colector nulo

En matemáticas , una nilvariedad es una variedad diferenciable que tiene un grupo nilpotente transitivo de difeomorfismos que actúan sobre ella. Como tal, una nilvariedad es un ejemplo de un espacio homogéneo y es difeomorfa con respecto al espacio cociente , el cociente de un grupo de Lie nilpotente N módulo un subgrupo cerrado H. Esta noción fue introducida por Anatoly Mal'cev en 1949. ^[1] ${\estilo de visualización N/H}$

En la categoría de Riemann, también existe una buena noción de nilvariedad. Una variedad de Riemann se llama nilvariedad homogénea si existe un grupo nilpotente de isometrías que actúan transitivamente sobre ella. El requisito de que el grupo nilpotente transitivo actúe por isometrías conduce a la siguiente caracterización rígida: cada nilvariedad homogénea es isométrica a un grupo de Lie nilpotente con métrica invariante por la izquierda (véase Wilson ^[2] ).

Las nilvariedades son objetos geométricos importantes y a menudo surgen como ejemplos concretos con propiedades interesantes; en la geometría de Riemann, estos espacios siempre tienen curvatura mixta, ^[3] los espacios casi planos surgen como cocientes de nilvariedades, ^[4] y las nilvariedades compactas se han utilizado para construir ejemplos elementales de colapso de métricas de Riemann bajo el flujo de Ricci . ^[5]

Además de su papel en geometría, cada vez se considera más que las variedades nulas tienen un papel en la combinatoria aritmética (véase Green–Tao ^[6] ) y en la teoría ergódica (véase, por ejemplo, Host–Kra ^[7] ).

Una nilvariedad compacta es una nilvariedad que es compacta. Una forma de construir tales espacios es comenzar con un grupo de Lie nilpotente simplemente conexo N y un subgrupo discreto . Si el subgrupo actúa de manera cocompacta (mediante multiplicación por la derecha) sobre N , entonces la variedad cociente será una nilvariedad compacta. Como ha demostrado Mal'cev, toda nilvariedad compacta se obtiene de esta manera. ^[1]${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\displaystyle N/\Gamma}$

Un subgrupo como el anterior se denomina red en N. Es bien sabido que un grupo de Lie nilpotente admite una red si y solo si su álgebra de Lie admite una base con constantes de estructura racionales : este es el criterio de Mal'cev . No todos los grupos de Lie nilpotentes admiten redes; para más detalles, véase también MS Raghunathan . ^[8]${\estilo de visualización \Gamma}$

Una nilvariedad riemanniana compacta es una variedad riemanniana compacta que es localmente isométrica a un grupo de Lie nilpotente con métrica invariante por la izquierda. Estos espacios se construyen de la siguiente manera. Sea una red en un grupo de Lie nilpotente simplemente conexo N , como se indica arriba. Dotemos a N de una métrica (riemanniana) invariante por la izquierda. Entonces el subgrupo actúa por isometrías sobre N mediante multiplicación por la izquierda. Por lo tanto, el cociente es un espacio compacto localmente isométrico a N . Nota: este espacio es naturalmente difeomorfo a . ${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\displaystyle \Gamma \barra invertida N}$${\displaystyle N/\Gamma}$

Las nilvariedades compactas también surgen como fibrados principales . Por ejemplo, considérese un grupo de Lie nilpotente de 2 pasos N que admite una red (véase más arriba). Sea el subgrupo conmutador de N . Denotemos por p la dimensión de Z y por q la codimensión de Z ; es decir, la dimensión de N es p+q. Se sabe (véase Raghunathan) que es una red en Z . Por lo tanto, es un toro compacto de dimensión p . Como Z es central en N , el grupo G actúa sobre la nilvariedad compacta con espacio cociente . Esta variedad base M es un toro compacto de dimensión q . Se ha demostrado que todo fibrado toral principal sobre un toro es de esta forma, véase. ^[9] De manera más general, una nilvariedad compacta es un fibrado toral, sobre un fibrado toral, sobre...sobre un toro. ${\displaystyle Z=[N,N]}$${\displaystyle Z\cap\Gamma}$${\displaystyle G=Z/(Z\cap\Gamma)}$${\displaystyle P=N/\Gamma}$${\displaystyle M=P/G}$

Como se mencionó anteriormente, las variedades casi planas son variedades nil íntimamente compactas. Consulte ese artículo para obtener más información.

