Curva algebraica

En matemáticas , una curva plana algebraica afín es el conjunto de ceros de un polinomio de dos variables. Una curva plana algebraica proyectiva es el conjunto de ceros en un plano proyectivo de un polinomio homogéneo de tres variables. Una curva plana algebraica afín se puede completar en una curva plana algebraica proyectiva homogeneizando su polinomio definitorio. Recíprocamente, una curva plana algebraica proyectiva de ecuación homogénea $h (x, y, t) = 0$ se puede restringir a la curva plana algebraica afín de ecuación $h (x, y, 1) = 0.$ Estas dos operaciones son inversas entre sí; por lo tanto, la expresión " curva plana algebraica" se usa a menudo sin especificar explícitamente si se trata del caso afín o del proyectivo.

Si el polinomio que define una curva algebraica plana es irreducible , entonces se trata de una curva algebraica plana irreducible . En caso contrario, la curva algebraica es la unión de una o varias curvas irreducibles, llamadas sus componentes , que se definen mediante factores irreducibles.

En términos más generales, una curva algebraica es una variedad algebraica de dimensión uno. En algunos contextos, un conjunto algebraico de dimensión uno también se denomina curva algebraica, pero este no será el caso en este artículo. De forma equivalente, una curva algebraica es una variedad algebraica birracionalmente equivalente a una curva plana algebraica irreducible. Si la curva está contenida en un espacio afín o en un espacio proyectivo , se puede tomar una proyección para dicha equivalencia birracional.

Estas equivalencias birracionales reducen la mayor parte del estudio de curvas algebraicas al estudio de curvas planas algebraicas. Sin embargo, algunas propiedades no se conservan bajo la equivalencia birracional y deben estudiarse en curvas no planas. Este es el caso, en particular, del grado y la suavidad . Por ejemplo, existen curvas suaves de género 0 y grado mayor que dos, pero cualquier proyección plana de dichas curvas tiene puntos singulares (véase la fórmula de género-grado ).

Una curva no plana se suele denominar curva espacial o curva oblicua .

En geometría euclidiana

Una curva algebraica en el plano euclidiano es el conjunto de puntos cuyas coordenadas son las soluciones de una ecuación polinómica bivariada $p (x, y) = 0$ . Esta ecuación se denomina a menudo ecuación implícita de la curva, en contraste con las curvas que son la gráfica de una función que define explícitamente $y$ como una función de $x$ .

Con una curva dada por una ecuación implícita, los primeros problemas consisten en determinar su forma y dibujarla. Estos problemas no son tan fáciles de resolver como en el caso de la gráfica de una función, para la cual $y$ se puede calcular fácilmente para distintos valores de $x$ . El hecho de que la ecuación que la define sea un polinomio implica que la curva posee ciertas propiedades estructurales que pueden ayudar a resolver estos problemas.

Toda curva algebraica puede descomponerse de forma única en un número finito de arcos monótonos suaves , llamadosrama es, a veces conectada por algunos puntos a veces llamados "puntos notables", y posiblemente un número finito de puntos aislados llamadosacnodos. Unarco monótono suavees la gráfica de unafunción suaveque está definida yes monótonaen unintervalo abiertodel $x$ . En cada dirección, un arco es o bien ilimitado (generalmente llamadoarco infinito) o tiene un punto final que es o bien un punto singular (esto se definirá más adelante) o un punto con una tangente paralela a uno de los ejes de coordenadas.

Por ejemplo, en la cúbica de Tschirnhausen , existen dos arcos infinitos cuyo origen $(0,0)$ es uno de sus extremos. Este punto es el único singular de la curva. También existen dos arcos que tienen este singular como uno de sus extremos y un segundo extremo con tangente horizontal. Finalmente, hay otros dos arcos, cada uno de los cuales tiene uno de estos puntos con tangente horizontal como primer extremo y el único punto con tangente vertical como segundo extremo. En contraste, la sinusoide no es una curva algebraica, ya que posee un número infinito de arcos monótonos.

Para trazar una curva algebraica, es importante conocer los puntos de inflexión y sus tangentes, las ramas infinitas y sus asíntotas (si las hay), así como la forma en que los arcos las conectan. También es útil considerar los puntos de inflexión como puntos de inflexión. Al plasmar toda esta información en un papel, la forma de la curva suele ser bastante clara. De no ser así, basta con añadir algunos puntos más y sus tangentes para obtener una buena descripción de la curva.

Los métodos para calcular los puntos notables y sus tangentes se describen más adelante en la sección Puntos notables de una curva plana .

Curvas proyectivas planas

A menudo es deseable considerar curvas en el espacio proyectivo . Una curva algebraica en el plano proyectivo o curva plano-proyectiva es el conjunto de puntos en un plano proyectivo cuyas coordenadas proyectivas son ceros de un polinomio homogéneo en tres variables $P (x, y, z)$ .

