Conjunto básico (química)

En química teórica y computacional , un conjunto base es un conjunto de funciones (llamadas funciones base ) que se utiliza para representar la función de onda electrónica en el método de Hartree-Fock o en la teoría del funcional de la densidad, con el fin de convertir las ecuaciones diferenciales parciales del modelo en ecuaciones algebraicas adecuadas para una implementación eficiente en un ordenador.

El uso de conjuntos de bases es equivalente al uso de una resolución aproximada de la identidad: los orbitales atómicos${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$se expanden dentro del conjunto base como una combinación lineal de las funciones base.${\textstyle |\psi _{i}\rangle \approx \sum _{\mu }c_{\mu i}|\mu \rangle }$donde los coeficientes de expansión${\displaystyle c_{\mu i}}$son dados por${\textstyle c_{\mu i}=\sum _{\nu }\langle \mu |\nu \rangle ^{-1}\langle \nu |\psi _{i}\rangle }$.

El conjunto base puede estar compuesto por orbitales atómicos (lo que da lugar al enfoque de combinación lineal de orbitales atómicos ), que es la opción habitual en la comunidad de química cuántica; ondas planas , que se utilizan típicamente en la comunidad del estado sólido, o enfoques en el espacio real. Se pueden utilizar varios tipos de orbitales atómicos: orbitales de tipo gaussiano , orbitales de tipo Slater u orbitales atómicos numéricos. ^{[ 1 ]} De los tres, los orbitales de tipo gaussiano son, con mucho, los más utilizados, ya que permiten implementaciones eficientes de métodos posteriores a Hartree-Fock .

En la química computacional moderna , los cálculos químico-cuánticos se realizan utilizando un conjunto finito de funciones base . Cuando este conjunto finito se expande hacia un conjunto completo (infinito) de funciones, se dice que los cálculos que utilizan dicho conjunto de funciones base se aproximan al límite del conjunto de funciones base completo (CBS). En este contexto, los términos función base y orbital atómico se utilizan a veces indistintamente, aunque las funciones base generalmente no son orbitales atómicos propiamente dichos.

Dentro del conjunto base, la función de onda se representa como un vector , cuyas componentes corresponden a los coeficientes de las funciones base en el desarrollo lineal. En dicha base, los operadores de un electrón corresponden a matrices (también conocidas como tensores de rango dos ), mientras que los operadores de dos electrones son tensores de rango cuatro.

Cuando se realizan cálculos moleculares, es común usar una base compuesta por orbitales atómicos , centrados en cada núcleo dentro de la molécula ( ansatz de combinación lineal de orbitales atómicos ). El conjunto de bases mejor motivado físicamente son los orbitales de tipo Slater (STO), que son soluciones de la ecuación de Schrödinger de átomos hidrogenoides y decaen exponencialmente lejos del núcleo. Se puede demostrar que los orbitales moleculares de Hartree-Fock y la teoría del funcional de la densidad también exhiben un decaimiento exponencial . Además, los STO de tipo S también satisfacen la condición de cúspide de Kato en el núcleo, lo que significa que pueden describir con precisión la densidad electrónica cerca del núcleo. Sin embargo, los átomos hidrogenoides carecen de interacciones de muchos electrones, por lo que los orbitales no describen con precisión las correlaciones del estado electrónico .

Desafortunadamente, calcular integrales con STO es computacionalmente difícil, y Frank Boys se dio cuenta más tarde de que los STO podían aproximarse como combinaciones lineales de orbitales de tipo gaussiano (GTO). Dado que el producto de dos GTO puede escribirse como una combinación lineal de GTO, las integrales con funciones base gaussianas pueden escribirse en forma cerrada, lo que conlleva un enorme ahorro computacional (véase John Pople ).

Se han publicado docenas de conjuntos de bases orbitales de tipo gaussiano en la literatura. ^{[ 2 ]} Los conjuntos de bases suelen presentarse en jerarquías de tamaño creciente, lo que proporciona una forma controlada de obtener soluciones más precisas, aunque a un costo mayor.

