Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Termodinámica del no equilibrio

La termodinámica del no equilibrio es una rama de la termodinámica que se ocupa de los sistemas físicos que no se encuentran en equilibrio termodinámico , pero que pueden descri...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

La termodinámica del no equilibrio es una rama de la termodinámica que se ocupa de los sistemas físicos que no se encuentran en equilibrio termodinámico , pero que pueden describirse en términos de magnitudes macroscópicas (variables de estado de no equilibrio) que representan una extrapolación de las variables utilizadas para especificar el sistema en equilibrio termodinámico. La termodinámica del no equilibrio se ocupa de los procesos de transporte y de las velocidades de las reacciones químicas .

Casi todos los sistemas que se encuentran en la naturaleza no están en equilibrio termodinámico, ya que cambian o pueden ser inducidos a cambiar con el tiempo, y están sujetos de forma continua y discontinua al flujo de materia y energía hacia y desde otros sistemas y a reacciones químicas. Sin embargo, muchos sistemas y procesos pueden considerarse en equilibrio local, lo que permite su descripción mediante la termodinámica del equilibrio actualmente conocida. [ 1 ] No obstante, algunos sistemas y procesos naturales quedan fuera del alcance de los métodos de la termodinámica del equilibrio debido a la existencia de dinámicas no variacionales, donde se pierde el concepto de energía libre . [ 2 ]

El estudio termodinámico de sistemas fuera del equilibrio requiere conceptos más generales que los que se abordan en la termodinámica del equilibrio . [ 3 ] Una diferencia fundamental entre la termodinámica del equilibrio y la termodinámica del no equilibrio radica en el comportamiento de los sistemas inhomogéneos, cuyo estudio requiere el conocimiento de velocidades de reacción que no se consideran en la termodinámica del equilibrio de sistemas homogéneos. Esto se analiza más adelante. Otra diferencia fundamental y muy importante es la dificultad de definir la entropía en un instante de tiempo en términos macroscópicos para sistemas que no se encuentran en equilibrio termodinámico. Sin embargo, esto puede hacerse localmente, y la entropía macroscópica vendrá dada por la integral de la densidad de entropía definida localmente. Se ha descubierto que muchos sistemas muy alejados del equilibrio global aún obedecen al concepto de equilibrio local. [ 4 ]

Alcance

Diferencia entre termodinámica de equilibrio y de no equilibrio

Una profunda diferencia separa la termodinámica del equilibrio de la del no equilibrio. La termodinámica del equilibrio ignora la evolución temporal de los procesos físicos. En cambio, la termodinámica del no equilibrio intenta describir dicha evolución con detalle continuo.

La termodinámica del equilibrio restringe sus consideraciones a procesos que tienen estados iniciales y finales de equilibrio termodinámico; las trayectorias temporales de los procesos se ignoran deliberadamente. La termodinámica del no equilibrio, por otro lado, que intenta describir trayectorias temporales continuas, necesita que sus variables de estado tengan una conexión muy estrecha con las de la termodinámica del equilibrio. [ 5 ] Este problema conceptual se supera bajo la suposición de equilibrio local, que implica que las relaciones que se cumplen entre las variables de estado macroscópicas en equilibrio se cumplen localmente, también fuera del equilibrio. [ 1 ] A lo largo de las últimas décadas, la suposición de equilibrio local se ha puesto a prueba y se ha comprobado que se cumple en condiciones cada vez más extremas, como en el frente de choque de explosiones violentas, en superficies reactivas y bajo gradientes térmicos extremos. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

Así, la termodinámica del no equilibrio proporciona un marco coherente para modelar no solo los estados inicial y final de un sistema, sino también su evolución en el tiempo. Junto con el concepto de producción de entropía, esto constituye una herramienta poderosa para la optimización de procesos y proporciona una base teórica para el análisis de exergía . [ 1 ]

Variables de estado de no equilibrio

La relación adecuada que define las variables de estado termodinámicas de no equilibrio es la siguiente. Cuando el sistema se encuentra en equilibrio local, las variables de estado de no equilibrio pueden medirse localmente con suficiente precisión mediante las mismas técnicas que se utilizan para medir las variables de estado termodinámicas, o mediante las derivadas temporales y espaciales correspondientes, incluidos los flujos de materia y energía. En general, los sistemas termodinámicos de no equilibrio presentan no uniformidad espacial y temporal, pero su no uniformidad aún conserva un grado de suavidad suficiente para permitir la existencia de derivadas temporales y espaciales adecuadas de las variables de estado de no equilibrio.

Debido a la no uniformidad espacial, las variables de estado de no equilibrio que corresponden a variables de estado termodinámicas extensivas deben definirse como densidades espaciales de las variables de estado de equilibrio extensivas correspondientes. Cuando el sistema está en equilibrio local, las variables de estado de no equilibrio intensivas, por ejemplo la temperatura y la presión, se corresponden estrechamente con las variables de estado de equilibrio. Es necesario que las sondas de medición sean lo suficientemente pequeñas y respondan con la suficiente rapidez para capturar la no uniformidad relevante. Además, se requiere que las variables de estado de no equilibrio estén relacionadas funcionalmente entre sí de forma que se asemejen adecuadamente a las relaciones correspondientes entre las variables de estado termodinámicas de equilibrio. [ 10 ] En realidad, se ha demostrado que estos requisitos, aunque estrictos, se cumplen incluso en condiciones extremas, como durante las transiciones de fase, en las interfaces reactivas y en las gotas de plasma rodeadas de aire ambiente. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] Sin embargo, existen situaciones en las que hay efectos no lineales apreciables incluso a escala local. [ 14 ] [ 15 ]

Descripción general

Algunos conceptos de particular importancia para la termodinámica del no equilibrio incluyen la tasa de disipación de energía en el tiempo (Rayleigh 1873, [ 16 ] Onsager 1931, [ 17 ] también [ 10 ] [ 18 ] ), la tasa de producción de entropía en el tiempo (Onsager 1931), [ 17 ] campos termodinámicos, [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] estructura disipativa , [ 5 ] y estructura dinámica no lineal. [ 18 ]

Un problema de interés es el estudio termodinámico de los estados estacionarios de no equilibrio , en los que la producción de entropía y algunos flujos no son cero, pero no hay variación temporal de las variables físicas.

