Hispanopedia WikiEn el campo de la geometría hiperbólica , el panal hexagonal de orden 4 surge como uno de los 11 panales paracompactos regulares en el espacio hiperbólico tridimensional . Es paracompacto porque sus celdas están compuestas por un número infinito de caras. Cada celda es un teselado hexagonal cuyos vértices se encuentran en una horósfera : un plano en el espacio hiperbólico que se aproxima a un único punto ideal en el infinito.
Un panal geométrico es un relleno espacial de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , sin dejar huecos. Es un ejemplo del recubrimiento matemático o teselación más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales de abeja se construyen generalmente en el espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como los panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito puede proyectarse sobre su esfera circunscrita para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
El símbolo de Schläfli del panal de abejas con teselado hexagonal de orden 4 es {6,3,4}. Dado que el del teselado hexagonal es {6,3}, este panal tiene cuatro teselados hexagonales de este tipo que confluyen en cada arista. Como el símbolo de Schläfli del octaedro es {3,4}, la figura del vértice de este panal es un octaedro. Por lo tanto, ocho teselados hexagonales confluyen en cada vértice de este panal, y las seis aristas que confluyen en cada vértice se encuentran a lo largo de tres ejes ortogonales. [ 1 ]
Imágenes
Simetría
El panal de abejas de teselado hexagonal de orden 4 tiene tres construcciones de simetría simplex reflectantes.
La construcción uniforme de simetría parcial {6,3 1,1 } tiene dos tipos (colores) de teselaciones hexagonales, con diagrama de Coxeter ↔ . También existe una construcción de simetría de un cuarto, con cuatro colores de teselaciones hexagonales: .
Existen dos simetrías reflectivas adicionales con dominios fundamentales no simplécticos: [6,3 * ,4], que es índice 6, con diagrama de Coxeter ; y [6,(3,4) * ], que es índice 48. Este último tiene un dominio fundamental cúbico y un diagrama de Coxeter octaédrico con tres ramas axiales infinitas: . Puede verse como el uso de ocho colores para colorear los teselados hexagonales del panal.
El panal de abejas de teselado hexagonal de orden 4 contiene , que teselan superficies de hiperciclos 2 y son similares al teselado triangular truncado de orden infinito , :
Politopos y panales relacionados
El panal de abejas hexagonal de orden 4 es un panal de abejas hiperbólico regular en el espacio tridimensional, y uno de los 11 que son paracompactos.
Hay quince panales uniformes en la familia del grupo Coxeter [6,3,4] , incluyendo esta forma regular y su dual , el panal cúbico de orden 6 .
El panal de abejas de teselado hexagonal de orden 4 tiene un panal de abejas alternado relacionado , ↔ , con teselado triangular y celdas octaédricas .
Es parte de una secuencia de panales regulares de la forma {6,3,p}, todos los cuales están compuestos por celdas de teselado hexagonal :
Esta estructura de panal también está relacionada con la estructura de panal cúbica de 16 celdas y la estructura de panal dodecaédrica de orden 4 , todas las cuales tienen figuras de vértice octaédricas.
Los panales mencionados anteriormente también son cuasiregulares:
Panal de abejas hexagonal rectificado de orden 4
El panal de abejas hexagonal rectificado de orden 4 , t 1 {6,3,4}, tiene facetas de teselado octaédricas y trihexagonales , con una figura de vértice de prisma cuadrado .
Es similar al teselado tetraapeirogonal hiperbólico 2D, r{ ∞ ,4}, que alterna caras apeirogonales y cuadradas:
Panal de abejas hexagonal de orden 4 truncado
El panal de abejas de teselado hexagonal de orden 4 truncado , t 0,1 {6,3,4}, tiene facetas de teselado hexagonal truncado y octaédrico , con una figura de vértice de pirámide cuadrada .
Es similar al teselado apeirogonal hiperbólico truncado de orden 4 en 2D , t{ ∞ ,4}, con caras apeirogonales y cuadradas:
Panal de abejas hexagonal bitruncado de orden 4
El panal de abejas hexagonal bitruncado de orden 4 , t 1,2 {6,3,4}, tiene celdas de teselado hexagonal y octaédrica truncada , con una figura de vértice disfenoidal digonal .
