descomposición de Hironaka

En matemáticas, una descomposición de Hironaka es una representación de un álgebra sobre un cuerpo como un módulo libre finitamente generado sobre una subálgebra polinómica o un anillo local regular . Estas descomposiciones reciben su nombre de Heisuke Hironaka , quien las utilizó en su tesis de maestría inédita en la Universidad de Kioto ( Nagata 1962 , p. 217) .

El criterio de Hironaka ( Nagata 1962 , teorema 25.16) , a veces llamado teorema de la planitud milagrosa , establece que un anillo local R que es un módulo finitamente generado sobre un anillo local noetheriano regular S es de Cohen-Macaulay si y solo si es un módulo libre sobre S. Existe un resultado similar para anillos graduados sobre un cuerpo en lugar de anillos locales.

Dejar${\displaystyle V}$Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero,${\displaystyle K}$, portando una representación de un grupo${\displaystyle G}$y consideremos el álgebra polinómica en${\displaystyle V}$,${\displaystyle K[V]}$. El álgebra${\displaystyle K[V]}$tiene una calificación con${\displaystyle (K[V])_{0}=K}$, que es heredada por la subálgebra invariante

${\displaystyle K[V]^{G}=\{f\in K[V]\mid g\circ f=f,\forall g\in G\}}$.

Un famoso resultado de la teoría de invariantes, que proporcionó la respuesta al decimocuarto problema de Hilbert , es que si${\displaystyle G}$es un grupo linealmente reductivo y${\displaystyle V}$es una representación racional de${\displaystyle G}$, entonces${\displaystyle K[V]}$es finitamente generado. Otro resultado importante, debido a Noether , es que cualquier álgebra graduada finitamente generada${\displaystyle R}$con${\displaystyle R_{0}=K}$admite un sistema homogéneo de parámetros (HSOP) (no necesariamente único). Un HSOP (también denominado invariantes primarios ) es un conjunto de polinomios homogéneos,${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$, que satisfacen dos propiedades:

1. El${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$son algebraicamente independientes.
2. El conjunto cero de la${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$,${\displaystyle \{v\in V|\theta _ {i}=0\}}$, coincide con el cono nulo (enlace) de${\displaystyle R}$.

Es importante destacar que esto implica que el álgebra puede expresarse entonces como un módulo finitamente generado sobre la subálgebra generada por el HSOP.${\displaystyle K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$. En particular, uno puede escribir

${\displaystyle K[V]^{G}=\sum _ {k}\eta _ {k}K[\theta _ {1},\dots,\theta _ {l}]}$,

donde el${\displaystyle \eta _{k}}$se denominan invariantes secundarios .

Ahora bien, si${\displaystyle K[V]^{G}}$es Cohen-Macaulay, lo cual es el caso si${\displaystyle G}$Si es linealmente reductivo, entonces es un módulo libre (y como ya se ha dicho, finitamente generado) sobre cualquier HSOP. Por lo tanto, de hecho se tiene una descomposición de Hironaka.

${\displaystyle K[V]^{G}=\bigoplus _{k}\eta _{k}K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$.

En particular, cada elemento en${\displaystyle K[V]^{G}}$se puede escribir de forma única como 􏰐${\displaystyle \sum \nolimits _{j}\eta _{j}f_{j}}$, dónde${\displaystyle f_{j}\in K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$y el producto de dos números secundarios cualesquiera viene dado de forma única por${\displaystyle \eta _{k}\eta _{m}=\sum \nolimits _{j}\eta _{j}f_{km}^{j}}$, dónde${\displaystyle f_{km}^{j}\in K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$Esto especifica la multiplicación en${\displaystyle K[V]^{G}}$inequívocamente.

• Descomposición de Rees
• descomposición de Stanley

• Nagata, Masayoshi (1962), Anillos locales , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol.  13, Nueva York-Londres: Interscience Publishers, una división de John Wiley & Sons, ISBN 0-88275-228-6, MR 0155856 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Sturmfels, Bernd ; White, Neil (1991), "Cálculo de descomposiciones combinatorias de anillos", Combinatorica , 11 (3): 275–293 , doi : 10.1007/BF01205079 , MR 1122013