Un enfoque inicial de la termodinámica del no equilibrio se denomina a veces «termodinámica irreversible clásica». [ 22 ] Existen otros enfoques de la termodinámica del no equilibrio, por ejemplo, la termodinámica irreversible extendida , [ 22 ] [ 23 ] la termodinámica generalizada, [ 24 ] y la hidrodinámica generalizada , pero apenas se abordan en el presente artículo.

Termodinámica de la materia en condiciones de laboratorio, prácticamente sin radiación y en desequilibrio.

Según Wildt [ 25 ] (véase también Essex [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] ), las versiones actuales de la termodinámica del no equilibrio ignoran el calor radiante; pueden hacerlo porque se refieren a cantidades de materia de laboratorio en condiciones de laboratorio con temperaturas muy inferiores a las de las estrellas. A temperaturas de laboratorio, en cantidades de materia de laboratorio, la radiación térmica es débil y puede prácticamente ignorarse. Pero, por ejemplo, la física atmosférica se ocupa de grandes cantidades de materia, que ocupan kilómetros cúbicos, que, consideradas en su conjunto, no se encuentran dentro del rango de cantidades de laboratorio; entonces la radiación térmica no puede ignorarse.

termodinámica del equilibrio local

Los términos «termodinámica irreversible clásica» [ 22 ] y «termodinámica de equilibrio local» se utilizan a veces para referirse a una versión de la termodinámica de no equilibrio que exige ciertas suposiciones simplificadoras, como se indica a continuación. Estas suposiciones tienen el efecto de hacer que cada elemento de volumen muy pequeño del sistema sea efectivamente homogéneo, o bien mezclado, o sin una estructura espacial efectiva. Incluso dentro del marco conceptual de la termodinámica irreversible clásica, se requiere cuidado [ 18 ] al elegir las variables independientes [ 29 ] para los sistemas. En algunos escritos, se supone que las variables intensivas de la termodinámica de equilibrio son suficientes como variables independientes para la tarea (se considera que dichas variables no tienen «memoria» y no muestran histéresis ); en particular, las variables intensivas de flujo local no se admiten como variables independientes; los flujos locales se consideran dependientes de variables intensivas locales cuasiestáticas.

También se asume que la densidad de entropía local es la misma función de las otras variables intensivas locales que en el equilibrio; esto se denomina la suposición de equilibrio termodinámico local [ 10 ] [ 18 ] [ 5 ] [ 23 ] [ 6 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] (véase también Keizer (1987) [ 33 ] ). La radiación se ignora porque es una transferencia de energía entre regiones, que pueden estar alejadas entre sí. En el enfoque termodinámico irreversible clásico, se permite la variación espacial de un elemento de volumen infinitesimal a otro adyacente, pero se asume que la entropía global del sistema puede obtenerse mediante una simple integración espacial de la densidad de entropía local. Este enfoque asume continuidad espacial y temporal, e incluso diferenciabilidad, de variables intensivas definidas localmente, como la temperatura y la densidad de energía interna. Aunque estas exigencias puedan parecer muy restrictivas, se ha comprobado que las suposiciones de equilibrio local se cumplen para una amplia variedad de sistemas, incluidas las interfaces reactivas, en las superficies de los catalizadores, en sistemas confinados como las zeolitas, bajo gradientes de temperatura tan grandes como1012{\displaystyle 10^{12}}K m−1{\displaystyle ^{-1}}, e incluso en frentes de choque que se mueven hasta seis veces la velocidad del sonido. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 34 ]

En otros escritos, se consideran variables de flujo locales; estas podrían considerarse clásicas por analogía con los promedios temporales a largo plazo invariantes en el tiempo de flujos producidos por procesos cíclicos repetidos sin fin; ejemplos con flujos se encuentran en los fenómenos termoeléctricos conocidos como los efectos Seebeck y Peltier, considerados por Kelvin en el siglo XIX y por Lars Onsager en el siglo XX. [ 6 ] [ 35 ] Estos efectos ocurren en uniones metálicas, que originalmente fueron tratadas efectivamente como superficies bidimensionales, sin volumen espacial y sin variación espacial.

Termodinámica de equilibrio local con materiales con "memoria"

Una extensión adicional de la termodinámica de equilibrio local consiste en permitir que los materiales puedan tener "memoria", de modo que sus ecuaciones constitutivas dependan no solo de los valores presentes, sino también de los valores pasados ​​de las variables de equilibrio local. Así, el tiempo adquiere mayor relevancia que en la termodinámica de equilibrio local dependiente del tiempo con materiales sin memoria, pero los flujos no son variables de estado independientes. [ 36 ]

Termodinámica irreversible extendida

La termodinámica irreversible extendida es una rama de la termodinámica del no equilibrio que trasciende la restricción de la hipótesis de equilibrio local. El espacio de variables de estado se amplía al incluir los flujos de masa, momento y energía, y eventualmente flujos de orden superior. Este formalismo resulta idóneo para describir procesos de alta frecuencia y materiales a escalas de longitud reducidas.

Conceptos básicos

Existen numerosos ejemplos de sistemas estacionarios fuera del equilibrio, algunos muy simples, como un sistema confinado entre dos termostatos a diferentes temperaturas o el flujo de Couette ordinario , un fluido encerrado entre dos paredes planas que se mueven en direcciones opuestas y que definen condiciones de no equilibrio en las paredes. La acción láser también es un proceso fuera del equilibrio, pero depende de la desviación del equilibrio termodinámico local y, por lo tanto, está fuera del alcance de la termodinámica irreversible clásica; aquí se mantiene una fuerte diferencia de temperatura entre dos grados de libertad moleculares (con láser molecular, movimiento molecular vibracional y rotacional), lo que requiere dos "temperaturas" componentes en una pequeña región del espacio, lo que excluye el equilibrio termodinámico local, que exige que solo se necesite una temperatura. La amortiguación de perturbaciones acústicas u ondas de choque son procesos no estacionarios fuera del equilibrio. Los fluidos complejos impulsados , los sistemas turbulentos y los vidrios son otros ejemplos de sistemas fuera del equilibrio.

