Lengua de Arnold

En matemáticas , particularmente en sistemas dinámicos , las lenguas de Arnold (llamadas así en honor a Vladimir Arnold ) ^{[ 1 ] [ 2 ]} son ​​un fenómeno pictórico que se produce al visualizar cómo cambia el número de rotación de un sistema dinámico, u otra propiedad invariante relacionada , en función de dos o más de sus parámetros. Se ha observado que las regiones de número de rotación constante, para algunos sistemas dinámicos, forman figuras geométricas que se asemejan a lenguas, en cuyo caso se denominan lenguas de Arnold. ^{[ 3 ]}

Las lenguas de Arnold se observan en una gran variedad de fenómenos naturales que implican cantidades oscilantes, como la concentración de enzimas y sustratos en procesos biológicos ^{[ 4 ]} y las ondas eléctricas cardíacas . A veces, la frecuencia de oscilación depende de alguna cantidad o está limitada (es decir, sincronizada en fase o en modo , en algunos contextos), y suele ser interesante estudiar esta relación. Por ejemplo, el inicio de un tumor desencadena en la zona una serie de oscilaciones de sustancias (principalmente proteínas) que interactúan entre sí; las simulaciones muestran que estas interacciones provocan la aparición de lenguas de Arnold, es decir, la frecuencia de algunas oscilaciones limita a las demás, y esto puede utilizarse para controlar el crecimiento tumoral. ^{[ 3 ]}

Otros ejemplos donde se pueden encontrar lenguas de Arnold incluyen la inarmonicidad de los instrumentos musicales, la resonancia orbital y el acoplamiento de mareas de las lunas en órbita, el bloqueo de modos en la fibra óptica y los bucles de enganche de fase y otros osciladores electrónicos , así como en los ritmos cardíacos , las arritmias cardíacas y el ciclo celular . ^{[ 5 ]}

Uno de los modelos físicos más sencillos que exhibe el bloqueo de modos consiste en dos discos giratorios conectados por un resorte débil. Un disco gira libremente, mientras que el otro es accionado por un motor. El bloqueo de modos se produce cuando el disco que gira libremente alcanza una frecuencia que es un múltiplo racional de la del disco accionado.

El modelo matemático más sencillo que muestra el fenómeno de sincronización de modos es el mapa circular, que intenta capturar el movimiento de los discos giratorios en intervalos de tiempo discretos.

Las lenguas de Arnold aparecen con mayor frecuencia al estudiar la interacción entre osciladores , particularmente cuando un oscilador impulsa a otro. Es decir, un oscilador depende del otro, pero no al revés, por lo que no se influyen mutuamente como ocurre en los modelos de Kuramoto , por ejemplo. Este es un caso particular de osciladores impulsados , con una fuerza impulsora de comportamiento periódico. Como ejemplo práctico, las células cardíacas (el oscilador externo) producen señales eléctricas periódicas para estimular las contracciones cardíacas (el oscilador impulsado); en este caso, podría ser útil determinar la relación entre la frecuencia de los osciladores, posiblemente para diseñar mejores marcapasos artificiales . La familia de mapas circulares sirve como un modelo matemático útil para este fenómeno biológico, así como para muchos otros. ^{[ 6 ]}

La familia de aplicaciones circulares son funciones (o endomorfismos ) del círculo en sí mismo. Es matemáticamente más sencillo considerar un punto en el círculo como un punto${\displaystyle x}$en la línea real que debe interpretarse módulo${\displaystyle 2\pi }$, que representa el ángulo en el que se encuentra el punto en el círculo. Cuando el módulo se toma con un valor distinto de${\displaystyle 2\pi }$, el resultado aún representa un ángulo, pero debe normalizarse para que todo el rango${\displaystyle [0,2\pi ]}$puede representarse. Teniendo esto en cuenta, la familia de mapas circulares viene dada por: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

dónde${\displaystyle \Omega }$es la frecuencia "natural" del oscilador y${\displaystyle g}$es una función periódica que produce la influencia causada por el oscilador externo. Tenga en cuenta que si${\displaystyle g(\theta )=\theta }$a pesar de${\displaystyle \theta }$la partícula simplemente camina alrededor del círculo en${\displaystyle \Omega }$unidades a la vez; en particular, si${\displaystyle \Omega }$es irracional el mapa se reduce a una rotación irracional .

