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Articulo de referencia

apeiroedro sesgado regular

El mucubo es un apeiroedro sesgado regular. En geometría , un apeiroedro sesgado regular es un poliedro sesgado regular infinito . Tienen caras o vértices regulares sesgados . H...

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El mucubo es un apeiroedro sesgado regular.

En geometría , un apeiroedro sesgado regular es un poliedro sesgado regular infinito . Tienen caras o vértices regulares sesgados .

Historia

En 1926, John Flinders Petrie tomó el concepto de polígonos sesgados regulares , polígonos cuyos vértices no están todos en el mismo plano, y lo extendió a los poliedros. Si bien los apeiroedros generalmente deben cubrir el plano bidimensional, Petrie consideró casos en los que las caras seguían siendo convexas pero no era necesario que estuvieran planas en el plano; podían tener una figura de vértice de polígono sesgado .

Petrie descubrió dos apeiroedros sesgados regulares, el mucubo y el muoctaedro. [ 1 ] Harold Scott MacDonald Coxeter derivó un tercero, el mutetraedro, y demostró que estos tres eran completos. Según la definición de Coxeter y Petrie, que requiere caras convexas y permite una figura de vértice sesgada, los tres no solo eran los únicos apeiroedros sesgados en el espacio euclidiano tridimensional, sino que eran los únicos poliedros sesgados en el espacio tridimensional, ya que allí Coxeter demostró que no había casos finitos.

En 1967 [ 2 ] Garner investigó los apeiroedros sesgados regulares en el espacio hiperbólico 3-espacio con la definición de Petrie y Coxeters, descubriendo 31 [ nota 1 ] apeiroedros sesgados regulares con simetría compacta o paracompacta.

En 1977 [ 3 ] [ 1 ] Grünbaum generalizó los poliedros sesgados para permitir también caras sesgadas. Grünbaum descubrió 23 [ nota 2 ] apeiroedros sesgados adicionales en el espacio euclidiano tridimensional y 3 en el espacio bidimensional que son sesgados en virtud de sus caras. 12 de los poliedros de Grünbaum se formaron utilizando la operación de mezcla en apeiroedros bidimensionales, y los otros 11 eran puros, es decir, no podían formarse mediante una mezcla no trivial. Grünbaum conjeturó que esta nueva lista era completa para los parámetros considerados.

En 1985 [ 4 ] [ 1 ] Dress encontró un apeiroedro sesgado regular puro adicional en el espacio tridimensional y demostró que con este apeiroedro sesgado adicional la lista estaba completa.

Apeiroedros sesgados regulares en el espacio euclidiano tridimensional.

Poliedros de Petrie - Coxeter

Las tres soluciones euclidianas en el espacio tridimensional son {4,6 | 4}, {6,4 | 4} y {6,6 | 3}. John Conway las denominó mucubo, muoctaedro y mutetraedro, respectivamente, por cubo múltiple, octaedro y tetraedro múltiple. [ 5 ]

  1. Mucube : {4,6|4}: 6 cuadrados alrededor de cada vértice (relacionado con el panal cúbico , construido a partir de celdas cúbicas, quitando dos caras opuestas de cada una y uniendo conjuntos de seis alrededor de un cubo sin caras ).
  2. Muoctaedro : {6,4|4}: 4 hexágonos alrededor de cada vértice (relacionado con el panal cúbico bitruncado , construido a partir de octaedros truncados a los que se les han quitado sus caras cuadradas y que unen pares de agujeros).
  3. Mutetraedro : {6,6|3}: 6 hexágonos alrededor de cada vértice (relacionado con el panal cúbico de un cuarto , construido a partir de celdas de tetraedro truncadas , eliminando caras triangulares y uniendo conjuntos de cuatro alrededor de un tetraedro sin caras ).

Coxeter da estos apeiroedros sesgados regulares {2q,2r|p} con simetría quiral extendida [ [( p , q , p , r )] + ] que dice que es isomorfo a su grupo abstracto (2 q ,2 r |2, p ). El panal relacionado tiene la simetría extendida [ [( p , q , p , r )] ] . [ 6 ]

Poliedros de Grünbaum-Dress

panales sesgados

Existen tres apeiroedros sesgados regulares de rango completo, también llamados panales sesgados regulares , es decir, apeiroedros sesgados en dos dimensiones. Al igual que con los poliedros sesgados finitos de rango completo, los tres se pueden obtener aplicando el dual de Petrie a politopos planares, en este caso los tres teselados regulares. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

Alternativamente, pueden construirse utilizando la operación apeir en polígonos regulares. [ 10 ] Si bien el Petrial se utiliza en la construcción clásica, no se generaliza bien a rangos superiores. En cambio, la operación apeir se utiliza para construir panales sesgados de rango superior. [ 11 ]

