdo con alguna teoría de variables ocultas locales , entonces los resultados de una prueba de Bell estarán restringidos de una manera particular y cuantificable. Si una prueba de Bell se realiza en un laboratorio y los resultados no están restringidos de esta manera, entonces son inconsistentes con la hipótesis de que existen variables ocultas locales. Tales resultados respaldarían la posición de que no hay manera de explicar los fenómenos de la mecánica cuántica en términos de una descripción más fundamental de la naturaleza que esté más en línea con las reglas de la física clásica. Se han realizado muchos tipos de pruebas de Bell en laboratorios de física, a menudo con el objetivo de mitigar problemas de diseño o configuración experimental que, en principio, podrían afectar la validez de los hallazgos de pruebas de Bell anteriores. Esto se conoce como "cerrar lagunas en las pruebas de Bell ". Hasta la fecha, las pruebas de Bell han encontrado que la hipótesis de variables ocultas locales es inconsistente con la forma en que se comportan los sistemas físicos. ^{[ 40 ] [ 41 ]}

El principio de incertidumbre de Robertson-Schrödinger establece que cuando dos observables no conmutan, existe una compensación en la predictibilidad entre ellos. El teorema de Wigner-Araki-Yanase demuestra otra consecuencia de la no conmutatividad: la presencia de una ley de conservación limita la precisión con la que se pueden medir los observables que no conmutan con la cantidad conservada. ^{[ 42 ]} Una investigación posterior en esta línea condujo a la formulación de la información asimétrica de Wigner-Yanase . ^{[ 43 ]}

Históricamente, los experimentos en física cuántica se han descrito a menudo en términos semiclasicos. Por ejemplo, el espín de un átomo en un experimento de Stern-Gerlach podría tratarse como un grado de libertad cuántico, mientras que el átomo se considera que se mueve a través de un campo magnético descrito por la teoría clásica de las ecuaciones de Maxwell . ^{[ 2 ] : 24} Pero los dispositivos utilizados para construir el aparato experimental son en sí mismos sistemas físicos, por lo que la mecánica cuántica también debería ser aplicable a ellos. A partir de la década de 1950, Léon Rosenfeld , Carl Friedrich von Weizsäcker y otros intentaron desarrollar condiciones de consistencia que expresaran cuándo un sistema cuántico-mecánico podía tratarse como un aparato de medición. ^{[ 44 ]} Una propuesta de criterio sobre cuándo un sistema utilizado como parte de un dispositivo de medición puede modelarse semiclasicamente se basa en la función de Wigner , una distribución de cuasiprobabilidad que puede tratarse como una distribución de probabilidad en el espacio de fases en aquellos casos en los que es no negativa en todas partes. ^{[ 2 ] : 375}

Un estado cuántico para un sistema imperfectamente aislado generalmente evolucionará entrelazándose con el estado cuántico del entorno. En consecuencia, incluso si el estado inicial del sistema es puro, el estado en un momento posterior, obtenido al tomar la traza parcial del estado conjunto sistema-entorno, será mixto. Este fenómeno de entrelazamiento producido por las interacciones sistema-entorno tiende a ocultar las características más exóticas de la mecánica cuántica que el sistema podría manifestar en principio. La decoherencia cuántica, como se conoce este efecto, se estudió en detalle por primera vez durante la década de 1970. ^{[ 45 ]} (Investigaciones anteriores sobre cómo se podría obtener la física clásica como un límite de la mecánica cuántica habían explorado el tema de los sistemas imperfectamente aislados, pero el papel del entrelazamiento no se comprendió completamente. ^{[ 44 ]} ) Una parte significativa del esfuerzo involucrado en la investigación de la computación cuántica es evitar los efectos perjudiciales de la decoherencia. ^{[ 46 ] [ 21 ] : 239}

Para ilustrarlo, dejemos${\displaystyle \rho _{S}}$denota el estado inicial del sistema,${\displaystyle \rho _{E}}$el estado inicial del entorno y${\displaystyle H}$el hamiltoniano que especifica la interacción sistema-entorno. El operador de densidad${\displaystyle \rho _{E}}$puede diagonalizarse y escribirse como una combinación lineal de los proyectores sobre sus vectores propios:

${\displaystyle \rho _{E}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|.}$

Expresar la evolución del tiempo durante una duración${\displaystyle t}$por el operador unitario${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$, el estado del sistema después de esta evolución es

${\displaystyle \rho _{S}'={\rm {tr}}_{E}U\left[\rho _{S}\otimes \left(\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\right)\right]U^{\dagger },}$

que se evalúa a

${\displaystyle \rho _{S}'=\sum _{ij}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{j}|U|\psi _{i}\rangle \rho _{S}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{i}|U^{\dagger }|\psi _{j}\rangle .}$

