Nilmanifold

En matemáticas , una nilvariedad es una variedad diferenciable que tiene un grupo nilpotente transitivo de difeomorfismos que actúan sobre ella. Como tal, una nilvariedad es un ejemplo de espacio homogéneo y es difeomorfa al espacio cociente.${\displaystyle N/H}$, el cociente de un grupo de Lie nilpotente N módulo un subgrupo cerrado H. Esta noción fue introducida por Anatoly Mal'cev en 1949. ^{[ 1 ]}

En la categoría riemanniana, también existe una buena noción de nilvariedad. Una variedad riemanniana se denomina nilvariedad homogénea si existe un grupo nilpotente de isometrías que actúan transitivamente sobre ella. El requisito de que el grupo nilpotente transitivo actúe mediante isometrías conduce a la siguiente caracterización rígida: toda nilvariedad homogénea es isométrica a un grupo de Lie nilpotente con métrica invariante por la izquierda (véase Wilson ^{[ 2 ]} ).

Las nilmanifolds son objetos geométricos importantes y a menudo surgen como ejemplos concretos con propiedades interesantes; en geometría riemanniana, estos espacios siempre tienen curvatura mixta, ^{[ 3 ]} los espacios casi planos surgen como cocientes de nilmanifolds, ^{[ 4 ]} y las nilmanifolds compactas se han utilizado para construir ejemplos elementales de colapso de métricas riemannianas bajo el flujo de Ricci . ^{[ 5 ]}

Además de su papel en la geometría, las nilvariedades se consideran cada vez más importantes en la combinatoria aritmética (véase Green–Tao ^{[ 6 ]} ) y la teoría ergódica (véase, por ejemplo, Host–Kra ^{[ 7 ]} ).

Una forma de construir una nilvariedad compacta es comenzar con un grupo de Lie nilpotente simplemente conexo N y un subgrupo discreto.${\displaystyle \Gamma }$. Si el subgrupo${\displaystyle \Gamma }$actúa de forma cocompacta (mediante multiplicación por la derecha) sobre N , entonces la variedad cociente${\displaystyle N/\Gamma }$será una nilvariedad compacta. Como ha demostrado Mal'cev, toda nilvariedad compacta se obtiene de esta manera. ^{[ 1 ]}

tal subgrupo${\displaystyle \Gamma }$Como se indicó anteriormente, se denomina retículo en N. Es bien sabido que un grupo de Lie nilpotente admite un retículo si y solo si su álgebra de Lie admite una base con constantes de estructura racionales : este es el criterio de Mal'cev . No todos los grupos de Lie nilpotentes admiten retículos; para más detalles, véase también MS Raghunathan . ^{[ 8 ]}

Una nilvariedad riemanniana compacta es una variedad riemanniana compacta que es localmente isométrica a un grupo de Lie nilpotente con métrica invariante por la izquierda. Estos espacios se construyen de la siguiente manera. Sea${\displaystyle \Gamma }$Sea N un retículo en un grupo de Lie nilpotente simplemente conexo , como se indicó anteriormente. Dotemos a N con una métrica invariante por la izquierda (riemanniana). Entonces el subgrupo${\displaystyle \Gamma }$actúa mediante isometrías en N a través de la multiplicación por la izquierda. Por lo tanto, el cociente${\displaystyle \Gamma \backslash N}$es un espacio compacto localmente isométrico a N. Nota: este espacio es naturalmente difeomorfo a${\displaystyle N/\Gamma }$.

Las nilvariedades compactas también surgen como fibrados principales . Por ejemplo, consideremos un grupo de Lie nilpotente de dos pasos N que admite un retículo (véase más arriba). Sea${\displaystyle Z=[N,N]}$Sea Z el subgrupo conmutador de N. Denotemos por p la dimensión de Z y por q la codimensión de Z ; es decir, la dimensión de N es p+q. Se sabe (véase Raghunathan) que${\displaystyle Z\cap \Gamma }$es una red en Z. Por lo tanto,${\displaystyle G=Z/(Z\cap\Gamma)}$es un toro compacto p -dimensional. Dado que Z es central en N , el grupo G actúa sobre la nilvariedad compacta.${\displaystyle P=N/\Gamma }$con espacio de cociente${\displaystyle M=P/G}$. Esta variedad base M es un toro compacto q -dimensional. Se ha demostrado que todo fibrado de toro principal sobre un toro es de esta forma. ^{[ 9 ]} De manera más general, una nilvariedad compacta es un fibrado de toro, sobre un fibrado de toro, sobre... sobre un toro.

Como se mencionó anteriormente, las variedades casi planas son nilvariedades íntimamente compactas. Consulte ese artículo para obtener más información.

Históricamente, una nilvariedad compleja se definía como el cociente de un grupo de Lie nilpotente complejo sobre un retículo cocompacto . Un ejemplo de tal nilvariedad es una variedad de Iwasawa . A partir de la década de 1980, otra noción (más general) de nilvariedad compleja fue reemplazando gradualmente a esta.

Una estructura casi compleja en un álgebra de Lie real g es un endomorfismo.${\displaystyle I:\;g\rightarrow g}$que al cuadrado es − Id _g . Este operador se denomina estructura compleja si sus autoespacios, correspondientes a los autovalores ${\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}}$, son subálgebras en${\displaystyle g\otimes {\mathbb {C} }}$En este caso, I define una estructura compleja invariante por la izquierda en el grupo de Lie correspondiente. Dicha variedad ( G , I ) se denomina variedad de grupo complejo . Es fácil ver que toda variedad homogénea compleja conexa , dotada de una acción libre, transitiva y holomorfa por un grupo de Lie real, se obtiene de esta manera.

Sea G un grupo de Lie real y nilpotente. Una nilvariedad compleja es un cociente de una variedad de grupo compleja ( G , I ), dotada de una estructura compleja invariante por la izquierda, por una red discreta y cocompacta que actúa desde la derecha.

Las nilvariedades complejas no suelen ser homogéneas, al igual que las variedades complejas.

En dimensión compleja 2, las únicas nilvariedades complejas son un toro complejo y una superficie de Kodaira . ^{[ 10 ]}

Las nilvariedades compactas (excepto un toro) nunca son formales homotópicamente . ^{[ 11 ]} Esto implica inmediatamente que las nilvariedades compactas (excepto un toro) no pueden admitir una estructura de Kähler (véase también ^{[ 12 ]} ).

Topológicamente, todas las nilvariedades se pueden obtener como haces de toros iterados sobre un toro. Esto se ve fácilmente a partir de una filtración por series centrales ascendentes . ^{[ 13 ]}

Una construcción paralela basada en grupos de Lie resolubles produce una clase de espacios llamados solvmanifolds . Un ejemplo importante de solvmanifolds son las superficies de Inoue , conocidas en geometría compleja .