La mecánica de los sistemas macroscópicos depende de varias magnitudes extensivas. Es importante destacar que todos los sistemas interactúan permanentemente con su entorno, lo que provoca fluctuaciones inevitables de dichas magnitudes . Las condiciones de equilibrio de los sistemas termodinámicos están relacionadas con la propiedad máxima de la entropía. Si la única magnitud extensiva que puede fluctuar es la energía interna, manteniendo todas las demás estrictamente constantes, la temperatura del sistema es medible y significativa. En este caso, las propiedades del sistema se describen de forma más conveniente mediante la energía libre de Helmholtz ( A = U - TS ), una transformación de Legendre de la energía. Si, además de las fluctuaciones de la energía, las dimensiones macroscópicas (volumen) del sistema fluctúan, utilizamos la energía libre de Gibbs ( G = U + PV - TS ), donde las propiedades del sistema están determinadas tanto por la temperatura como por la presión.

Los sistemas fuera del equilibrio son mucho más complejos y pueden experimentar fluctuaciones de cantidades más extensas. Las condiciones de contorno les imponen variables intensivas particulares, como gradientes de temperatura o movimientos colectivos distorsionados (movimientos de cizallamiento, vórtices, etc.), a menudo denominados fuerzas termodinámicas. Si bien las energías libres son muy útiles en la termodinámica del equilibrio, cabe destacar que no existe una ley general que defina las propiedades estacionarias fuera del equilibrio de la energía, como lo hace la segunda ley de la termodinámica para la entropía en la termodinámica del equilibrio. Por ello, en tales casos se debe considerar una transformación de Legendre más generalizada. Este es el potencial de Massieu extendido. Por definición, la entropía ( S ) es una función del conjunto de cantidades extensivas.mii{\displaystyle E_{i}}Cada cantidad extensiva tiene una variable intensiva conjugada.Ii{\displaystyle I_{i}}(Aquí se utiliza una definición restringida de variable intensiva en comparación con la definición que se da en este enlace) de modo que:

Ii=∂S∂mii.{\displaystyle I_{i}={\frac {\partial {S}}{\partial {E_{i}}}}.}

A continuación, definimos la función de Massieu extendida de la siguiente manera:

 kBMETRO=S−∑i(Iimii),{\displaystyle \ k_{\rm {B}}M=S-\sum _{i}(I_{i}E_{i}),}

dónde kB{\displaystyle \ k_{\rm {B}}}es la constante de Boltzmann , de donde

 kBdMETRO=∑i(miidIi).{\displaystyle \ k_{\rm {B}}\,dM=\sum _{i}(E_{i}\,dI_{i}).}

Las variables independientes son las intensidades.

Las intensidades son valores globales, válidos para el sistema en su conjunto. Cuando los límites imponen al sistema diferentes condiciones locales (por ejemplo, diferencias de temperatura), existen variables intensivas que representan el valor promedio y otras que representan gradientes o momentos de orden superior. Estos últimos son las fuerzas termodinámicas que impulsan los flujos de propiedades extensivas a través del sistema.

Se puede demostrar que la transformación de Legendre cambia la condición máxima de la entropía (válida en el equilibrio) a una condición mínima de la función de Massieu extendida para estados estacionarios, independientemente de si se está en equilibrio o no.

Estados estacionarios, fluctuaciones y estabilidad

En termodinámica, a menudo interesa el estado estacionario de un proceso, considerando que dicho estado puede incluir fluctuaciones impredecibles e irreproducibles experimentalmente. Estas fluctuaciones se deben a los subprocesos internos del sistema y al intercambio de materia o energía con su entorno, lo que genera las restricciones que definen el proceso.

Si el estado estacionario del proceso es estable, entonces las fluctuaciones no reproducibles implican disminuciones transitorias locales de entropía. La respuesta reproducible del sistema es entonces aumentar la entropía de nuevo a su máximo mediante procesos irreversibles: la fluctuación no puede reproducirse con un nivel significativo de probabilidad. Las fluctuaciones alrededor de estados estacionarios estables son extremadamente pequeñas excepto cerca de puntos críticos (Kondepudi y Prigogine 1998, página 323). [ 37 ] El estado estacionario estable tiene un máximo local de entropía y es localmente el estado más reproducible del sistema. Hay teoremas sobre la disipación irreversible de fluctuaciones. Aquí 'local' significa local con respecto al espacio abstracto de coordenadas termodinámicas del estado del sistema.

Si el estado estacionario es inestable, cualquier fluctuación provocará casi con seguridad una ruptura prácticamente explosiva del sistema respecto a dicho estado. Esto puede ir acompañado de un aumento en la exportación de entropía.

Equilibrio termodinámico local

El alcance de la termodinámica del no equilibrio actual no abarca todos los procesos físicos. Una condición para la validez de muchos estudios en termodinámica del no equilibrio de la materia es que traten lo que se conoce como equilibrio termodinámico local .

asunto que merece reflexión

El equilibrio termodinámico local de la materia [ 10 ] [ 5 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] (véase también Keizer (1987) [ 33 ] significa que, conceptualmente, para su estudio y análisis, el sistema puede dividirse espacial y temporalmente en «células» o «microfases» de tamaño pequeño (infinitesimal), en las que se cumplen las condiciones clásicas de equilibrio termodinámico para la materia con buena aproximación. Estas condiciones no se cumplen, por ejemplo, en gases muy enrarecidos, en los que las colisiones moleculares son infrecuentes; y en las capas límite de una estrella, donde la radiación transfiere energía al espacio; y para fermiones interactuantes a muy baja temperatura, donde los procesos disipativos se vuelven ineficaces. Cuando se definen estas «células», se admite que la materia y la energía pueden pasar libremente entre «células» contiguas, lo suficientemente lento como para dejar las «células» en sus respectivos equilibrios termodinámicos locales individuales con respecto a las variables intensivas.

Aquí se pueden considerar dos "tiempos de relajación" separados por un orden de magnitud. [ 38 ] El tiempo de relajación más largo es del orden de magnitud de los tiempos que tarda en cambiar la estructura dinámica macroscópica del sistema. El más corto es del orden de magnitud de los tiempos que tarda una sola "célula" en alcanzar el equilibrio termodinámico local. Si estos dos tiempos de relajación no están bien separados, entonces el concepto clásico de equilibrio termodinámico local en la termodinámica de no equilibrio pierde su significado [ 38 ] y deben proponerse otros enfoques, véase, por ejemplo, Termodinámica irreversible extendida . Por ejemplo, en la atmósfera, la velocidad del sonido es mucho mayor que la velocidad del viento; esto favorece la idea del equilibrio termodinámico local de la materia para estudios de transferencia de calor atmosférica a altitudes inferiores a unos 60  km donde el sonido se propaga, pero no por encima de los 100  km, donde, debido a la escasez de colisiones intermoleculares, el sonido no se propaga.