El mapa circular particular estudiado originalmente por Arnold, ^{[ 8 ]} y que sigue demostrando ser útil incluso hoy en día, es:

${\displaystyle \theta _{i+1}=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i})}$

dónde${\displaystyle K}$se denomina fuerza de acoplamiento y${\displaystyle \theta _{i}}$debe interpretarse módulo${\displaystyle 1}$Este mapa muestra un comportamiento muy diverso dependiendo de los parámetros.${\displaystyle K}$y${\displaystyle \Omega }$; si lo arreglamos${\displaystyle \Omega =1/3}$y varían${\displaystyle K}$, se obtiene el diagrama de bifurcación alrededor de este párrafo, donde podemos observar órbitas periódicas , bifurcaciones de duplicación de período , así como un posible comportamiento caótico .

Otra forma de ver el mapa circular es la siguiente. Consideremos una función.${\displaystyle y(t)}$que disminuye linealmente con la pendiente${\displaystyle a}$Una vez que llega a cero, su valor se restablece a un cierto valor oscilante, descrito por una función.${\displaystyle z(t)=c+b\sin(2\pi t)}$Ahora nos interesa la secuencia de tiempos.${\displaystyle \{t_{n}\}}$en el que y(t) llega a cero.

Este modelo nos dice que en el momento${\displaystyle t_{n-1}}$es válido que${\displaystyle y(t_{n-1})=c+b\sin(2\pi t_{n-1})}$. Desde este punto,${\displaystyle y}$luego disminuirá linealmente hasta${\displaystyle t_{n}}$, donde la función${\displaystyle y}$es cero, lo que resulta en:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=y(t_{n-1})-a\cdot (t_{n}-t_{n-1})\\[0.5em]0&=\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]-at_{n}+at_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&={\frac {1}{a}}\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]+t_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&=t_{n-1}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}\sin(2\pi t_{n-1})\end{aligned}}}$

y al elegir${\displaystyle \Omega =c/a}$y${\displaystyle K=2\pi b/a}$Obtenemos el mapa circular que se mencionó anteriormente:

${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi t_{n-1}).}$

Glass, L. (2001) argumenta que este modelo simple es aplicable a algunos sistemas biológicos, como la regulación de la concentración de sustancias en células o sangre, con${\displaystyle y(t)}$arriba representa la concentración de una determinada sustancia.

En este modelo, un bloqueo de fase de${\displaystyle N:M}$eso significaría que${\displaystyle y(t)}$se restablece exactamente${\displaystyle N}$veces cada${\displaystyle M}$períodos de la sinusoidal${\displaystyle z(t)}$El número de rotación, a su vez, sería el cociente.${\displaystyle N/M}$. ^{[ 7 ]}

Consideremos la familia general de endomorfismos circulares:

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

donde, para el mapa circular estándar, tenemos que${\displaystyle g(\theta )=\theta +(K/2\pi )\sin(2\pi \theta )}$A veces también será conveniente representar el mapa circular en términos de un mapeo.${\displaystyle f(\theta )}$:

${\displaystyle \theta _{i+1}=f(\theta _{i})=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

A continuación, enumeraremos algunas propiedades interesantes de estos endomorfismos circulares.

P1.${\displaystyle f}$es monótonamente creciente para${\displaystyle K<1}$, por lo tanto, para estos valores de${\displaystyle K}$las iteraciones${\displaystyle \theta _{i}}$solo avanza en el círculo, nunca retrocede. Para ver esto, observe que la derivada de${\displaystyle f}$es:

${\displaystyle f'(\theta )=1+K\cos(2\pi \theta )}$

lo cual es positivo siempre y cuando${\displaystyle K<1}$.