Toda curva algebraica afín de ecuación $p (x, y) = 0$ puede completarse en la curva proyectiva de ecuación $h p (x, y, z) = 0$ , donde $^{h}p(x,y,z)=z^{\deg(p)}p\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$ es el resultado de la homogeneización de $p$ . Recíprocamente, si $P (x, y, z) = 0$ es la ecuación homogénea de una curva proyectiva, entonces $P (x, y, 1) = 0$ es la ecuación de una curva afín, que consta de los puntos de la curva proyectiva cuya tercera coordenada proyectiva no es cero. Estas dos operaciones son recíprocas entre sí, ya que $^{h}p(x,y,1)=p(x,y)$ y, si $p$ se define por $p (x, y) = P (x, y, 1)$ , entonces $^{h}p(x,y,z)=P(x,y,z)$ tan pronto como el polinomio homogéneo $P$ no sea divisible por $z$ .

Por ejemplo, la curva proyectiva de ecuación $x^{2}+y^{2}-z^{2}$ es la completación proyectiva del círculo unitario de ecuación $x^{2}+y^{2}-1=0.$

Esto implica que una curva afín y su completación proyectiva son la misma curva, o, más precisamente, que la curva afín es una parte de la curva proyectiva lo suficientemente grande como para definir bien la curva "completa" . Este punto de vista se suele expresar denominando "puntos en el infinito" de la curva afín a los puntos (en número finito) de la completación proyectiva que no pertenecen a la parte afín.

Las curvas proyectivas se estudian frecuentemente por sí mismas. También son útiles para el estudio de curvas afines. Por ejemplo, si $p (x, y)$ es el polinomio que define una curva afín, además de las derivadas parciales $p' x$ y $p' y$ , es útil considerar la derivada en el infinito. $p'_{\infty }(x,y)={^{h}p'_{z}(x,y,1)}.$

Por ejemplo, la ecuación de la tangente de la curva afín de ecuación $p (x, y) = 0$ en un punto $(a, b)$ es $xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0.$

Puntos notables de una curva plana

En esta sección, consideramos una curva algebraica plana definida por un polinomio bivariado p ( x , y ) y su completación proyectiva, definida por la homogeneización. $P(x,y,z)={}^{h}p(x,y,z)$ de p .

Intersección con una línea

Conocer los puntos de intersección de una curva con una recta dada suele ser útil. La intersección con los ejes de coordenadas y las asíntotas permite trazar la curva. La intersección con una recta paralela a los ejes permite encontrar al menos un punto en cada rama de la curva. Si se dispone de un algoritmo eficiente para encontrar raíces , este permite trazar la curva representando el punto de intersección con todas las rectas paralelas al eje y que pasan por cada píxel del eje x .

Si el polinomio que define la curva tiene grado d , cualquier recta la corta en un máximo de d puntos. El teorema de Bézout afirma que este número es exactamente d , si los puntos se buscan en el plano proyectivo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (por ejemplo, los números complejos ) y se cuentan con su multiplicidad . El método de cálculo que sigue demuestra nuevamente este teorema en este caso sencillo.

Para calcular la intersección de la curva definida por el polinomio p con la recta de ecuación ax + by + c = 0, se resuelve la ecuación de la recta para x (o para y si a = 0). Sustituyendo el resultado en p , se obtiene una ecuación univariada q ( y ) = 0 (o q ( x ) = 0, si la ecuación de la recta se ha resuelto para y ), cuyas raíces son cada una de las coordenadas de un punto de intersección. La otra coordenada se deduce de la ecuación de la recta. La multiplicidad de un punto de intersección es la multiplicidad de la raíz correspondiente. Hay un punto de intersección en el infinito si el grado de q es menor que el grado de p ; la multiplicidad de dicho punto de intersección en el infinito es la diferencia de los grados de p y q .

Tangente en un punto

La tangente en un punto ( a , b ) de la curva es la línea de ecuación $(xa)p'_{x}(a,b)+(yb)p'_{y}(a,b)=0$ , como para cualquier curva diferenciable definida por una ecuación implícita. En el caso de los polinomios, otra fórmula para la tangente tiene un término constante más simple y es más simétrica:

$xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0,$

dónde $p'_{\infty }(x,y)=P'_{z}(x,y,1)$ es la derivada en el infinito. La equivalencia de las dos ecuaciones resulta del teorema de la función homogénea de Euler aplicado a P.

Si $p'_{x}(a,b)=p'_{y}(a,b)=0,$ La tangente no está definida y el punto es un punto singular .

Esto se extiende inmediatamente al caso proyectivo: La ecuación de la tangente de en el punto de coordenadas proyectivas ( a : b : c ) de la curva proyectiva de ecuación P ( x , y , z ) = 0 es

$xP'_{x}(a,b,c)+yP'_{y}(a,b,c)+zP'_{z}(a,b,c)=0,$

y los puntos de las curvas que son singulares son los puntos tales que

$P'_{x}(a,b,c)=P'_{y}(a,b,c)=P'_{z}(a,b,c)=0.$

(La condición P ( a , b , c ) = 0 se deduce de estas condiciones, según el teorema de la función homogénea de Euler).

Asíntotas

Cada rama infinita de una curva algebraica corresponde a un punto en el infinito sobre la curva, es decir, un punto de la completación proyectiva de la curva que no pertenece a su parte afín. La asíntota correspondiente es la tangente de la curva en ese punto. Si bien puede aplicarse la fórmula general para la tangente a una curva proyectiva, conviene explicitarla en este caso.