Históricamente, una nilvariedad compleja significaba un cociente de un grupo de Lie nilpotente complejo sobre una red cocompacta . Un ejemplo de una nilvariedad de este tipo es una variedad de Iwasawa . A partir de la década de 1980, otra noción (más general) de nilvariedad compleja reemplazó gradualmente a esta.

Una estructura casi compleja en un álgebra de Lie real g es un endomorfismo que eleva al cuadrado −Id _g . Este operador se denomina estructura compleja si sus espacios propios, correspondientes a los valores propios , son subálgebras en . En este caso, I define una estructura compleja invariante por la izquierda en el grupo de Lie correspondiente. Una variedad de este tipo ( G , I ) se denomina variedad de grupo complejo . Es fácil ver que toda variedad homogénea compleja conexa equipada con una acción libre, transitiva y holomorfa por un grupo de Lie real se obtiene de esta manera. ${\displaystyle I:\;g\rightarrow g}$${\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle g\otimes {\mathbb {C} }}$

Sea G un grupo de Lie real nilpotente. Una nilvariedad compleja es un cociente de una variedad de grupo compleja ( G , I ), dotada de una estructura compleja invariante por la izquierda, mediante una red discreta y cocompacta, que actúa desde la derecha.

Las variedades nulas complejas no suelen ser homogéneas, como las variedades complejas.

En dimensión compleja 2, las únicas variedades nulas complejas son un toro complejo y una superficie Kodaira . ^[10]

Las nilvariedades compactas (excepto un toro) nunca son homotópicamente formales . ^[11] Esto implica inmediatamente que las nilvariedades compactas (excepto un toro) no pueden admitir una estructura de Kähler (véase también ^[12] ).

Topológicamente, todas las variedades nulas se pueden obtener como fibrados iterados de toros sobre un toro. Esto se ve fácilmente a partir de una filtración por series centrales ascendentes . ^[13]

De la definición anterior de nilvariedades homogéneas, se desprende claramente que cualquier grupo de Lie nilpotente con métrica invariante por la izquierda es una nilvariedad homogénea. Los grupos de Lie nilpotentes más conocidos son los grupos matriciales cuyas entradas diagonales son 1 y cuyas entradas diagonales inferiores son todas ceros.

Por ejemplo, el grupo de Heisenberg es un grupo de Lie nilpotente de 2 pasos. Este grupo de Lie nilpotente también es especial porque admite un cociente compacto. El grupo estaría formado por las matrices triangulares superiores con coeficientes enteros. La nilvariedad resultante es tridimensional. Un posible dominio fundamental es (isomorfo a) [0,1] ³ con las caras identificadas de forma adecuada. Esto se debe a que un elemento de la nilvariedad puede representarse mediante el elemento en el dominio fundamental. Aquí denota la función de suelo de x , y la parte fraccionaria . La aparición de la función de suelo aquí es una pista de la relevancia de las nilvariedades para la combinatoria aditiva: los denominados polinomios de corchete, o polinomios generalizados, parecen ser importantes en el desarrollo del análisis de Fourier de orden superior. ^[6]${\estilo de visualización \Gamma}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x&z\\&1&y\\&&1\end{pmatrix}}\Gamma }$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\{x\}&\{zx\lfloor y\rfloor \}\\&1&\{y\}\\&&1\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \lpiso x\rpiso}$${\estilo de visualización \{x\}}$

Un ejemplo más simple sería cualquier grupo de Lie abeliano. Esto se debe a que cualquier grupo de este tipo es un grupo de Lie nilpotente. Por ejemplo, se puede tomar el grupo de números reales bajo la adición y el subgrupo discreto y cocompacto que consiste en los números enteros. La nilvariedad de 1 paso resultante es el círculo familiar . Otro ejemplo familiar podría ser el 2-toro compacto o el espacio euclidiano bajo la adición. ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

Una construcción paralela basada en grupos de Lie resolubles produce una clase de espacios llamados solvvariedades . Un ejemplo importante de solvvariedades son las superficies de Inoue , conocidas en geometría compleja .