Panal de abejas hexagonal de orden 4 cantelado
El panal de abeja hexagonal cantelado de orden 4 , t 0,2 {6,3,4}, tiene celdas de teselado cuboctaédricas , cúbicas y rombitrihexagonales , con una figura de vértice en cuña .
Panal de abejas hexagonal de orden 4 cantitruncado
El panal de abeja hexagonal de orden 4 cantitruncado , t 0,1,2 {6,3,4}, tiene celdas de teselado octaédrica truncada , cúbica y trihexagonal truncada , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
Panal de abejas hexagonal de orden 4 runcinado
El panal de abejas hexagonal de orden 4 runcinado , t 0,3 {6,3,4}, tiene celdas cúbicas , hexagonales y prismáticas hexagonales , con una figura de vértice de antiprisma triangular irregular .
Contiene el teselado rombitetrahexagonal hiperbólico 2D , rr{4,6}, con caras cuadradas y hexagonales. El teselado también tiene una construcción de semi-simetría .
Panal de abejas hexagonal de orden 4 runcitruncado
El panal de abejas hexagonal de orden 4 runcitruncado , t 0,1,3 {6,3,4}, tiene celdas de teselado hexagonal truncadas , rombicuboctaedro , cubo , prisma dodecagonal y con forma de cubo, con un vértice de pirámide trapezoidal isósceles .
Panal de abejas hexagonal de orden 4 con teselado runcicentellado
El panal hexagonal de orden 4 runcicentelado es el mismo que el panal cúbico de orden 6 runcitruncado .
Panal de abejas hexagonal de orden 4 omnitruncado
El panal de abejas hexagonal de orden 4 omnitruncado , t 0,1,2,3 {6,3,4}, tiene celdas de cuboctaedro truncado , teselado trihexagonal truncado , prisma dodecagonal y prisma octogonal , con una figura de vértice tetraédrica irregular .
Teselado hexagonal de orden 4 alterno en forma de panal
El panal de abejas de teselado hexagonal de orden 4 alternado , ↔ , está compuesto por celdas de teselado triangular y octaédrica , en una figura de vértice octaédrico truncado .
Teselado hexagonal de orden cántico-4 tipo panal
El panal de abejas hexagonal de orden cántico 4 , ↔ , está compuesto por celdas de teselado trihexagonal , octaedro truncado y cuboctaedro , con una figura de vértice en cuña .
Teselado hexagonal de orden rúnico-4 en forma de panal
El panal hexagonal de teselado de orden rúnico 4 , ↔ , está compuesto por celdas de teselado triangular , rombicuboctaedro , cubo y prisma triangular , con una figura de vértice de cúpula triangular .
Panal de abejas hexagonal de orden 4 runcicántico
El panal hexagonal de teselado runcicantico de orden 4 , ↔ , está compuesto por celdas de teselado trihexagonal , cuboctaedro truncado , cubo truncado y prisma triangular , con una figura de vértice de pirámide rectangular .
Cuarto orden-4 teselado hexagonal panal de abeja
El panal de abejas de teselado hexagonal de cuarto orden , q{6,3,4}, o , está compuesto de celdas de teselado triangular , teselado trihexagonal , tetraedro y tetraedro truncado , con una figura de vértice de cúpula triangular .
Véase también
Referencias
- ↑ Coxeter, La belleza de la geometría , 1999, Capítulo 10, Tabla III
- Coxeter , Politopos regulares , 3.ª ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8(Tablas I y II: Politopos regulares y estructuras de panal, págs. 294–296)
- Coxeter, La belleza de la geometría: doce ensayos (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8, (Capítulo 10, Panales regulares en el espacio hiperbólico Archivado el 10-06-2016 en Wayback Machine ), Tabla III
- Jeffrey R. Weeks , La forma del espacio , 2.ª edición, ISBN 0-8247-0709-5(Capítulos 16-17: Geometrías en variedades tridimensionales I, II)
- Norman Johnson , Politopos uniformes , Manuscrito
- NW Johnson: La teoría de los politopos y panales uniformes , tesis doctoral, Universidad de Toronto, (1966), en línea.
- NW Johnson: Geometrías y transformaciones , (2018), Capítulo 13: Grupos hiperbólicos de Coxeter
- Teselados hexagonales
- Panales regulares de 3 abejas