P2. Al expandir la relación de recurrencia, se obtiene una fórmula para${\displaystyle \theta _{n}}$:

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n-1}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

P3. Supongamos que${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}{\bmod {1}}}$, por lo que son puntos fijos periódicos de período${\displaystyle n}$. Dado que el seno oscila a una frecuencia de 1  Hz, el número de oscilaciones del seno por ciclo de${\displaystyle \theta _{i}}$será${\displaystyle M=(\theta _{n}-\theta _{0})\cdot 1}$, caracterizando así un bloqueo de fase de${\displaystyle n:M}$. ^{[ 7 ]}

P4. Para cualquier${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$, es cierto que${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta )+p}$, lo que a su vez significa que${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta ){\bmod {1}}}$. Por este motivo, para muchos propósitos no importa si las iteraciones${\displaystyle \theta _{i}}$se toman módulo${\displaystyle 1}$O no.

P5 (simetría traslacional). ^{[ 9 ] [ 7 ]} Supongamos que para un dado${\displaystyle \Omega }$hay un${\displaystyle n:M}$sincronización de fase en el sistema. Luego, para${\displaystyle \Omega '=\Omega +p}$con entero${\displaystyle p}$, habría un${\displaystyle n:(M+np)}$sincronización de fase. Esto también significa que si${\displaystyle \theta _{0},\dots ,\theta _{n}}$es una órbita periódica para el parámetro${\displaystyle \Omega }$, entonces también es una órbita periódica para cualquier${\displaystyle \Omega '=\Omega +p,p\in \mathbb {N} }$.

Para ver esto, observe que la relación de recurrencia en la propiedad 2 se convertiría en:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n}'&=\theta _{0}+n\Omega '+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{0}+n(\Omega +p)+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{n}+np,\end{aligned}}}$

así que desde${\displaystyle \theta _{n}-\theta _{0}=M}$debido al bloqueo de fase original, ahora tendríamos${\displaystyle \theta _{n}'-\theta _{0}=\theta _{n}+np-\theta _{0}=M+np}$.

P6. Para${\displaystyle K=0}$Habrá sincronización de fase siempre que${\displaystyle \Omega }$es racional. Además, sea${\displaystyle \Omega =p/q\in \mathbb {Q} }$, entonces el bloqueo de fase es${\displaystyle q:p}$.

Considerando la relación de recurrencia en la propiedad 2, un racional${\displaystyle \Omega =p/q}$implica:

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n{\frac {p}{q}}}$

y módulo de igualdad${\displaystyle 1}$se mantendrá solo cuando${\displaystyle n(p/q)}$es un número entero, y el primero${\displaystyle n}$que satisface esto es${\displaystyle n=q}$. Como consecuencia:

${\displaystyle \theta _{q}=\theta _{0}+p}$

${\displaystyle (\theta _{q}-\theta _{0})=p}$

significado un${\displaystyle q:p}$sincronización de fase.

Para irracional${\displaystyle \Omega }$(lo que conduce a una rotación irracional ), sería necesario tener${\displaystyle n\Omega =k}$para números enteros${\displaystyle n}$y${\displaystyle k}$pero entonces${\displaystyle \Omega =k/n}$y${\displaystyle \Omega }$es racional, lo cual contradice la hipótesis inicial.

Para valores pequeños a intermedios de K (es decir, en el rango de K  =  0 a aproximadamente K  =  1) y ciertos valores de Ω, el mapa presenta un fenómeno llamado sincronización de modos o sincronización de fase . En una región de sincronización de fase, los valores θ _n avanzan esencialmente como un múltiplo racional de n , aunque pueden hacerlo de forma caótica a pequeña escala.

El comportamiento límite en las regiones de bloqueo de modos viene dado por el número de rotación .

${\displaystyle \omega =\lim _{n\to \infty }{\frac {\theta _{n}}{n}}.}$^{[ 10 ]}

que a veces también se denomina número de vuelta del mapa .