Dejar $p=p_{d}+\cdots +p_{0}$ Sea la descomposición del polinomio que define la curva en sus partes homogéneas, donde p _i es la suma de los monomios de p de grado i . De ello se deduce que $P={^{h}p}=p_{d}+zp_{d-1}+\cdots +z^{d}p_{0}$ y $P'_{z}(a,b,0)=p_{d-1}(a,b).$

Un punto en el infinito de la curva es un cero de p de la forma ( a , b , 0). Equivalentemente, ( a , b ) es un cero de p _d . El teorema fundamental del álgebra implica que, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (típicamente, el cuerpo de los números complejos), p _d se factoriza en un producto de factores lineales. Cada factor define un punto en el infinito de la curva: si bx − ay es uno de esos factores, entonces define el punto en el infinito ( a , b , 0). Sobre los números reales, p _d se factoriza en factores lineales y cuadráticos. Los factores cuadráticos irreducibles definen puntos no reales en el infinito, y los puntos reales vienen dados por los factores lineales. Si ( a , b , 0) es un punto en el infinito de la curva, se dice que ( a , b ) es una dirección asintótica . Haciendo q = p _d, la ecuación de la asíntota correspondiente es $xq'_{x}(a,b)+yq'_{y}(a,b)+p_{d-1}(a,b)=0.$

Si $q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=0$ y $p_{d-1}(a,b)\neq 0,$ La asíntota es la línea en el infinito y, en el caso real, la curva tiene una rama que parece una parábola . En este caso se dice que la curva tiene una rama parabólica . Si $q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=p_{d-1}(a,b)=0,$ La curva tiene un punto singular en el infinito y puede tener varias asíntotas. Estas se pueden calcular mediante el método del cono tangente de un punto singular.

Puntos singulares

Los puntos singulares de una curva de grado d definida por un polinomio p ( x , y ) de grado d son las soluciones del sistema de ecuaciones: $p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p(x,y)=0.$ En característica cero , este sistema es equivalente a $p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p'_{\infty }(x,y)=0,$ donde, con la notación de la sección anterior, $p'_{\infty }(x,y)=P'_{z}(x,y,1).$ Los sistemas son equivalentes debido al teorema de la función homogénea de Euler . El segundo sistema tiene la ventaja de tener su tercer polinomio de grado d -1 en lugar de d .

De manera similar, para una curva proyectiva definida por un polinomio homogéneo P ( x , y , z ) de grado d , los puntos singulares tienen las soluciones del sistema $P'_{x}(x,y,z)=P'_{y}(x,y,z)=P'_{z}(x,y,z)=0$ como coordenadas homogéneas . (En característica positiva, la ecuación $P(x,y,z)$ debe agregarse al sistema.)

Esto implica que el número de puntos singulares es finito siempre que p ( x , y ) o P ( x , y , z ) sea libre de cuadrados . El teorema de Bézout implica, por lo tanto, que el número de puntos singulares es como máximo ( d − 1) ^² , pero esta cota no es precisa porque el sistema de ecuaciones está sobredeterminado . Si se permiten polinomios reducibles , la cota precisa es d ( d − 1)/2, valor que se alcanza cuando el polinomio se factoriza en factores lineales, es decir, si la curva es la unión de d líneas. Para curvas y polinomios irreducibles, el número de puntos singulares es como máximo ( d − 1)( d − 2)/2, debido a la fórmula que expresa el género en términos de las singularidades (véase más adelante). El máximo se alcanza con las curvas de género cero cuyas singularidades tienen multiplicidad dos y tangentes distintas (véase más adelante).

La ecuación de las tangentes en un punto singular viene dada por la parte homogénea no nula del grado más bajo de la serie de Taylor del polinomio en dicho punto. Al cambiar las coordenadas y situar el punto singular en el origen, la ecuación de las tangentes en ese punto es, por lo tanto, la parte homogénea no nula del grado más bajo del polinomio, y la multiplicidad del punto singular es el grado de esta parte homogénea.

Estructura analítica

El estudio de la estructura analítica de una curva algebraica en las proximidades de un punto singular proporciona información precisa sobre la topología de las singularidades. De hecho, cerca de un punto singular, una curva algebraica real es la unión de un número finito de ramas que se intersecan únicamente en dicho punto y que presentan una forma de cúspide o de curva continua.

Cerca de un punto regular, una de las coordenadas de la curva puede expresarse como una función analítica de la otra. Esto es un corolario del teorema de la función implícita analítica e implica que la curva es suave cerca del punto. Cerca de un punto singular, la situación es más compleja e involucra series de Puiseux , que proporcionan ecuaciones paramétricas analíticas de las ramas.

Para describir una singularidad, conviene trasladar la curva de modo que la singularidad se sitúe en el origen. Esto consiste en un cambio de variable de la forma $X=x-a,Y=y-b,$ dónde $a,b$ son las coordenadas del punto singular. En lo que sigue, se supone que el punto singular en consideración siempre está en el origen.