Los conjuntos de base más pequeños se denominan conjuntos de base mínimos . Un conjunto de base mínimo es aquel en el que, para cada átomo de la molécula, se utiliza una única función de base para cada orbital en un cálculo de Hartree-Fock sobre el átomo libre. Para átomos como el litio, también se añaden funciones de base de tipo p a las funciones de base que corresponden a los orbitales 1s y 2s del átomo libre, ya que el litio también tiene un estado ligado 1s2p . Por ejemplo, cada átomo del segundo periodo del sistema periódico (Li-Ne) tendría un conjunto de base de cinco funciones (dos funciones s y tres funciones p).

Un conjunto de base mínimo puede ser exacto para el átomo en fase gaseosa a nivel de teoría de campo autoconsistente. En el siguiente nivel, se añaden funciones adicionales para describir la polarización de la densidad electrónica del átomo en las moléculas. Estas se denominan funciones de polarización . Por ejemplo, mientras que el conjunto de base mínimo para el hidrógeno es una función que aproxima el orbital atómico 1s, un conjunto de base polarizado simple suele tener dos funciones s y una función p (que consta de tres funciones base: px, py y pz). Esto añade flexibilidad al conjunto de base, permitiendo que los orbitales moleculares que involucran al átomo de hidrógeno sean más asimétricos con respecto al núcleo de hidrógeno. Esto es muy importante para modelar el enlace químico, ya que los enlaces suelen estar polarizados. De manera similar, se pueden añadir funciones de tipo d a un conjunto de base con orbitales p de valencia, funciones f a un conjunto de base con orbitales de tipo d, y así sucesivamente.

Otra adición común a los conjuntos de bases es la incorporación de funciones difusas . Estas son funciones base gaussianas extendidas con un exponente pequeño, que brindan flexibilidad a la parte de la "cola" de los orbitales atómicos, lejos del núcleo. Las funciones base difusas son importantes para describir aniones o momentos dipolares, pero también pueden ser importantes para modelar con precisión los enlaces intra e intermoleculares.

El conjunto de bases mínimo más común es STO-nG , donde n es un número entero. Los conjuntos de bases STO-nG se derivan de un conjunto de bases orbitales mínimo de tipo Slater, donde n representa el número de funciones primitivas gaussianas utilizadas para representar cada orbital de tipo Slater. Los conjuntos de bases mínimos suelen proporcionar resultados aproximados que no son suficientes para publicaciones de investigación de calidad, pero son mucho más económicos que sus contrapartes más extensas. Los conjuntos de bases mínimos de este tipo más utilizados son:

• STO-3G
• STO-4G
• STO-6G
• STO-3G* – Versión polarizada de STO-3G

Existen otros conjuntos de bases mínimas que se han utilizado, como los conjuntos de bases MidiX.

Durante la mayoría de los enlaces moleculares, son los electrones de valencia los que participan principalmente en el enlace. En reconocimiento de este hecho, es común representar los orbitales de valencia mediante más de una función base (cada una de las cuales puede estar compuesta a su vez por una combinación lineal fija de funciones gaussianas primitivas). Los conjuntos de bases en los que existen múltiples funciones base correspondientes a cada orbital atómico de valencia se denominan conjuntos de bases de valencia doble, triple, cuádruple-zeta, etc. (zeta, ζ, se utilizaba comúnmente para representar el exponente de una función base STO ^{[ 4 ]} ). Dado que los diferentes orbitales del desdoblamiento tienen diferentes extensiones espaciales, la combinación permite que la densidad electrónica ajuste su extensión espacial de acuerdo con el entorno molecular particular. En contraste, los conjuntos de bases mínimos carecen de la flexibilidad para ajustarse a diferentes entornos moleculares.