Las regiones de bloqueo de fase, o lenguas de Arnold, se ilustran en amarillo en la figura de la derecha. Cada una de estas regiones en forma de V toca un valor racional Ω  = p / q en el límite de K → 0. Los valores de ( K, Ω) en una de estas regiones darán como resultado un movimiento tal que el número de rotación ω = p / q . Por ejemplo , todos los valores de ( K , Ω) en la gran región en forma de V en la parte inferior central de la figura corresponden a un número de rotación de ω = 1 / 2. Una razón por la que se utiliza el término "bloqueo" es que los valores individuales θn pueden ser perturbados por perturbaciones aleatorias bastante grandes (hasta el ancho de la lengua, para un valor dado de K ), sin perturbar el número _de rotación límite. Es decir, la secuencia permanece "sincronizada" con la señal, a pesar de la adición de ruido significativo a la serie θ _n . Esta capacidad de "sincronizarse" en presencia de ruido es fundamental para la utilidad del circuito electrónico de bucle de enganche de fase.       

Existe una región de bloqueo de modos para cada número racional p / q . A veces se dice que el mapa circular mapea los racionales, un conjunto de medida cero en K = 0, a un conjunto de medida no nula para K ≠ 0. Las lenguas más grandes, ordenadas por tamaño, aparecen en las fracciones de Farey . Fijando K y tomando una sección transversal a través de esta imagen, de modo que ω se grafica como una función de Ω, se obtiene la "escalera del diablo", una forma que es genéricamente similar a la función de Cantor . Se puede demostrar que para K < 1 , el mapa circular es un difeomorfismo, existe solo una solución estable. Sin embargo, cuando K > 1, esto ya no se cumple, y se pueden encontrar regiones de dos regiones de bloqueo superpuestas. Para el mapa circular, se puede demostrar que en esta región, no pueden superponerse más de dos regiones de bloqueo de modos estables, pero se desconoce si existe algún límite para el número de lenguas de Arnold superpuestas para sistemas sincronizados generales.    

El mapa circular también muestra rutas subarmónicas hacia el caos, es decir, duplicación de período de la forma 3, 6, 12, 24,....

El mapa estándar de Chirikov está relacionado con el mapa circular, teniendo relaciones de recurrencia similares, que pueden escribirse como

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n+1}&=\theta _{n}+p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})\\p_{n+1}&=\theta _{n+1}-\theta _{n}\end{aligned}}}$

con ambas iteraciones tomadas módulo 1. En esencia, el mapa estándar introduce un momento p _n que puede variar dinámicamente, en lugar de estar forzado a ser fijo, como ocurre en el mapa circular. El mapa estándar se estudia en física mediante el hamiltoniano del rotor impulsado .

Las lenguas de Arnold se han aplicado al estudio de

• Ritmos cardíacos - véase Glass, L. et al. (1983) y McGuinness, M. et al. (2004)
• Sincronización de osciladores de diodo de túnel resonante ^{[ 11 ]}

• Bucle de enganche de fase
• Modelo Kuramoto
• Palabra de Sturm

• Weisstein, Eric W. "Mapa circular" . MathWorld .
• Boyland, PL (1986). "Bifurcaciones de mapas circulares: lenguas de Arnol, biestabilidad e intervalos de rotación" . Communications in Mathematical Physics . 106 (3): 353– 381. Bibcode : 1986CMaPh.106..353B . doi : 10.1007/BF01207252 . S2CID 121088353 . 
• Gilmore, R.; Lefranc, M. (2002). La topología del caos: Alicia en el país de la elasticidad y la compresión . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-40816--6.- Proporciona un breve repaso de los hechos básicos en la sección 2.12 .
• Glass, L .; Guevara, MR; Shrier, A.; Perez, R. (1983). "Bifurcación y caos en un oscilador cardíaco estimulado periódicamente". Physica D: Nonlinear Phenomena . 7 ( 1– 3): 89– 101. Bibcode : 1983PhyD....7...89G . doi : 10.1016/0167-2789(83)90119-7 .- Realiza un análisis detallado de los ritmos cardíacos en el contexto del mapa circular.
• McGuinness, M.; Hong, Y.; Galletly, D.; Larsen, P. (2004). "Lenguas de Arnold en los sistemas cardiorrespiratorios humanos". Chaos . 14 (1): 1– 6. Bibcode : 2004Chaos..14....1M . doi : 10.1063/1.1620990 . PMID 15003038 . 

• Mapa circular con applet interactivo de Java