La operación apeir toma los espejos generadores del polígono, ρ 0 y ρ 1 , y los utiliza como espejos para la figura del vértice de un poliedro. El nuevo espejo del vértice w es entonces un punto ubicado donde se encuentra el vértice inicial del polígono (o en cualquier lugar del espejo ρ 1 que no sea su intersección con ρ 0 ). El nuevo vértice inicial se coloca en la intersección de los espejos ρ 0 y ρ 1 . Por lo tanto, el poliedro apeir se genera mediante ⟨ w, ρ 0 , ρ 0 ⟩ . [ 12 ]

apeiroedros mezclados

{3,6}#{} con los bordes de una cara resaltados en rojo

Para cualesquiera dos politopos regulares, P y Q , se puede crear un nuevo politopo mediante el siguiente proceso:

  • Comience con el producto cartesiano de los vértices de P con los vértices de Q.
  • Añade aristas entre cualesquiera dos vértices p 0 × q 0 y p 1 × q 1 si existe una arista entre p 0 y p 1 en P y una arista entre q 0 y q 1 en Q. (Si Q no tiene aristas, añade una arista virtual que conecte su vértice consigo mismo).
  • De forma similar, añade caras a cada conjunto de vértices que incidan en la misma cara tanto en P como en Q. (Si Q no tiene caras, añade una cara virtual que conecte su arista consigo misma).
  • Repita el mismo procedimiento para todos los rangos de elementos propios.
  • Del politopo resultante, seleccione un componente conectado.

Para los politopos regulares , el último paso garantiza la producción de un resultado único. Este nuevo politopo se denomina la mezcla de P y Q y se representa como P # Q.

De forma equivalente, la mezcla se puede obtener colocando P y Q en espacios ortogonales y componiendo sus espejos generadores por pares.

Los poliedros combinados en el espacio tridimensional se pueden crear combinando poliedros bidimensionales con politopos unidimensionales. Los únicos poliedros bidimensionales son los 6 panales (3 teselaciones euclidianas y 3 panales sesgados ):

Los únicos politopos unidimensionales son:

Cada par entre estos produce un apeiroedro sesgado regular válido y distinto en el espacio euclidiano tridimensional, para un total de 12 [ nota 2 ] apeiroedros sesgados combinados.

Dado que el esqueleto del teselado cuadrado es bipartito , dos de estas mezclas, {4, 4}#{} y {4, 4} π #{} , son combinatoriamente equivalentes a sus contrapartes no mezcladas.

apeiroedros puros

Skewed muoctahedronPetrial mucubeMuoctahedronMucubePetrial muoctahedronHalved mucbePetrial halved mucubeSkewed Petrial muoctahedronMutetrahedronPetrial mutetrahedronTrihelical square tilingTetrahelical triangular tilingRectificationRectificationPetrie dualPetrie dualPetrie dualPetrie dualPetrie dualPetrie dualPetrie dualDual polyhedronDual polyhedronSecond-order facettingSecond-order facettingSecond-order facettingSecond-order facettingSecond-order facettingSecond-order facettingPetrial cubePetrial tetrahedronTetrahedronCube
Algunas relaciones entre los 12 apeiroedros puros en el espacio euclidiano 3D
  • π representa el Petrial
  • δ representa el dual
  • η representa la reducción a la mitad
  • φ representa el facetado
  • σ representa la asimetría
  • r representa la rectificación

Un politopo se considera puro si no puede expresarse como una mezcla no trivial de dos politopos. Una mezcla se considera trivial si contiene el resultado como uno de sus componentes. Alternativamente, un politopo puro es aquel cuyo grupo de simetría no contiene ninguna subrepresentación no trivial . [ 13 ]

En tres dimensiones existen 12 apeiroedros puros regulares. Tres de ellos son los poliedros de Petrie-Coxeter :

  • {4,6 | 4}
  • {6,4 | 4}
  • {6,6 | 3}

Se obtienen tres más como los Petriales de los poliedros de Petrie-Coxeter:

  • {4,6 | 4} π = {∞, 4} 6,4
  • {6,4 | 4} π = {∞, 6} 4,4
  • {6,6 | 3} π = {∞, 6} 6,3

Se pueden formar tres apeiroedros puros adicionales con polígonos sesgados finitos como caras:

Estos tres conjuntos son cerrados bajo las operaciones de Wilson . Esto significa que cada uno puede construirse a partir de cualquier otro mediante alguna combinación de las operaciones de Petrial y dual. {6,6} 4 es autodual y {6,4} 6 es auto-Petrial.

Apeiroedros sesgados regulares en el espacio hiperbólico tridimensional.