La definición de Milne en términos de equilibrio radiativo

Edward A. Milne , pensando en las estrellas, dio una definición de «equilibrio termodinámico local» en términos de la radiación térmica de la materia en cada pequeña «celda» local. [ 39 ] Definió el «equilibrio termodinámico local» en una «celda» exigiendo que esta absorbiera y emitiera radiación espontáneamente a nivel macroscópico, como si estuviera en equilibrio radiativo en una cavidad a la temperatura de la materia de la «celda». Entonces, obedece estrictamente la ley de Kirchhoff de igualdad entre la emisividad y la absortividad radiativas, con una función fuente de cuerpo negro. La clave del equilibrio termodinámico local en este caso es que la tasa de colisiones de partículas de materia ponderables, como las moléculas, debe superar con creces las tasas de creación y aniquilación de fotones.

Entropía en sistemas en evolución

WT Grandy Jr. [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] señala que la entropía, si bien puede definirse para un sistema fuera del equilibrio, es —en sentido estricto— solo una magnitud macroscópica que se refiere a todo el sistema, y ​​no una variable dinámica; en general, no actúa como un potencial local que describa fuerzas físicas locales. Sin embargo, en circunstancias especiales, se puede pensar metafóricamente como si las variables térmicas se comportaran como fuerzas físicas locales. La aproximación que constituye la termodinámica irreversible clásica se basa en este pensamiento metafórico.

Este punto de vista comparte muchos puntos en común con el concepto y el uso de la entropía en la termomecánica continua, [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] que evolucionó completamente independientemente de la mecánica estadística y los principios de máxima entropía.

Entropía en desequilibrio

Para describir la desviación del sistema termodinámico del equilibrio, además de las variables constitutivasincógnita1,incógnita2,...,incógnitanorte{\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}que se utilizan para fijar el estado de equilibrio, como se describió anteriormente, un conjunto de variablesξ1,ξ2,…{\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots }Se han introducido las llamadas variables internas . El estado de equilibrio se considera estable y la propiedad principal de las variables internas, como medidas del desequilibrio del sistema, es su tendencia a desaparecer; la ley local de desaparición puede escribirse como una ecuación de relajación para cada variable interna.

dóndeτi=τi(T,incógnita1,incógnita2,…,incógnitanorte){\displaystyle \tau _{i}=\tau _{i}(T,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}es un tiempo de relajación de las variables correspondientes. Es conveniente considerar el valor inicial.ξi0{\displaystyle \xi _{i}^{0}}son iguales a cero. La ecuación anterior es válida para pequeñas desviaciones del equilibrio; la dinámica de las variables internas en el caso general es considerada por Pokrovskii. [ 48 ]

La entropía del sistema en desequilibrio es una función del conjunto total de variables.

La contribución esencial a la termodinámica de los sistemas fuera del equilibrio fue aportada por el premio Nobel Ilya Prigogine , cuando él y sus colaboradores investigaron los sistemas de sustancias químicamente reactivas. Los estados estacionarios de dichos sistemas existen debido al intercambio de partículas y energía con el entorno. En la sección 8 del tercer capítulo de su libro, [ 49 ] Prigogine especificó tres contribuciones a la variación de la entropía del sistema considerado a un volumen dado y temperatura constante.T{\displaystyle T}. El incremento de entropíaS{\displaystyle S}se puede calcular según la fórmula

El primer término del lado derecho de la ecuación representa un flujo de energía térmica hacia el sistema; el último término, una parte de un flujo de energía.hα{\displaystyle h_{\alpha }}ingresando al sistema con el flujo de partículas de sustanciasΔnorteα{\displaystyle \Delta N_{\alpha }}que puede ser positivo o negativo,ηα=hα−μα{\displaystyle \eta _{\alpha }=h_{\alpha }-\mu _{\alpha }}, dónde μα{\displaystyle \mu _{\alpha }}es el potencial químico de la sustanciaα{\displaystyle \alpha }El término central en (1) representa la disipación de energía ( producción de entropía ) debido a la relajación de las variables internas.ξj{\displaystyle \xi _{j}}En el caso de sustancias químicamente reactivas, investigadas por Prigogine, las variables internas parecen ser medidas de la incompletitud de las reacciones químicas, es decir, medidas de cuánto se desvía el sistema considerado con reacciones químicas del equilibrio. La teoría puede generalizarse, [ 50 ] [ 48 ] para considerar cualquier desviación del estado de equilibrio como una variable interna, de modo que consideramos el conjunto de variables internas.ξj{\displaystyle \xi _{j}}en la ecuación (1) consiste en las cantidades que definen no solo los grados de completitud de todas las reacciones químicas que ocurren en el sistema, sino también la estructura del sistema, los gradientes de temperatura, la diferencia de concentraciones de sustancias, etc.

Flujos y fuerzas

La relación fundamental de la termodinámica del equilibrio clásico [ 51 ]

dS=1TdU+pagTdV−∑i=1sμiTdnortei{\displaystyle dS={\frac {1}{T}}dU+{\frac {p}{T}}dV-\sum _{i=1}^{s}{\frac {\mu _{i}}{T}}dN_{i}}

expresa el cambio de entropíadS{\displaystyle dS}de un sistema en función de las cantidades intensivas temperaturaT{\displaystyle T}, presiónpag{\displaystyle p}yith{\displaystyle i^{th}}potencial químicoμi{\displaystyle \mu _{i}}y de los diferenciales de las cantidades extensas de energíaU{\displaystyle U}, volumenV{\displaystyle V}yith{\displaystyle i^{th}}número de partículasnortei{\displaystyle N_{i}}.