La ecuación de una curva algebraica es $f(x,y)=0,$ donde $f$ es un polinomio en $x$ e $y$ . Este polinomio puede considerarse como un polinomio en $y$ , con coeficientes en el campo algebraicamente cerrado de la serie de Puiseux en $x$ . Por lo tanto, $f$ puede factorizarse en factores de la forma $y-P(x),$ donde $P$ es una serie de Puiseux. Todos estos factores son diferentes si $f$ es un polinomio irreducible , porque esto implica que $f$ es libre de cuadrados , una propiedad que es independiente del cuerpo de coeficientes.

Las series de Puiseux que aparecen aquí tienen la forma $P(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}x^{n/d},$ donde $d$ es un entero positivo, y $n_{0}$ ⁠ es un número entero que también puede suponerse positivo, porque consideramos solo las ramas de la curva que pasan por el origen. Sin pérdida de generalidad , podemos suponer que $d$ es coprimo con el máximo común divisor de los $n$ tales que ⁠ $a_{n}\neq 0$ ( De lo contrario, se podría elegir un denominador común más pequeño para los exponentes).

Dejemos $\omega _{d}$ ⁠ sea una $raíz d$ -ésima primitiva de la unidad . Si la serie de Puiseux anterior aparece en la factorización de ⁠ $f(x,y)=0$ ⁠ , entonces laserie $d$ $P_{i}(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}\omega _{d}^{i}x^{n/d}$ También aparecen en la factorización (una consecuencia de la teoría de Galois ). Estas series $d$ se denominan conjugadas y se consideran como una única rama de la curva, de índice de ramificación $d$ .

En el caso de una curva real, es decir, una curva definida por un polinomio con coeficientes reales, pueden darse tres casos. Si ninguno $P_{i}(x)$ Si tiene coeficientes reales, entonces se tiene una rama no real. Si algún $P_{i}(x)$ Si tiene coeficientes reales, entonces se puede elegir como $P_{0}(x)$ ⁠ . Si $d$ es impar, entonces cada valor real de $x$ proporciona un valor real de ⁠ $P_{0}(x)$ ⁠ , y se tiene una rama real que parece regular, aunque es singular si $d > 1$ . Si $d$ es par, entonces ⁠ $P_{0}(x)$ y $P_{d/2}(x)$ Tienen valores reales, pero solo para $x \geq 0.$ En este caso, la rama real parece una cúspide (o es una cúspide, dependiendo de la definición de cúspide que se utilice).

Por ejemplo, la cúspide ordinaria tiene solo una rama. Si se define mediante la ecuación $y^{2}-x^{3}=0,$ entonces la factorización es $(y-x^{3/2})(y+x^{3/2});$ El índice de ramificación es 2, y los dos factores son reales y definen cada uno media rama. Si la cúspide se rota, la ecuación se convierte en $y^{3}-x^{2}=0,$ y la factorización es $(y-x^{2/3})(y-j^{2}x^{2/3})(y-(j^{2})^{2}x^{2/3}),$ con $j=(1+{\sqrt {-3}})/2$ (el coeficiente $(j^{2})^{2}$ ⁠ no se ha simplificado a $j$ para mostrar cómo la definición anterior de ⁠ $P_{i}(x)$ ( está especializado). Aquí el índice de ramificación es 3, y solo un factor es real; esto muestra que, en el primer caso, los dos factores deben considerarse como definiendo la misma rama.

Curvas algebraicas no planas

Una curva algebraica es una variedad algebraica de dimensión uno. Esto implica que una curva afín en un espacio afín de dimensión n se define mediante, al menos, n − 1 polinomios en n variables. Para definir una curva, estos polinomios deben generar un ideal primo de dimensión de Krull 1. Esta condición no es fácil de comprobar en la práctica. Por lo tanto, puede ser preferible la siguiente forma de representar curvas no planas.

Dejar $f,g_{0},g_{3},\ldots ,g_{n}$ Sean n polinomios en dos variables x ₁ y x ₂ tales que f sea irreducible. Los puntos en el espacio afín de dimensión n tales que sus coordenadas satisfacen las ecuaciones e inecuaciones

${\begin{aligned}&f(x_{1},x_{2})=0\\&g_{0}(x_{1},x_{2})\neq 0\\x_{3}&={\frac {g_{3}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\\&{}\ \vdots \\x_{n}&={\frac {g_{n}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\end{aligned}}$

son todos los puntos de una curva algebraica en la que se ha eliminado un número finito de puntos. Esta curva se define mediante un sistema de generadores del ideal de los polinomios h tal que existe un entero k tal que $g_{0}^{k}h$ pertenece al ideal generado por $f,x_{3}g_{0}-g_{3},\ldots ,x_{n}g_{0}-g_{n}$ Esta representación es una equivalencia birracional entre la curva y la curva plana definida por f . Toda curva algebraica puede representarse de esta manera. Sin embargo, puede ser necesario un cambio lineal de variables para que la proyección sobre las dos primeras variables sea casi siempre inyectiva. Cuando se requiere un cambio de variables, casi cualquier cambio resulta conveniente siempre que esté definido sobre un cuerpo infinito.

