Distribución logística

La distribución logística recibe su nombre de su función de distribución acumulativa , que es un ejemplo de la familia de funciones logísticas. La función de distribución acumulativa de la distribución logística es también una versión escalada de la tangente hiperbólica .

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tanh} \left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).}$

En esta ecuación, μ es la media y s es un parámetro de escala proporcional a la desviación estándar .

La función de densidad de probabilidad es la derivada parcial de la función de distribución acumulativa:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,s)&={\frac {\partial F(x;\mu ,s)}{\partial x}}={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{s\left(e^{(x-\mu )/(2s)}+e^{-(x-\mu )/(2s)}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{4s}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).\end{aligned}}}$

Cuando el parámetro de localización μ es 0 y el parámetro de escala s es 1, entonces la función de densidad de probabilidad de la distribución logística viene dada por   

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}}$

Debido a que esta función puede expresarse en términos del cuadrado de la función secante hiperbólica "sech", a veces se la denomina distribución sech-cuadrado(d) o distribución secante hiperbólica al cuadrado(d) . ^{[ 1 ]} Esto no debe confundirse con la distribución secante hiperbólica .

La función de distribución acumulativa inversa ( función cuantil ) de la distribución logística es una generalización de la función logit . Su derivada se denomina función de densidad cuantil. Se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle Q(p;\mu ,s)=\mu +s\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right).}$

${\displaystyle Q'(p;s)={\frac {s}{p(1-p)}}.}$

Se puede derivar una parametrización alternativa de la distribución logística expresando el parámetro de escala,${\displaystyle s}$, en términos de la desviación estándar,${\displaystyle \sigma }$, utilizando la sustitución${\displaystyle s\,=\,q\,\sigma }$, dónde${\displaystyle q\,=\,{\sqrt {3}}/{\pi }\,=\,0.551328895\ldots }$Las formas alternativas de las funciones anteriores son bastante sencillas.

Una de las aplicaciones más comunes se encuentra en la regresión logística , que se utiliza para modelar variables dependientes categóricas (por ejemplo, opciones de sí/no o una selección de 3 o 4 posibilidades), de forma similar a como la regresión lineal estándar se utiliza para modelar variables continuas (por ejemplo, ingresos o población). Específicamente, los modelos de regresión logística pueden formularse como modelos de variables latentes con variables de error que siguen una distribución logística. Esta formulación es común en la teoría de los modelos de elección discreta , donde la distribución logística desempeña el mismo papel en la regresión logística que la distribución normal en la regresión probit . De hecho, las distribuciones logística y normal tienen una forma bastante similar. Sin embargo, la distribución logística tiene colas más pesadas , lo que a menudo aumenta la robustez de los análisis basados ​​en ella en comparación con el uso de la distribución normal.

La PDF de esta distribución tiene la misma forma funcional que la derivada de la función de Fermi . En la teoría de las propiedades electrónicas en semiconductores y metales, esta derivada establece el peso relativo de las diversas energías electrónicas en sus contribuciones al transporte electrónico. Aquellos niveles de energía cuyas energías están más cerca de la "media" de la distribución ( nivel de Fermi ) dominan procesos como la conducción electrónica, con cierta dispersión inducida por la temperatura. ^{[ 2 ] : 34} Sin embargo, la distribución de probabilidad pertinente en la estadística de Fermi-Dirac es en realidad una distribución de Bernoulli simple , con el factor de probabilidad dado por la función de Fermi.

La distribución logística surge como distribución límite de un movimiento aleatorio amortiguado de velocidad finita descrito por un proceso telegráfico en el que los tiempos aleatorios entre cambios de velocidad consecutivos tienen distribuciones exponenciales independientes con parámetros que aumentan linealmente. ^{[ 3 ]}

En hidrología, la distribución del caudal fluvial y la precipitación de larga duración (por ejemplo, totales mensuales y anuales, que consisten en la suma de 30 y 360 valores diarios respectivamente) se suele considerar casi normal según el teorema del límite central . ^{[ 4 ]} Sin embargo, la distribución normal necesita una aproximación numérica. Como la distribución logística, que puede resolverse analíticamente, es similar a la distribución normal, puede utilizarse en su lugar. La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución logística a las precipitaciones de octubre ordenadas —que tienen una distribución casi normal— y muestra el cinturón de confianza del 90 % basado en la distribución binomial . Los datos de precipitación se representan trazando posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .

La Federación de Ajedrez de Estados Unidos ha cambiado su fórmula para calcular las puntuaciones de ajedrez, pasando de la distribución normal a la distribución logística; véase el artículo sobre el sistema de clasificación Elo (que a su vez se basa en la distribución normal).

El momento central de orden n se puede expresar en términos de la función cuantil:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}\,dF(x)\\&=\int _{0}^{1}{\big (}Q(p)-\mu {\big )}^{n}\,dp=s^{n}\int _{0}^{1}\left[\ln \!\left({\frac {p}{1-p}}\right)\right]^{n}\,dp.\end{aligned}}}$

Esta integral es bien conocida ^{[ 5 ]} y puede expresarse en términos de números de Bernoulli :

${\displaystyle \operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.}$