Algunos de los conjuntos de bases más utilizados son los desarrollados por Dunning y colaboradores, ^{[ 7 ]} ya que están diseñados para converger sistemáticamente los cálculos posteriores a Hartree-Fock al límite del conjunto de bases completo utilizando técnicas de extrapolación empírica.

Para los átomos de la primera y segunda fila, los conjuntos de bases son cc-pVNZ, donde N  = D , T , Q , 5, 6, ... ( D = doble, T = triple, etc.). La sigla 'cc-p' significa 'polarizado consistente con la correlación' y la 'V' indica que solo los conjuntos de bases para los orbitales de valencia son de calidad zeta múltiple. (Al igual que los conjuntos de bases de Pople, los orbitales centrales son de calidad zeta simple). Incluyen capas sucesivamente más grandes de funciones de polarización (correlacionadas) ( d , f , g , etc.). Más recientemente, estos conjuntos de bases 'polarizados consistentes con la correlación' se han vuelto ampliamente utilizados y representan el estado del arte actual para cálculos correlacionados o post-Hartree-Fock . El prefijo aug- se agrega si se incluyen funciones difusas en la base. Ejemplos de estas son:     

• cc-pVDZ – Doble zeta
• cc-pVTZ – Triple-zeta
• cc-pVQZ – Cuádruple-zeta
• cc-pV5Z – Quíntuple-zeta, etc.
• aug-cc-pVDZ, etc. – Versiones aumentadas de los conjuntos de bases anteriores con funciones difusas añadidas.
• cc-pCVDZ – Doble zeta con correlación central

Para los átomos del periodo 3 (Al-Ar), se han requerido funciones adicionales; estas son las bases cc-pV(N+d)Z. Incluso los átomos más grandes pueden emplear bases de pseudopotencial, cc-pVNZ-PP, o bases de Douglas-Kroll relativistas contraídas, cc-pVNZ-DK.

Si bien los conjuntos de bases de Dunning habituales se utilizan para cálculos que solo consideran la valencia, estos conjuntos pueden ampliarse con funciones adicionales que describen la correlación de los electrones internos . Estos conjuntos de valencia-núcleo (cc-pCVXZ) pueden utilizarse para aproximarse a la solución exacta del problema de todos los electrones y son necesarios para realizar cálculos precisos de las propiedades geométricas y nucleares.

Recientemente también se han propuesto conjuntos ponderados de valencia-núcleo (cc-pwCVXZ). Estos conjuntos ponderados buscan capturar la correlación valencia-núcleo, ignorando la mayor parte de la correlación núcleo-núcleo, para obtener geometrías precisas con un coste menor que los conjuntos cc-pCVXZ.

También se pueden agregar funciones difusas para describir aniones e interacciones de largo alcance, como las fuerzas de Van der Waals, o para realizar cálculos de estados excitados electrónicos y de propiedades del campo eléctrico . Existe un método para construir funciones aumentadas adicionales; en la literatura se han utilizado hasta cinco funciones aumentadas en cálculos de segunda hiperpolarizabilidad. Debido a la construcción rigurosa de estos conjuntos de bases, se puede realizar la extrapolación para casi cualquier propiedad energética. Sin embargo, se debe tener cuidado al extrapolar las diferencias de energía, ya que los componentes energéticos individuales convergen a ritmos diferentes: la energía de Hartree-Fock converge exponencialmente, mientras que la energía de correlación converge solo polinómicamente.

Para comprender cómo obtener el número de funciones, consideremos el conjunto de bases cc-pVDZ para H: Hay dos orbitales s ( L = 0) y un orbital p ( L = 1) que tiene 3 componentes de momento angular a lo largo del eje z ( m _L = −1,0,1) correspondientes a p _x , p _y y p _z . Por lo tanto, hay cinco orbitales espaciales en total. Nótese que cada orbital puede contener dos electrones de espín opuesto.