Siguiendo a Onsager (1931,I), [ 17 ] extendamos nuestras consideraciones a sistemas termodinámicamente fuera de equilibrio. Como base, necesitamos versiones definidas localmente de las cantidades macroscópicas extensas.U{\displaystyle U},V{\displaystyle V}ynortei{\displaystyle N_{i}}y de las cantidades macroscópicas intensivasT{\displaystyle T},pag{\displaystyle p}yμi{\displaystyle \mu _{i}}.

Para estudios clásicos de no equilibrio, consideraremos algunas nuevas variables macroscópicas intensivas definidas localmente. En condiciones adecuadas, podemos derivar estas nuevas variables definiendo localmente los gradientes y las densidades de flujo de las magnitudes macroscópicas básicas definidas localmente.

Estos gradientes definidos localmente de variables macroscópicas intensivas se denominan «fuerzas termodinámicas». Estas fuerzas «impulsan» densidades de flujo, a menudo llamadas erróneamente «flujos», que son duales a dichas fuerzas. Estas magnitudes se definen en el artículo sobre las relaciones recíprocas de Onsager .

Establecer la relación entre dichas fuerzas y densidades de flujo es un problema en mecánica estadística. Densidades de flujo (Ji{\displaystyle J_{i}}) pueden estar acoplados. El artículo sobre las relaciones recíprocas de Onsager considera el régimen termodinámicamente no equilibrado estable casi estacionario, que tiene una dinámica lineal en las fuerzas y las densidades de flujo.

En condiciones estacionarias, dichas fuerzas y las densidades de flujo asociadas son, por definición, invariantes en el tiempo, al igual que la entropía y la tasa de producción de entropía definidas localmente por el sistema. Cabe destacar que, según Ilya Prigogine y otros, cuando un sistema abierto se encuentra en condiciones que le permiten alcanzar un estado estacionario estable de no equilibrio termodinámico, se organiza de manera que se minimice la producción total de entropía definida localmente. Esto se analiza con más detalle a continuación.

Se busca llevar el análisis a una etapa más avanzada, describiendo el comportamiento de las integrales de superficie y volumen de magnitudes locales no estacionarias; estas integrales son flujos macroscópicos y tasas de producción. En general, la dinámica de estas integrales no se describe adecuadamente mediante ecuaciones lineales, aunque en casos especiales sí es posible.

Relaciones recíprocas de Onsager

Siguiendo la Sección III de Rayleigh (1873), [ 16 ] Onsager (1931, I) [ 17 ] demostró que en el régimen donde ambos flujos (Ji{\displaystyle J_{i}}) son pequeñas y las fuerzas termodinámicas (Fi{\displaystyle F_{i}}) varían lentamente, la tasa de creación de entropía(σ){\displaystyle (\sigma )}está relacionado linealmente con los flujos:

σ=∑iJi∂Fi∂incógnitai{\displaystyle \sigma =\sum _{i}J_{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{i}}}}

y los flujos están relacionados con el gradiente de las fuerzas, parametrizado por una matriz de coeficientes que convencionalmente se denotaL{\displaystyle L}:

Ji=∑jLij∂Fj∂incógnitaj{\displaystyle J_{i}=\sum _{j}L_{ij}{\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{j}}}}

De lo cual se deduce que:

σ=∑i,jLij∂Fi∂incógnitai∂Fj∂incógnitaj{\displaystyle \sigma =\sum _{i,j}L_{ij}{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{j}}}}

La segunda ley de la termodinámica requiere que la matrizL{\displaystyle L}ser definida positiva . Las consideraciones de mecánica estadística que involucran la reversibilidad microscópica de la dinámica implican que la matrizL{\displaystyle L}es simétrico . Este hecho se denomina relaciones recíprocas de Onsager .

La generalización de las ecuaciones anteriores para la tasa de creación de entropía fue dada por Pokrovskii. [ 48 ]

Principios extremos hipotéticos para procesos de no equilibrio

Hasta hace poco, las perspectivas de principios extremos útiles en esta área parecían nubladas. Nicolis (1999) [ 52 ] concluye que un modelo de dinámica atmosférica tiene un atractor que no es un régimen de disipación máxima o mínima; dice que esto parece descartar la existencia de un principio organizador global, y comenta que esto es hasta cierto punto decepcionante; también señala la dificultad de encontrar una forma termodinámicamente consistente de producción de entropía. Otro experto destacado ofrece una discusión extensa de las posibilidades de principios de extremos de producción de entropía y de disipación de energía: el capítulo 12 de Grandy (2008) [ 53 ] es muy cauteloso, y encuentra dificultad en definir la 'tasa de producción de entropía interna' en muchos casos, y encuentra que a veces para la predicción del curso de un proceso, un extremo de la cantidad llamada tasa de disipación de energía puede ser más útil que el de la tasa de producción de entropía; Esta cantidad apareció en la obra de Onsager de 1931 [ 17 ] sobre el tema. Otros autores también han considerado que las perspectivas de principios extremos globales generales son inciertas. Entre ellos se encuentran Glansdorff y Prigogine (1971), Lebon, Jou y Casas-Vásquez (2008) y Šilhavý (1997). Existe buena evidencia experimental de que la convección de calor no obedece principios extremos para la tasa de producción de entropía en función del tiempo. [ 54 ] El análisis teórico muestra que las reacciones químicas no obedecen principios extremos para la segunda diferencial de la tasa de producción de entropía en función del tiempo. [ 55 ] El desarrollo de un principio extremo general parece inviable en el estado actual del conocimiento.