Las cantidades que rodean${\displaystyle \rho _{S}}$pueden identificarse como operadores de Kraus , y por lo tanto esto define un canal cuántico. ^{[ 45 ]}

Especificar una forma de interacción entre el sistema y el entorno permite establecer un conjunto de "estados de referencia", estados del sistema que son (aproximadamente) estables, independientemente de los factores de fase generales, con respecto a las fluctuaciones ambientales. Un conjunto de estados de referencia define una base ortonormal preferida para el espacio de Hilbert del sistema. ^{[ 2 ] : 423}

La entropía de von Neumann es una medida de la incertidumbre estadística representada por un estado cuántico. Para una matriz de densidad${\displaystyle \rho }$, la entropía de von Neumann es

${\displaystyle S(\rho )=-{\rm {tr}}(\rho \log \rho );}$

escribiendo${\displaystyle \rho }$en términos de su base de autovectores,

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\lambda _{i}|i\rangle \langle i|,}$

La entropía de von Neumann es

${\displaystyle S(\rho )=-\sum _{i}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$

Esta es la entropía de Shannon del conjunto de valores propios interpretado como una distribución de probabilidad, y por lo tanto la entropía de von Neumann es la entropía de Shannon de la variable aleatoria definida midiendo en la base de valores propios de${\displaystyle \rho }$En consecuencia, la entropía de von Neumann desaparece cuando${\displaystyle \rho }$es puro. ^{[ 10 ] : 320} La entropía de von Neumann de${\displaystyle \rho }$puede caracterizarse equivalentemente como la entropía de Shannon mínima para una medición dado el estado cuántico${\displaystyle \rho }$, con la minimización sobre todos los POVM con elementos de rango 1. ^{[ 10 ] : 323}

Muchas otras magnitudes utilizadas en la teoría de la información cuántica también encuentran motivación y justificación en términos de mediciones. Por ejemplo, la distancia de traza entre estados cuánticos es igual a la mayor diferencia de probabilidad que esos dos estados cuánticos pueden implicar para un resultado de medición: ^{[ 10 ] : 254}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||=\max _{0\leq E\leq I}[{\rm {tr}}(E\rho )-{\rm {tr}}(E\sigma )].}$

De manera similar, la fidelidad de dos estados cuánticos, definida por

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {Tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2},}$

expresa la probabilidad de que un estado pase una prueba para identificar una preparación exitosa del otro. La distancia de traza proporciona límites a la fidelidad a través de las desigualdades de Fuchs-van de Graaf : ^{[ 10 ] : 274}

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}.}$

Los circuitos cuánticos son un modelo para la computación cuántica en el que una computación es una secuencia de puertas cuánticas seguida de mediciones. ^{[ 21 ] : 93} Las puertas son transformaciones reversibles en un análogo mecánico cuántico de un registro de n bits . Esta estructura análoga se denomina registro de n cúbits . Las mediciones, dibujadas en un diagrama de circuito como diales de puntero estilizados, indican dónde y cómo se obtiene un resultado de la computadora cuántica después de que se ejecutan los pasos de la computación. Sin pérdida de generalidad , se puede trabajar con el modelo de circuito estándar, en el que el conjunto de puertas son transformaciones unitarias de un solo cúbit y puertas NOT controladas en pares de cúbits, y todas las mediciones están en la base computacional. ^{[ 21 ] : 93 [ 47 ]}

La computación cuántica basada en mediciones (MBQC) es un modelo de computación cuántica en el que la respuesta a una pregunta se crea, informalmente hablando, en el acto de medir el sistema físico que sirve como computadora. ^{[ 21 ] : 317 [ 48 ] [ 49 ]}

La tomografía de estados cuánticos es un proceso mediante el cual, a partir de un conjunto de datos que representan los resultados de mediciones cuánticas, se calcula un estado cuántico consistente con dichos resultados. ^{[ 50 ]} Su nombre se debe a la analogía con la tomografía , la reconstrucción de imágenes tridimensionales a partir de cortes transversales, como en una tomografía computarizada (TC) . La tomografía de estados cuánticos puede extenderse a la tomografía de canales cuánticos ^{[ 50 ]} e incluso de mediciones. ^{[ 51 ]}

La metrología cuántica es el uso de la física cuántica para ayudar a medir cantidades que, generalmente, tenían significado en la física clásica, como explotar los efectos cuánticos para aumentar la precisión con la que se puede medir una longitud. ^{[ 52 ]} Un ejemplo célebre es la introducción de luz comprimida en el experimento LIGO , que aumentó su sensibilidad a las ondas gravitacionales . ^{[ 53 ] [ 54 ]}