grupo p -estable

En la teoría de grupos finitos , un grupo p -estable para un primo impar p es un grupo finito que satisface una condición técnica introducida por Gorenstein y Walter ( 1964 , p. 169, 1965 ) para extender los resultados de unicidad de Thompson en el teorema de orden impar a grupos con subgrupos diedrales de Sylow 2.

Definiciones

Existen varias definiciones equivalentes de un grupo p -estable.

Glauberman

Damos la definición de un grupo p -estable en dos partes. La definición utilizada aquí proviene de ( Glauberman 1968 , p. 1104) .

1. Sea p un número primo impar y G un grupo finito con un núcleo p no trivial. $O_{p}(G)$ Entonces G es p -estable si satisface la siguiente condición: Sea P un p- subgrupo arbitrario de G tal que $O_{p'\!}(G)$ es un subgrupo normal de G. Supongamos que $x\in N_{G}(P)$ y ${\bar {x}}$ es la clase de $C_{G}(P)$ que contiene x . Si $[P,x,x]=1$ , entonces ${\overline {x}}\in O_{n}(N_{G}(P)/C_{G}(P))$ .

Ahora, define ${\mathcal {M}}_{p}(G)$ como el conjunto de todos los p -subgrupos de G maximal con respecto a la propiedad que $O_{p}(M)\not =1$ .

2. Sea G un grupo finito y p un primo impar. Entonces G se llama p -estable si cada elemento de ${\mathcal {M}}_{p}(G)$ es p -estable por definición 1 .

Alternativa

Sea p un número primo impar y H un grupo finito. Entonces H es p -estable si $F^{*}(H)=O_{p}(H)$ y, siempre que P sea un subgrupo p normal de H y $g\in H$ con $[P,g,g]=1$ , entonces $gC_{H}(P)\in O_{p}(H/C_{H}(P))$ .

Propiedades

Si p es un primo impar y G es un grupo finito tal que SL ₂ ( p ) no está involucrado en G , entonces G es p -estable. Si además G contiene un p -subgrupo normal P tal que $C_{G}(P)\leqslant P$ , entonces $Z(J_{0}(S))$ es un subgrupo característico de G , donde $J_{0}(S)$ es el subgrupo introducido por John Thompson en ( Thompson 1969 , pp. 149–151) .

Véase también

La p -estabilidad se utiliza como una de las condiciones en el teorema ZJ de Glauberman .
Par cuadrático
grupo restringido p
grupo p -soluble

Referencias

Glauberman, George (1968), "Un subgrupo característico de un grupo p-estable" , Canadian Journal of Mathematics , 20 : 1101–1135 , doi : 10.4153/cjm-1968-107-2 , ISSN 0008-414X , MR 0230807 , archivado del original el 7 de agosto de 2011 , recuperado el 6 de febrero de 2013.
Thompson, John G. (1969), "Un teorema de reemplazo para p-grupos y una conjetura", Journal of Algebra , 13 (2): 149– 151, doi : 10.1016/0021-8693(69)90068-4 , ISSN 0021-8693 , MR 0245683
Gorenstein, D.; Walter, John H. (1964), "Sobre los subgrupos maximales de grupos simples finitos", Journal of Algebra , 1 (2): 168–213 , doi : 10.1016/0021-8693(64)90032-8 , ISSN 0021-8693 , MR 0172917
Gorenstein, D.; Walter, John H. (1965), "Caracterización de grupos finitos con subgrupos diedrales de Sylow 2. I", Journal of Algebra , 2 : 85–151 , doi : 10.1016/0021-8693(65)90027-X , ISSN 0021-8693 , MR 0177032
Gorenstein, D.; Walter, John H. (1965), "Caracterización de grupos finitos con subgrupos diedrales de Sylow 2. II", Journal of Algebra , 2 (2): 218–270 , doi : 10.1016/0021-8693(65)90019-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0177032
Gorenstein, D.; Walter, John H. (1965), "Caracterización de grupos finitos con subgrupos diedrales de Sylow 2. III", Journal of Algebra , 2 (3): 354–393 , doi : 10.1016/0021-8693(65)90015-3 , ISSN 0021-8693 , MR 0190220
Gorenstein, D. (1979), "La clasificación de grupos simples finitos. I. Grupos simples y análisis local", Bulletin of the American Mathematical Society , Nueva Serie, 1 (1): 43–199 , doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14551-8 , ISSN 0002-9904 , MR 0513750
Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos (2.ª ed.), Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209