Esta representación nos permite deducir fácilmente cualquier propiedad de una curva algebraica no plana, incluida su representación gráfica, a partir de la propiedad correspondiente de su proyección plana.

Para una curva definida por sus ecuaciones implícitas, la representación anterior de la curva se puede deducir fácilmente de una base de Gröbner para un ordenamiento de bloques tal que el bloque de las variables más pequeñas sea ( x ₁ , x ₂ ). El polinomio f es el único polinomio en la base que depende solo de x ₁ y x ₂ . Las fracciones g _i / g ₀ se obtienen eligiendo, para i = 3, ..., n , un polinomio en la base que sea lineal en x _i y dependa solo de x ₁ , x ₂ y x _i . Si estas elecciones no son posibles, esto significa que las ecuaciones definen un conjunto algebraico que no es una variedad, o que la variedad no es de dimensión uno, o que se debe cambiar de coordenadas. Este último caso ocurre cuando f existe y es único, y, para i = 3, ..., n , existen polinomios cuyo monomio principal depende solo de x ₁ , x ₂ y x _i .

Campos de funciones algebraicas

El estudio de las curvas algebraicas se puede reducir al estudio de las curvas algebraicas irreducibles : aquellas curvas que no pueden escribirse como la unión de dos curvas más pequeñas. Salvo equivalencia birracional , las curvas irreducibles sobre un cuerpo F son categóricamente equivalentes a cuerpos de funciones algebraicas en una variable sobre F. Dicho cuerpo de funciones algebraicas es una extensión de cuerpo K de F que contiene un elemento x que es trascendente sobre F , y tal que K es una extensión algebraica finita de F ( x ), que es el cuerpo de funciones racionales en el indeterminado x sobre F.

Por ejemplo, consideremos el cuerpo C de los números complejos, sobre el $cual$ podemos definir el cuerpo C ( x ) de las funciones racionales en C. Si $y²$ $=$ $x³$ $-$ $x$ $- 1$ , entonces el cuerpo C ( x , y ) es un cuerpo $de$ funciones elípticas . El elemento x no está determinado de forma única; el cuerpo también puede considerarse, por ejemplo, como una extensión de C ( y ). La curva algebraica correspondiente al cuerpo de funciones es simplemente el conjunto de puntos ( $x$ , y ) en C² ^que satisfacen $y²$ $=$ $x³$ $-$ $x$ $-$ $1$ .

Si el cuerpo F no es algebraicamente cerrado, el punto de vista de los cuerpos de funciones es un poco más general que el de considerar el lugar geométrico de los puntos, ya que incluimos, por ejemplo, "curvas" sin puntos. Por ejemplo, si el cuerpo base $F$ es el cuerpo R de $los$ números reales, entonces $x² + y² = -1$ define un cuerpo de extensión algebraica de $R(x), pero la curva correspondiente considerada como un subconjunto de R² no tiene puntos. La ecuación x² +$ y² = -1 sí define una $curva$ $algebraica$ $irreducible$ $sobre$ $R$ en el sentido ^deesquema (un esquema integral , separado unidimensional de tipo finito sobre R ). En este sentido, la correspondencia biunívoca entre curvas algebraicas irreducibles sobre F (salvo equivalencia birracional) y cuerpos de funciones algebraicas en una variable sobre F se cumple en general.

Dos curvas pueden ser birracionalmente equivalentes (es decir, tener campos de funciones isomorfos ) sin ser isomorfas como curvas. La situación se simplifica al tratar con curvas no singulares , es decir, aquellas que carecen de singularidades. Dos curvas proyectivas no singulares sobre un cuerpo son isomorfas si y solo si sus campos de funciones son isomorfos.

El teorema de Tsen trata sobre el cuerpo de funciones de una curva algebraica sobre un cuerpo algebraicamente cerrado.

Curvas complejas y superficies reales

Una curva algebraica proyectiva compleja reside en el espacio proyectivo complejo CP n ⁿ . Este tiene dimensión compleja n , pero dimensión topológica, como una variedad real , 2 n , y es compacto , conexo y orientable . Una curva algebraica sobre C tiene asimismo dimensión topológica dos; en otras palabras, es una superficie .

El género topológico de esta superficie, es decir, el número de asas o agujeros de rosquilla, es igual al género geométrico de la curva algebraica que se puede calcular mediante métodos algebraicos. En resumen, si se considera una proyección plana de una curva no singular de grado d con singularidades ordinarias (singularidades de multiplicidad dos con tangentes distintas), entonces el género es $(d - 1)(d - 2)/2 - k$ , donde k es el número de estas singularidades.

Superficies de Riemann compactas

Una superficie de Riemann es una variedad analítica compleja conexa de una dimensión compleja, lo que la convierte en una variedad real conexa de dos dimensiones. Es compacta si es compacta como espacio topológico.

Existe una triple equivalencia de categorías entre la categoría de curvas algebraicas proyectivas irreducibles suaves sobre C (con morfismos regulares no constantes ), la categoría de superficies de Riemann compactas (con morfismos holomorfos no constantes ) y la opuesta de la categoría de cuerpos de funciones algebraicas en una variable sobre C (con morfismos homomorfismos de cuerpos que fijan C ). Esto significa que, al estudiar estos tres temas, en cierto sentido estudiamos una misma cosa. Permite utilizar métodos analíticos complejos en geometría algebraica, métodos algebraico-geométricos en análisis complejo y métodos de teoría de cuerpos en ambos. Esto es característico de una clase mucho más amplia de problemas en geometría algebraica.