El apeiroedro compacto sesgado {4,6 | 5}

En 1967, CWL Garner identificó 31 apeiroedros hiperbólicos sesgados con figuras de vértice de polígonos sesgados regulares , hallados al extender los poliedros de Petrie-Coxeter al espacio hiperbólico. [ 14 ]

Estos representan 14 poliedros sesgados regulares compactos y 17 [ nota 1 ] paracompactos en el espacio hiperbólico, construidos a partir de la simetría de un subconjunto de grafos de grupos de Coxeter lineales y cíclicos de la forma [ [( p , q , p , r )] ] , Estos definen poliedros sesgados regulares {2 q ,2 r | p } y dual {2 r ,2 q | p }. Para el caso especial de grupos de grafos lineales r  =  2, esto representa el grupo de Coxeter [ p , q , p ]. Genera sesgos regulares {2 q , 4 | p } y {4,2 q | p }. Todos estos existen como un subconjunto de caras de los panales uniformes convexos en el espacio hiperbólico .

El apeiroedro sesgado comparte la misma figura de vértice de antiprisma con el panal de abejas, pero solo se realizan las caras de borde en zigzag de la figura de vértice, mientras que las otras caras forman agujeros.

Véase también

Notas

  1. 1 2 Garner cuenta erróneamente {8,8 | 4} dos veces, dando un recuento de 18 casos de paracompactos y 32 en total, pero solo enumera 17 paracompactos y 31 en total.
  2. 1 2 Los politopos generados mediante una mezcla no trivial poseen un grado de libertad que corresponde a la escala relativa de sus componentes. Por esta razón, algunos autores los consideran familias infinitas en lugar de un único politopo. En este artículo, dos politopos se consideran iguales cuando existe una aplicación afín de rango completo entre ellos.

Referencias

  1. ^ McMullen y Schulte (1997 : 449–450 )
  2. ↑ Garner (1967)
  3. ↑ Grünbaum (1977)
  4. ↑ Vestido (1985)
  5. ↑ La simetría de las cosas, 2008, Capítulo 23 Objetos con simetría primaria , Poliedros platónicos infinitos , págs. 333–335
  6. ↑ Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II 2.34)
  7. ↑ Grünbaum (1977)
  8. ↑ Vestido (1985)
  9. ↑ McMullen y Schulte (1997)
  10. ↑ McMullen (2004)
  11. ↑ McMullen (2004)
  12. ↑ McMullen (2004)
  13. ↑ McMullen y Schulte (2002)
  14. ↑ Garner (1967)

Bibliografía

  • Garner (1967), "Poliedros sesgados regulares en el espacio hiperbólico tridimensional", Canadian Journal of Mathematics , 19 : 1179–1186 , doi : 10.4153/CJM-1967-106-9
  • Grünbaum, Branko (1977), "Poliedros regulares: antiguos y nuevos" (PDF) , Aequationes Mathematicae , 16 ( 1– 2): 1– 20, doi : 10.1007/BF01836414 , S2CID 125049930 
  • McMullen, Peter; Schulte, Egon (1997). "Polítopos regulares en el espacio ordinario" (PDF) . Geometría discreta y computacional . 17 (47): 449– 478. doi : 10.1007/PL00009304 .
  • McMullen, Peter ; Schulte, Egon (2002), Abstract Regular Polytopes , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol.  92, Cambridge: Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511546686 , ISBN 0-521-81496-0, SR 1965665 
  • McMullen, Peter (2004). "Polítopos regulares de rango completo" (PDF) . Geometría discreta y computacional . 32 : 1–35 . doi : 10.1007/s00454-004-0848-5 .
  • Dress, Andreas (1985). "Una teoría combinatoria de los nuevos poliedros regulares de Grünbaum, Parte II: Enumeración completa". Aequationes Mathematicae . 29 : 222–243 . doi : 10.1007/BF02189831 . S2CID 121260389 . 
  • Mapas de Petrie-Coxeter revisados ​​PDF , Isabel Hubard, Egon Schulte, Asia Ivic Weiss, 2005
  • John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5,
  • Peter McMullen , Poliedros regulares de cuatro dimensiones , Geometría discreta y computacional, septiembre de 2007, volumen 38, número 2, págs. 355-387.
  • Coxeter , Politopos regulares , Tercera edición, (1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8
  • Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6Archivado el 11 de julio de 2016 en Wayback Machine.
    • (Artículo 2) HSM Coxeter, "Las esponjas regulares o poliedros sesgados", Scripta Mathematica 6 (1939) 240–244.
    • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • Coxeter , La belleza de la geometría: doce ensayos , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 5: Poliedros sesgados regulares en tres y cuatro dimensiones y sus análogos topológicos, Actas de la Sociedad Matemática de Londres, Serie 2, Vol. 43, 1937.)
    • Coxeter, Poliedros sesgados regulares HSM en tres y cuatro dimensiones. Proc. London Math. Soc. 43, 33–62, 1937.
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