Como otro ejemplo, Ar [1s, 2s, 2p, 3s, 3p] tiene 3 orbitales s ( L  =  0) y 2 conjuntos de orbitales p ( L  =  1). Usando cc-pVDZ, los orbitales son [1s, 2s, 2p, 3s, 3s, 3p, 3p, 3d'] (donde ' representa los orbitales de polarización añadidos), con 4 orbitales s (4 funciones base), 3 conjuntos de orbitales p (3 × 3 = 9 funciones base) y 1 conjunto de orbitales d (5 funciones base). Sumando las funciones base se obtiene un total de 18 funciones para Ar con el conjunto de bases cc-pVDZ.

La teoría del funcional de la densidad se ha popularizado recientemente en la química computacional . Sin embargo, los conjuntos de bases consistentes con la correlación descritos anteriormente no son óptimos para esta teoría, ya que fueron diseñados para métodos posteriores al método de Hartree-Fock , mientras que la teoría del funcional de la densidad presenta una convergencia de conjuntos de bases mucho más rápida que los métodos de función de onda.

Adoptando una metodología similar a la de la serie consistente con la correlación, Frank Jensen introdujo los conjuntos de bases consistentes con la polarización (pc-n) como una forma de lograr una rápida convergencia de los cálculos de la teoría del funcional de la densidad al límite del conjunto de bases completo. ^{[ 8 ]} Al igual que los conjuntos de Dunning, los conjuntos pc-n se pueden combinar con técnicas de extrapolación de conjuntos de bases para obtener valores CBS.

Los conjuntos pc-n se pueden aumentar con funciones difusas para obtener conjuntos augpc-n.

Algunas de las diversas adaptaciones de valencia de los conjuntos de bases de Karlsruhe ^{[ 9 ]} se describen brevemente a continuación.

• def2-SV(P) – Valencia dividida con funciones de polarización en átomos pesados ​​(no hidrógeno)
• def2-SVP – Polarización de valencia dividida
• def2-SVPD – Polarización de valencia dividida con funciones difusas
• def2-TZVP – Polarización triple zeta de valencia
• def2-TZVPD – Polarización triple zeta de valencia con funciones difusas
• def2-TZVPP – Triple zeta de valencia con dos conjuntos de funciones de polarización
• def2-TZVPPD – Triple zeta de valencia con dos conjuntos de funciones de polarización y un conjunto de funciones difusas
• def2-QZVP – Polarización cuádruple zeta de valencia
• def2-QZVPD – Polarización cuádruple zeta de valencia con funciones difusas
• def2-QZVPP – Cuádruple zeta de valencia con dos conjuntos de funciones de polarización
• def2-QZVPPD – Cuádruple zeta de valencia con dos conjuntos de funciones de polarización y un conjunto de funciones difusas

Los conjuntos de bases orbitales de tipo gaussiano se optimizan típicamente para reproducir la energía más baja posible de los sistemas utilizados para entrenar el conjunto de bases. Sin embargo, la convergencia de la energía no implica la convergencia de otras propiedades, como los apantallamientos magnéticos nucleares, el momento dipolar o la densidad de momento electrónico, que analizan diferentes aspectos de la función de onda electrónica.

Manninen y Vaara propusieron conjuntos de bases optimizados para la completitud, ^{[ 10 ]} donde los exponentes se obtienen maximizando el perfil de completitud de un electrón ^{[ 11 ]} en lugar de minimizando la energía. Los conjuntos de bases optimizados para la completitud son una forma de aproximarse fácilmente al límite del conjunto de bases completo de cualquier propiedad en cualquier nivel de teoría, y el procedimiento es sencillo de automatizar. ^{[ 12 ]}

Los conjuntos de bases optimizados para la completitud se adaptan a una propiedad específica. De esta forma, la flexibilidad del conjunto de bases se puede enfocar en las exigencias computacionales de la propiedad elegida, lo que generalmente resulta en una convergencia mucho más rápida al límite del conjunto de bases completo que la que se puede lograr con conjuntos de bases optimizados para la energía.