Aplicaciones

La termodinámica del no equilibrio se ha aplicado con éxito para describir procesos biológicos como el plegamiento /desplegamiento de proteínas y el transporte a través de membranas . [ 56 ] [ 57 ] También se utiliza para describir la dinámica de nanopartículas , que pueden estar fuera de equilibrio en sistemas donde intervienen la catálisis y la conversión electroquímica. [ 58 ] Asimismo, se han adaptado ideas de la termodinámica del no equilibrio y la teoría informática de la entropía para describir sistemas económicos generales. [ 59 ] [ 60 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 Kjelstrup, S; Bedeaux, D; Johannessen, E; Gross, J (junio de 2010). Termodinámica de no equilibrio para ingenieros . CIENTÍFICO MUNDIAL. doi : 10.1142/7869 . ISBN 978-981-4322-15-7.
  2. ↑ Bodenschatz, Eberhard; Cannell, David S.; de Bruyn, John R.; Ecke, Robert; Hu, Yu-Chou; Lerman, Cristina ; Ahlers, Guenter (diciembre de 1992). "Experimentos sobre tres sistemas con aspectos no variacionales". Physica D: Fenómenos no lineales . 61 ( 1– 4): 77– 93. Bibcode : 1992PhyD...61...77B . doi : 10.1016/0167-2789(92)90150-L .
  3. ↑ Pokrovskii, Vladimir (2020). Termodinámica de sistemas complejos: principios y aplicaciones . IOP Publishing, Bristol, Reino Unido. Bibcode : 2020tcsp.book.....P .
  4. ↑ Groot, Sybren Ruurds de; Mazur, Peter (1984). Termodinámica del no equilibrio . Libros de física de Dover (Dover ed., 1. publ., íntegro, corr. republ ed.). Nueva York, Nueva York: Dover Publ. ISBN  978-0-486-64741-8.
  5. 1 2 3 4 Glansdorff, P., Prigogine, I. (1971). Teoría termodinámica de la estructura, la estabilidad y las fluctuaciones , Wiley-Interscience, Londres, 1971, ISBN 0-471-30280-5.
  6. ^ De Groot , SR, Mazur, P. (1962) . Termodinámica del desequilibrio , Holanda Septentrional, Ámsterdam.
  7. 1 2 Hafskjöld, Bjørn; Bedeaux, Dick; Kjelstrup, Signe; Wilhelmsen, Øivind (23 de julio de 2021). «Teoría y simulación de ondas de choque: Producción de entropía y conversión de energía» . Revisión física E. 104 (1) 014131. arXiv : 2102.09019 . Código Bib : 2021PhRvE.104a4131H . doi : 10.1103/PhysRevE.104.014131 . ISSN 2470-0045 . PMID 34412362 .  
  8. 1 2 Kjelstrup, S.; Bedeaux, D.; Inzoli, I.; Simon, J. -M. (2008-08-01). "Criterios de validez de ecuaciones termodinámicas a partir de simulaciones de dinámica molecular de no equilibrio" . Energy . 33 (8): 1185– 1196. Bibcode : 2008Ene....33.1185K . doi : 10.1016/j.energy.2008.04.005 . ISSN 0360-5442 . 
  9. 1 2 Bedeaux, Dick; Kjelstrup, Signe (2004-01-01). "Termodinámica irreversible: una herramienta para describir transiciones de fase lejos del equilibrio global" . Chemical Engineering Science . 59 (1): 109– 118. Bibcode : 2004ChEnS..59..109B . doi : 10.1016/j.ces.2003.09.028 . ISSN 0009-2509 . 
  10. ^ Gyarmati , I. (1967/1970 ) .
  11. ↑ Barthélemy, Olivier; Margot, Joëlle; Laville, Stéphane; Vidal, François; Chaker, Mohamed; Le Drogoff, Boris; Johnston, Tudor W.; Sabsabi, Mohamad (abril de 2005). "Investigación del estado de equilibrio termodinámico local de un plasma de aluminio producido por láser" . Applied Spectroscopy . 59 (4): 529– 536. Bibcode : 2005ApSpe..59..529B . doi : 10.1366/0003702053641531 . ISSN 0003-7028 . PMID 15901339. S2CID 31762955 .   
  12. ^ Kjelstrup Ratkje, Signe (1 de enero de 1991). "Cambios de calor locales durante la electrólisis del aluminio". Acta electroquímica . 36 (3): 661– 665. doi : 10.1016/0013-4686(91)85155-Z . ISSN 0013-4686 . 
  13. ↑ Costa y Silva, André; Ågren, John; Clavaguera-Mora, María Teresa; Djurovic, D.; Gómez-Acebo, Tomás; Lee, Byeong-Joo; Liu, Zi-Kui; Miodownik, Peter; Seifert, Hans Jürgen (1 de marzo de 2007). "Aplicaciones de la termodinámica computacional: la extensión del equilibrio de fases a las transformaciones de fases y otras propiedades" . Calfad . 31 (1): 53– 74. doi : 10.1016/j.calphad.2006.02.006 . ISSN 0364-5916 . 
  14. ↑ Sobolev, SL (octubre de 2015). "Transformación de fase rápida bajo condiciones de difusión local fuera del equilibrio" . Ciencia y tecnología de materiales . 31 (13): 1607– 1617. Bibcode : 2015MatST..31.1607S . doi : 10.1179/1743284715Y.0000000051 . ISSN 0267-0836 . S2CID 59366545 .  
  15. ↑ Hillert, M.; Rettenmayr, M. (11 de junio de 2003). "Desviación del equilibrio local en las interfaces de fase migratorias" . Acta Materialia . 51 (10): 2803–2809 . Bibcode : 2003AcMat..51.2803H . doi : 10.1016/S1359-6454(03)00085-5 . ISSN 1359-6454 . 
  16. 1 2 Strutt, JW (1871). "Algunos teoremas generales relacionados con las vibraciones" . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . s1-4 : 357–368 . doi : 10.1112/plms/s1-4.1.357 .
  17. 1 2 3 4 5 Onsager, L. (1931). "Relaciones recíprocas en procesos irreversibles, I" . Physical Review . 37 (4): 405– 426. Bibcode : 1931PhRv...37..405O . doi : 10.1103/PhysRev.37.405 .
  18. 1 2 3 4 Lavenda, BH (1978). Termodinámica de los procesos irreversibles , Macmillan, Londres, ISBN 0-333-21616-4.
  19. ^ Gyarmati, I. (1967/1970), páginas 4-14.
  20. ↑ Ziegler, H., (1983). Introducción a la termomecánica , North-Holland, Ámsterdam, ISBN 0-444-86503-9.
  21. ↑ Balescu, R. (1975). Equilibrium and Non-equilibrium Statistical Mechanics , Wiley-Interscience, Nueva York, ISBN 0-471-04600-0, Sección 3.2, páginas 64-72.
  22. 1 2 3 Lebón, G., Jou, D., Casas-Vázquez, J. (2008). Comprensión de la termodinámica del desequilibrio: fundamentos, aplicaciones, fronteras , Springer-Verlag, Berlín, e- ISBN 978-3-540-74252-4.
  23. 1 2 Jou, D., Casas-Vázquez, J., Lebón, G. (1993). Termodinámica irreversible extendida , Springer, Berlín, ISBN 3-540-55874-8, ISBN 0-387-55874-8.
  24. ↑ Eu, BC (2002).
  25. ↑ Wildt, R. (1972). "Termodinámica de la atmósfera gris. IV. Transferencia y producción de entropía". Astrophysical Journal . 174 : 69–77 . Bibcode : 1972ApJ...174...69W . doi : 10.1086/151469 .
  26. ↑ Essex, C. (1984a). "Radiación y la termodinámica irreversible del clima" . Journal of the Atmospheric Sciences . 41 (12): 1985– 1991. Bibcode : 1984JAtS...41.1985E . doi : 10.1175/1520-0469(1984)041 < 1985:RATITO > 2.0.CO ; 2 ..
  27. ↑ Essex, C. (1984b). "Producción mínima de entropía en estado estacionario y transferencia radiativa" . Astrophysical Journal . 285 : 279–293 . Bibcode : 1984ApJ...285..279E . doi : 10.1086/162504 .