Véase también geometría algebraica y geometría analítica para una teoría más general.

Singularidades

Utilizando el concepto intrínseco de espacio tangente , los puntos P en una curva algebraica C se clasifican como suaves (sinónimo: no singulares ) o singulares . Dados n − 1 polinomios homogéneos en n + 1 variables, podemos encontrar la matriz jacobiana como la matriz ( n − 1)×( n + 1) de las derivadas parciales. Si el rango de esta matriz es n − 1, entonces los polinomios definen una curva algebraica (de lo contrario, definen una variedad algebraica de dimensión superior). Si el rango permanece n − 1 cuando la matriz jacobiana se evalúa en un punto P de la curva, entonces el punto es suave o regular; de lo contrario, es un punto singular . En particular, si la curva es una curva algebraica proyectiva plana, definida por una única ecuación polinómica homogénea f ( x , y , z ) = 0, entonces los puntos singulares son precisamente los puntos P donde el rango de la matriz 1×( n + 1) es cero, es decir, donde ${\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0.$

Dado que f es un polinomio, esta definición es puramente algebraica y no presupone nada sobre la naturaleza del cuerpo F , que en particular no tiene por qué ser de números reales o complejos. Cabe recordar, por supuesto, que (0,0,0) no es un punto de la curva y, por lo tanto, no es un punto singular.

De manera similar, para una curva algebraica afín definida por una única ecuación polinómica f ( x , y ) = 0, entonces los puntos singulares son precisamente los puntos P de la curva donde el rango de la matriz jacobiana de 1× n es cero, es decir, donde

$f(P)={\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)=0.$

Las singularidades de una curva no son invariantes birracionales. Sin embargo, localizar y clasificar las singularidades de una curva es una forma de calcular el género , que sí es un invariante birracional. Para que esto funcione, debemos considerar la curva proyectivamente y exigir que F sea algebraicamente cerrada, de modo que se consideren todas las singularidades que pertenecen a la curva.

Clasificación de singularidades

Los puntos singulares incluyen múltiples puntos donde la curva se cruza a sí misma, y también varios tipos de cúspide , por ejemplo la que muestra la curva con ecuación x ³ = y ² en (0,0).

Una curva C tiene como máximo un número finito de puntos singulares. Si no tiene ninguno, se la puede llamar suave o no singular . Comúnmente, esta definición se entiende sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y para una curva C en un espacio proyectivo (es decir, completo en el sentido de la geometría algebraica). Por ejemplo, la curva plana de ecuación $y-x^{3}=0$ se considera singular, ya que tiene un punto singular (una cúspide) en el infinito.

En el resto de esta sección, se considera una curva plana $C$ definida como el conjunto de ceros de un polinomio bivariado $f (x, y)$ . Algunos de los resultados, pero no todos, pueden generalizarse a curvas no planas.

Los puntos singulares se clasifican mediante varios invariantes. La multiplicidad $m$ se define como el entero máximo tal que las derivadas de $f$ a todos los órdenes hasta $m - 1$ se anulan (también el número mínimo de intersección entre la curva y una línea recta en $P$ ). Intuitivamente, un punto singular tienedelta invariante $δ$ si concentra $δ$ puntos dobles ordinarios en $P.$ Para precisar esto, elde explosiónproduce los llamadospuntos infinitamente cercanos, y sumando $m (m - 1)/2$ sobre los puntos infinitamente cercanos, dondemes su multiplicidad, se obtiene $δ$ . Para una curva irreducible y reducida y un punto $P$ podemos definir $δ$ algebraicamente como la longitud de ${\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}/{\mathcal {O}}_{P}$ dónde ${\mathcal {O}}_{P}$ es el anillo local en P y ${\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}$ es su cierre integral. ^{[ 1 ]}

El número de Milnor $μ$ de una singularidad es el grado de la aplicación $⁠ grad f (x, y) / |grad f (x, y)| ⁠$ en la pequeña esfera de radio ε, en el sentido del grado topológico de una aplicación continua , donde $grad f$ es el campo vectorial gradiente (complejo) de f . Está relacionado con δ y r mediante la fórmula de Milnor-Jung .

μ = 2δ − r + 1.

Aquí, el número de ramificación r de P es el número de ramas localmente irreducibles en P. Por ejemplo, r = 1 en una cúspide ordinaria y r = 2 en un punto doble ordinario. La multiplicidad m es al menos r , y P es singular si y solo si m es al menos 2. Además, δ es al menos m ( m -1)/2.

Calcular los invariantes delta de todas las singularidades permite determinar el género g de la curva; si d es el grado, entonces

$g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},$

donde la suma se toma sobre todos los puntos singulares P de la curva plana proyectiva compleja. Se llama fórmula del género .