En 1974, Bardo y Ruedenberg ^{[ 13 ]} propusieron un esquema simple para generar los exponentes de un conjunto base que abarca el espacio de Hilbert de manera uniforme ^{[ 14 ]} siguiendo una progresión geométrica de la forma: $${\displaystyle \alpha _{i,l}=\alpha _{l}\beta _{l}^{i-1},\quad \alpha _{l},\beta _{l}>0,\quad \beta _{l}\neq 1\quad i=1,2,\dots ,N_{l}}$$ para cada momento angular${\displaystyle l}$, dónde${\displaystyle N_{l}}$es el número de funciones primitivas. Aquí, solo los dos parámetros${\displaystyle \alpha _{l}}$y${\displaystyle \beta _{l}}$debe optimizarse, reduciendo significativamente la dimensión del espacio de búsqueda o incluso evitando el problema de optimización del exponente. Para describir adecuadamente los estados electrónicos deslocalizados, un conjunto de base estándar previamente optimizado puede complementarse con funciones gaussianas deslocalizadas adicionales con valores de exponente pequeños, generadas por el esquema de temperatura uniforme. ^{[ 14 ]} Este enfoque también se ha empleado para generar conjuntos de base para otros tipos de partículas cuánticas distintas de los electrones, como núcleos cuánticos, ^{[ 15 ]} muones negativos ^{[ 16 ]} o positrones. ^{[ 17 ]}

Además de los conjuntos de bases localizadas, también se pueden utilizar conjuntos de bases de ondas planas en simulaciones químico-cuánticas. Normalmente, la elección del conjunto de bases de ondas planas se basa en una energía de corte. Las ondas planas de la celda de simulación que se encuentran por debajo de este criterio de energía se incluyen entonces en el cálculo. Estos conjuntos de bases son populares en cálculos que involucran condiciones de contorno periódicas tridimensionales .

La principal ventaja de una base de ondas planas es que garantiza una convergencia suave y monótona a la función de onda objetivo. En cambio, cuando se utilizan conjuntos de bases localizadas, la convergencia monótona al límite del conjunto de bases puede resultar difícil debido a problemas de sobrecompletitud: en un conjunto de bases grande, las funciones en diferentes átomos comienzan a parecerse y muchos autovalores de la matriz de solapamiento tienden a cero.

Además, ciertas integrales y operaciones son mucho más fáciles de programar y realizar con funciones base de ondas planas que con sus contrapartes localizadas. Por ejemplo, el operador de energía cinética es diagonal en el espacio recíproco. Las integrales sobre operadores en el espacio real se pueden realizar de manera eficiente utilizando transformadas rápidas de Fourier . Las propiedades de la transformada de Fourier permiten calcular un vector que representa el gradiente de la energía total con respecto a los coeficientes de ondas planas con un esfuerzo computacional que escala como NPW*ln(NPW), donde NPW es el número de ondas planas. Cuando esta propiedad se combina con pseudopotenciales separables del tipo Kleinman-Bylander y técnicas de solución de gradiente conjugado precondicionadas, se hace posible la simulación dinámica de problemas periódicos que contienen cientos de átomos.

En la práctica, los conjuntos de bases de ondas planas se suelen utilizar en combinación con un «potencial de núcleo efectivo» o pseudopotencial , de modo que las ondas planas solo se emplean para describir la densidad de carga de valencia . Esto se debe a que los electrones del núcleo tienden a concentrarse muy cerca de los núcleos atómicos, lo que genera grandes gradientes de función de onda y densidad cerca de los núcleos, que no se describen fácilmente con un conjunto de bases de ondas planas a menos que se utilice un corte de energía muy alto y, por lo tanto, una longitud de onda pequeña. Este método combinado de un conjunto de bases de ondas planas con un pseudopotencial de núcleo se suele abreviar como cálculo PSPW .