  28. ↑ Essex, C. (1984c). "Radiación y violación de la bilinealidad en la termodinámica irreversible de procesos irreversibles". Planetary and Space Science . 32 (8): 1035– 1043. Bibcode : 1984P & SS...32.1035E . doi : 10.1016/0032-0633(84)90060-6 .
  29. ↑ Prigogine, I., Defay, R. (1950/1954). Termodinámica química , Longmans, Green & Co, Londres, página 1.
  30. 1 2 Balescu, R. (1975). Equilibrium and Non-equilibrium Statistical Mechanics , John Wiley & Sons, Nueva York, ISBN 0-471-04600-0.
  31. 1 2 Mihalas, D., Weibel-Mihalas, B. (1984). Fundamentos de la hidrodinámica de la radiación , Oxford University Press, Nueva York. Archivado el 8 de octubre de 2011 en Wayback Machine. ISBN 0-19-503437-6.
  32. ^ Schloegl , F. (1989). Probabilidad y calor: fundamentos de la termoestadística , Freidr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, ISBN 3-528-06343-2.
  33. 1 2 Keizer, J. (1987). Termodinámica estadística de procesos de no equilibrio , Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-96501-7.
  34. ↑ Kjelstrup, Signe; Bedeaux, Dick (septiembre de 2020). Termodinámica del no equilibrio de sistemas heterogéneos . Serie sobre avances en mecánica estadística. Vol. 20 (2.ª ed.). WORLD SCIENTIFIC. doi : 10.1142/11729 . ISBN   978-981-12-1676-3.
  35. ↑ Kondepudi, D. (2008). Introducción a la termodinámica moderna , Wiley, Chichester, Reino Unido, ISBN 978-0-470-01598-8, páginas 333-338.
  36. ↑ Coleman, BD; Noll, W. (1963). "La termodinámica de los materiales elásticos con conducción de calor y viscosidad". Arch. Ration. Mach. Analysis . 13 (1): 167– 178. Bibcode : 1963ArRMA..13..167C . doi : 10.1007/bf01262690 . S2CID 189793830 . 
  37. ↑ Kondepudi, D., Prigogine, I., (1998). Termodinámica moderna. De las máquinas térmicas a las estructuras disipativas , Wiley, Chichester, 1998, ISBN 0-471-97394-7.
  38. 1 2 Zubarev DN , (1974). Termodinámica estadística del no equilibrio , traducido del ruso por PJ Shepherd, Nueva York, Consultants Bureau. ISBN 0-306-10895-XISBN​ 978-0-306-10895-2.
  39. ↑ Milne, EA (1928). "El efecto de las colisiones en el equilibrio radiativo monocromático" . Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 88 (6): 493– 502. Bibcode : 1928MNRAS..88..493M . doi : 10.1093/mnras/88.6.493 .
  40. ↑ Grandy, WT Jr. (2004). "Evolución temporal en sistemas macroscópicos. I. Ecuaciones de movimiento" . Foundations of Physics . 34 (1): 1. arXiv : cond-mat/0303290 . Bibcode : 2004FoPh...34....1G . doi : 10.1023/B:FOOP.0000012007.06843.ed . S2CID 13096766. Archivado del original el 8 de mayo de 2022. Consultado el 24 de diciembre de 2010 . 
  41. ↑ Grandy, WT Jr. (2004). "Evolución temporal en sistemas macroscópicos. II. La entropía" . Foundations of Physics . 34 (1): 21. arXiv : cond-mat/0303291 . Bibcode : 2004FoPh...34...21G . doi : 10.1023/B:FOOP.0000012008.36856.c1 . S2CID 18573684. Archivado del original el 8 de mayo de 2022. Consultado el 24 de diciembre de 2010 . 
  42. ↑ Grandy, WT Jr (2004). "Evolución temporal en sistemas macroscópicos. III: Aplicaciones seleccionadas" . Foundations of Physics . 34 (5): 771. Bibcode : 2004FoPh...34..771G . doi : 10.1023/B:FOOP.0000022187.45866.81 . S2CID 119406182. Archivado del original el 8 de mayo de 2022. Consultado el 24 de diciembre de 2010 . 
  43. ↑ Grandy 2004 ver también.
  44. ↑ Truesdell, Clifford (1984). Termodinámica racional (2.ª ed.). Springer. 
  45. ↑ Maugin, Gérard A. (2002). Termomecánica del continuo . Kluwer.
  46. ↑ Gurtin, Morton E. (2010). La mecánica y la termodinámica de los continuos . Cambridge University Press.
  47. ↑ Amendola, Giovambattista (2012). Termodinámica de materiales con memoria: teoría y aplicaciones . Springer.
  48. 1 2 3 Pokrovskii VN (2013) Una derivación de las relaciones principales de la termodinámica del no equilibrio. Hindawi Publishing Corporation: ISRN Thermodynamics, vol. 2013, artículo ID 906136, 9 p. https://dx.doi.org/10.1155/2013/906136 .
  49. ↑ Prigogine, I. (1955/1961/1967). Introducción a la termodinámica de los procesos irreversibles . 3.ª edición, Wiley Interscience, Nueva York.
  50. ↑ Pokrovskii VN (2005) Termodinámica extendida en un enfoque de sistema discreto, Eur. J. Phys. vol. 26, 769-781.
  51. ↑ W. Greiner, L. Neise y H. Stöcker (1997), Termodinámica y mecánica estadística (Física teórica clásica) , Springer-Verlag, Nueva York, págs. 85, 91, 101, 108, 116 , ISBN 0-387-94299-8.
  52. ↑ Nicolis, C. (1999). "Producción de entropía y complejidad dinámica en un modelo atmosférico de bajo orden". Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society . 125 (557): 1859– 1878. Bibcode : 1999QJRMS.125.1859N . doi : 10.1002/qj.49712555718 . S2CID 121536072 . 
  53. ↑ Grandy, WT, Jr (2008).
  54. ↑ Attard, P. (2012). "Principio de optimización para transiciones de fase no en equilibrio y formación de patrones con resultados para la convección de calor". arXiv : 1208.5105 [ cond-mat.stat-mech ].
  55. ↑ Keizer, J.; Fox, R. (enero de 1974). "Calmas respecto al rango de validez del criterio de Glansdorff-Prigogine para la estabilidad de estados de no equilibrio" . PNAS . 71 ( 1): 192– 196. Bibcode : 1974PNAS...71..192K . doi : 10.1073/pnas.71.1.192 . PMC 387963. PMID 16592132 .  
  56. ↑ Kimizuka, Hideo; Kaibara, Kozue (septiembre de 1975). "Termodinámica del no equilibrio del transporte de iones a través de membranas". Journal of Colloid and Interface Science . 52 (3): 516– 525. Bibcode : 1975JCIS...52..516K . doi : 10.1016/0021-9797(75)90276-3 .
  57. ↑ Baranowski, B. (abril de 1991). "Termodinámica del no equilibrio aplicada al transporte de membrana". Journal of Membrane Science . 57 ( 2–3 ): 119–159 . doi : 10.1016/S0376-7388(00)80675-4 .
  58. ↑ Bazant, Martin Z. (22 de marzo de 2013). "Teoría de la cinética química y la transferencia de carga basada en la termodinámica del no equilibrio". Accounts of Chemical Research . 46 (5): 1144– 1160. arXiv : 1208.1587 . doi : 10.1021/ar300145c . PMID 23520980. S2CID 10827167 .  
  59. ↑ Pokrovskii, Vladimir (2011). Econodinámica. La teoría de la producción social . Springer, Dordrecht-Heidelberg-Londres-Nueva York.
  60. ↑ Chen, Jing (2015). La unidad de la ciencia y la economía: una nueva base de la teoría económica . Springer.