Asigne los invariantes [ m , δ, r ] a una singularidad, donde m es la multiplicidad, δ es el invariante delta y r es el número de ramificación. Entonces, una cúspide ordinaria es un punto con invariantes [2,1,1] y un punto doble ordinario es un punto con invariantes [2,1,2], y un punto m -múltiple ordinario es un punto con invariantes [ m , m ( m − 1)/2, m ].

Ejemplos de curvas

Curvas racionales

Una curva racional , también llamada curva unicursal, es cualquier curva que sea birracionalmente equivalente a una recta, que podemos considerar como una recta proyectiva; por consiguiente, podemos identificar el cuerpo de funciones de la curva con el cuerpo de funciones racionales en una indeterminada F ( x ). Si F es algebraicamente cerrada, esto equivale a una curva de género cero; ^sin embargo, el cuerpo de todas las funciones algebraicas reales definidas en la variedad algebraica real x² + y² = -1 es un cuerpo de género cero que no es un cuerpo de funciones racionales ^.

Concretamente, una curva racional incrustada en un espacio afín de dimensión n sobre F puede parametrizarse (salvo puntos excepcionales aislados) mediante n funciones racionales de un único parámetro t ; al reducir estas funciones racionales al mismo denominador, los n + 1 polinomios resultantes definen una parametrización polinómica de la completación proyectiva de la curva en el espacio proyectivo. Un ejemplo es la curva normal racional , donde todos estos polinomios son monomios .

Cualquier sección cónica definida sobre F con un punto racional en F es una curva racional. Se puede parametrizar trazando una línea con pendiente t que pase por el punto racional y que se interseque con la curva cuadrática plana; esto da como resultado un polinomio con coeficientes racionales en F y una raíz racional en F , por lo que la otra raíz también es racional en F (es decir, pertenece a F ).

Por ejemplo, consideremos la elipse x² + xy + y² = ¹ , donde (−1, 0) es un punto racional. Trazando una recta con pendiente t desde (−1,0), y = t ( x + 1), sustituyéndola en la ^ecuación de la elipse, factorizando y resolviendo para x , obtenemos

$x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}.$

Entonces la ecuación para y es

$y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}\,,$

Esto define una parametrización racional de la elipse y, por lo tanto, demuestra que la elipse es una curva racional. Se dan todos los puntos de la elipse, excepto (−1,1), que corresponde a t = ∞; por consiguiente, toda la curva está parametrizada por la recta proyectiva real.

Dicha parametrización racional puede considerarse en el espacio proyectivo igualando las primeras coordenadas proyectivas a los numeradores de la parametrización y las últimas al denominador común. Como el parámetro se define en una línea proyectiva, los polinomios en el parámetro deben homogeneizarse . Por ejemplo, la parametrización proyectiva de la elipse anterior es

$X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.$

Eliminando T y U entre estas ecuaciones obtenemos nuevamente la ecuación proyectiva de la elipse. $X^{2}+X\,Y+Y^{2}=Z^{2},$ que se puede obtener fácilmente de forma directa homogeneizando la ecuación anterior.

Muchas de las curvas que aparecen en la lista de curvas de Wikipedia son racionales y, por lo tanto, tienen parametrizaciones racionales similares.

Curvas planas racionales

Las curvas planas racionales son curvas racionales incrustadas en $\mathbb {P} ^{2}$ . Secciones genéricas dadas $s_{1},s_{2},s_{3}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(d))$ de grado $d$ polinomios homogéneos en dos coordenadas, $x,y$ Hay un mapa $s:\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{2}$ dado por $s([x:y])=[s_{1}([x:y]):s_{2}([x:y]):s_{3}([x:y])]$ definir una curva plana racional de grado $d$ . ^{[ 2 ]} Hay un espacio de módulos asociado ${\mathcal {M}}={\overline {\mathcal {M}}}_{0,0}(\mathbb {P} ^{2},d\cdot [H])$ (dónde $[H]$ es la clase hiperplano) parametrizando todas esas curvas estables . Se puede realizar un recuento de dimensiones para determinar la dimensión de los espacios de módulos: Hay $d+1$ parámetros en $\Gamma (\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(d))$ donación $3d+3$ parámetros totales para cada una de las secciones. Luego, dado que se consideran hasta un cociente proyectivo en $\mathbb {P} ^{2}$ hay $1$ menos parámetro en ${\mathcal {M}}$ . Además, existe un grupo tridimensional de automorfismos de $\mathbb {P} ^{1}$ , por eso ${\mathcal {M}}$ tiene dimensión $3d+3-1-3=3d-1$ Este espacio de módulos se puede utilizar para contar el número $N_{d}$ de grado $d$ curvas planas racionales que se intersecan $3d-1$ puntos utilizando la teoría de Gromov-Witten . ^{[ 3 ]} Está dada por la relación recursiva $N_{d}=\sum _{d_{A}+d_{B}=d}N_{d_{A}}N_{d_{B}}d_{A}^{2}d_{B}\left(d_{B}{\binom {3d-4}{3d_{A}-2}}-d_{A}{\binom {3d-4}{3d_{A}-1}}\right)$ dónde $N_{1}=N_{2}=1$ .