Fuentes

  • Callen, HB (1960/1985). Termodinámica e introducción a la termoestadística , (1.ª edición 1960) 2.ª edición 1985, Wiley, Nueva York, ISBN 0-471-86256-8.
  • Eu, BC (2002). Termodinámica generalizada. La termodinámica de los procesos irreversibles y la hidrodinámica generalizada , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, ISBN 1-4020-0788-4.
  • Glansdorff, P., Prigogine, I. (1971). Teoría termodinámica de la estructura, la estabilidad y las fluctuaciones , Wiley-Interscience, Londres, 1971, ISBN 0-471-30280-5.
  • Grandy, WT Jr (2008). Entropía y evolución temporal de sistemas macroscópicos . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954617-6.
  • Gyarmati, I. (1967/1970). Termodinámica del no equilibrio. Teoría de campos y principios variacionales , traducido del húngaro (1967) por E. Gyarmati y WF Heinz, Springer, Berlín.
  • Lieb, EH , Yngvason, J. (1999). 'La física y las matemáticas de la segunda ley de la termodinámica', Physics Reports , 310 : 1–96. Véase también esto.

Lecturas adicionales

  • Ziegler, Hans (1977): Introducción a la termomecánica . North Holland, Ámsterdam. ISBN 0-444-11080-1Segunda edición (1983) ISBN 0-444-86503-9.
  • Kleidon, A., Lorenz, RD, editores (2005). Termodinámica del no equilibrio y la producción de entropía , Springer, Berlín. ISBN 3-540-22495-5.
  • Prigogine, I. (1955/1961/1967). Introducción a la termodinámica de los procesos irreversibles . 3.ª edición, Wiley Interscience, Nueva York.
  • Zubarev DN (1974): Termodinámica estadística del no equilibrio . Nueva York, Consultants Bureau. ISBN 0-306-10895-XISBN​ 978-0-306-10895-2.
  • Keizer, J. (1987). Termodinámica estadística de procesos fuera del equilibrio , Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-96501-7.
  • Zubarev DN , Morozov V., Ropke G. (1996): Mecánica estadística de procesos fuera del equilibrio: conceptos básicos, teoría cinética . John Wiley & Sons. ISBN 3-05-501708-0.
  • Zubarev DN , Morozov V., Ropke G. (1997): Mecánica estadística de procesos de no equilibrio: relajación y procesos hidrodinámicos . John Wiley & Sons. ISBN 3-527-40084-2.
  • Tuck, Adrian F. (2008). Turbulencia atmosférica  : una perspectiva de dinámica molecular . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923653-4.
  • Grandy, WT Jr (2008). Entropía y evolución temporal de sistemas macroscópicos . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954617-6.
  • Kondepudi, D., Prigogine, I. (1998). Termodinámica moderna: De las máquinas térmicas a las estructuras disipativas . John Wiley & Sons, Chichester. ISBN 0-471-97393-9.
  • de Groot SR, Mazur P. (1984). Termodinámica de no equilibrio (Dover). ISBN 0-486-64741-2
  • Ramiro Augusto Salazar La Rotta. (2011). La termodinámica del desequilibrio perpetuo
  • Departamento de Dinámica de Fluidos Complejos de Stephan Herminghaus en el Instituto Max Planck de Dinámica y Autoorganización.
  • Termodinámica estadística del no equilibrio aplicada a la dinámica de fluidos y la física láser - 1992 - libro de Xavier de Hemptinne.
  • Termodinámica del no equilibrio de sistemas pequeños - PhysicsToday.org
  • Into the Cool - Libro de 2005 de Dorion Sagan y Eric D. Schneider, sobre termodinámica del no equilibrio y teoría evolutiva .
  • " Termodinámica "más allá" del equilibrio local "