Curvas elípticas

Una curva elíptica puede definirse como cualquier curva de género uno con un punto racional : un modelo común es una curva cúbica no singular , que basta para modelar cualquier curva de género uno. En este modelo, el punto distinguido se suele tomar como un punto de inflexión en el infinito; esto equivale a exigir que la curva pueda escribirse en la forma de Tate-Weierstrass, que en su versión proyectiva es $y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.$

Si la característica del campo es diferente de 2 y 3, entonces un cambio lineal de coordenadas permite colocar $a_{1}=a_{2}=a_{3}=0,$ lo que da lugar a la forma clásica de Weierstrass $y^{2}=x^{3}+px+q.$

Las curvas elípticas poseen la estructura de un grupo abeliano con el punto distinguido como identidad de la ley del grupo. En un modelo cúbico plano, la suma de tres puntos en el grupo es cero si y solo si son colineales . Para una curva elíptica definida sobre los números complejos, el grupo es isomorfo al grupo aditivo del plano complejo módulo la red periódica de las funciones elípticas correspondientes .

La intersección de dos superficies cuádricas es, en general, una curva no singular de género uno y grado cuatro, y por lo tanto una curva elíptica, si tiene un punto racional. En casos especiales, la intersección puede ser una cuártica singular racional o estar descompuesta en curvas de grados menores que no siempre son distintas (ya sea una curva cúbica y una recta, dos cónicas, una cónica y dos rectas, o cuatro rectas).

Curvas de género mayores que uno

Las curvas de género mayor que uno difieren marcadamente tanto de las curvas racionales como de las elípticas. Dichas curvas, definidas sobre los números racionales según el teorema de Faltings , solo pueden tener un número finito de puntos racionales y pueden considerarse como poseedoras de una estructura geométrica hiperbólica . Ejemplos de ello son las curvas hiperelípticas , la curva cuártica de Klein y la curva de Fermat $x n + y n = z n$ cuando $n$ es mayor que tres. También las curvas planas proyectivas en $\mathbb {P} ^{2}$ y curvas en $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ Proporcionar muchos ejemplos útiles.

Curvas planas proyectivas

Curvas planas $C\subset \mathbb {P} ^{2}$ de grado $k$ , que puede construirse como el lugar de desaparición de una sección genérica $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(k))$ , tienen género ${\frac {(k-1)(k-2)}{2}}$ que se puede calcular utilizando la cohomología de haces coherentes . Aquí hay un breve resumen de los géneros de las curvas en relación con su grado.

Por ejemplo, la curva $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ define una curva de género $3$ lo cual es suave ya que los diferenciales $4x^{3},4y^{3},4z^{3}$ no tienen ceros comunes con la curva. Un ejemplo que no es una sección genérica es la curva $x(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ que, según el teorema de Bezout , deberían intersecarse como máximo $2$ puntos; es la unión de dos curvas racionales $C_{1}\cup C_{2}$ que se intersecan en dos puntos. Nota $C_{1}$ viene dado por el lugar geométrico de desaparición de $x$ y $C_{2}$ viene dado por el lugar geométrico de desaparición de $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ . Estos se pueden encontrar explícitamente: un punto está en ambos si $x=0$ . Entonces, las dos soluciones son los puntos $[0:y:z]$ de tal manera que $y^{2}+z^{2}=0$ , que son $[0:1:-{\sqrt {-1}}]$ y $[0:1:{\sqrt {-1}}]$ .

Curvas en producto de líneas proyectivas

Curva $C\subset \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ dado por el lugar de desaparición de $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(a,b))$ , para $a,b\geq 2$ , dar curvas de género $ab-a-b+1$ lo cual se puede comprobar utilizando la cohomología de haces coherentes . Si $a=2$ , luego definen curvas de género $2b-2-b+1=b-1$ , por lo tanto, una curva de cualquier género puede construirse como una curva en $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ Sus géneros se pueden resumir en la tabla.

y para $a=3$ , esto es

Notas

↑ Hartshorne, Geometría algebraica, IV Ej. 1.8.
↑ Kazaryan, Maxim E.; Lando, Sergei K.; Prasolov, Victor (2018). Curvas algebraicas: Hacia espacios de módulos . Conferencias de Moscú. Springer International Publishing. pp. 213–214 . ISBN 978-3-030-02942-5.
↑ "Fórmula de Kontsevich para curvas planas racionales" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 26 de febrero de 2020.

Referencias

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↑ Norman Fraser (febrero de 1888). "Geometría sintética de curvas algebraicas de Kötter" . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 7 : 46–61 , véase pág. 46.

[1] Hartshorne, Geometría algebraica, IV Ej. 1.8.

[2] Kazaryan, Maxim E.; Lando, Sergei K.; Prasolov, Victor (2018). Curvas algebraicas: Hacia espacios de módulos . Conferencias de Moscú. Springer International Publishing. pp. 213–214 . ISBN 978-3-030-02942-5.

[3] "Fórmula de Kontsevich para curvas planas racionales" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 26 de febrero de 2020.

[4] Norman Fraser (febrero de 1888). "Geometría sintética de curvas algebraicas de Kötter" . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 7 : 46–61 , véase pág. 46.

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