Además, dado que todas las funciones de la base son mutuamente ortogonales y no están asociadas a ningún átomo en particular, los conjuntos de bases de ondas planas no presentan errores de superposición . Sin embargo, el conjunto de bases de ondas planas depende del tamaño de la celda de simulación, lo que complica la optimización del tamaño de la celda.

Debido a la suposición de condiciones de contorno periódicas, los conjuntos de bases de ondas planas son menos adecuados para cálculos en fase gaseosa que los conjuntos de bases localizadas. Es necesario añadir grandes regiones de vacío a todos los lados de la molécula en fase gaseosa para evitar interacciones con la molécula y sus copias periódicas. Sin embargo, las ondas planas utilizan una precisión similar para describir la región de vacío que la región donde se encuentra la molécula, lo que significa que obtener el límite verdaderamente no interactuante puede resultar computacionalmente costoso.

Los conjuntos de bases de ondas planas aumentadas linealizadas (LAPW) combinan algunas de las propiedades de los conjuntos de bases localizados y los métodos de ondas planas . Estos se basan en la partición del espacio en esferas que no se superponen alrededor de cada átomo y una región intersticial entre ellas. Una función de base LAPW es una onda plana en la región intersticial, aumentada mediante funciones atómicas numéricas en cada esfera. Estas funciones atómicas numéricas proporcionan una representación linealizada de las funciones de onda para energías arbitrarias en torno a parámetros energéticos determinados automáticamente.

De forma similar a los conjuntos de bases de ondas planas, un conjunto de bases LAPW se determina principalmente por un parámetro de corte para la representación de ondas planas en la región intersticial. En las esferas, los grados de libertad variacionales pueden extenderse añadiendo orbitales locales al conjunto de bases. Esto permite representaciones de funciones de onda que van más allá de la descripción linealizada.

Las ondas planas en la región intersticial implican condiciones de contorno periódicas tridimensionales, aunque es posible introducir regiones de aumento adicionales para reducirlas a una o dos dimensiones, por ejemplo, para la descripción de estructuras en cadena o películas delgadas. La representación atómica en las esferas permite tratar cada átomo con su singularidad potencial en el núcleo y prescindir de una aproximación de pseudopotencial.

La desventaja de los conjuntos de bases LAPW radica en su definición compleja, que incluye numerosos parámetros que deben ser controlados por el usuario o mediante un procedimiento automático. Otra consecuencia de la forma del conjunto de bases son las expresiones matemáticas complejas, por ejemplo, para el cálculo de una matriz hamiltoniana o de fuerzas atómicas.

Los métodos en el espacio real ofrecen soluciones eficaces para resolver problemas de estructura electrónica gracias a su precisión controlable. Se puede considerar que los conjuntos de bases en el espacio real surgen de la teoría de la interpolación , ya que la idea central es representar los orbitales (desconocidos) mediante un conjunto de funciones de interpolación.

Se han propuesto varios métodos para construir la solución en el espacio real, incluyendo elementos finitos , splines base , funciones sinc de Lagrange y wavelets . ^{[ 1 ]} Los algoritmos de diferencias finitas también se incluyen a menudo en esta categoría, aunque, precisamente hablando, no forman un conjunto base adecuado y no son variacionales, a diferencia de, por ejemplo, los métodos de elementos finitos. ^{[ 1 ]}

Una característica común de todos los métodos en el espacio real es que la precisión del conjunto de base numérica es mejorable, de modo que se puede alcanzar sistemáticamente el límite del conjunto de base completo. Además, en el caso de las ondículas y los elementos finitos, es fácil utilizar diferentes niveles de precisión en distintas partes del sistema, de manera que se utilizan más puntos cerca de los núcleos, donde la función de onda experimenta cambios rápidos y donde se concentra la mayor parte de las energías totales, mientras que una representación menos precisa es suficiente lejos de los núcleos; esta característica es extremadamente importante, ya que puede utilizarse para que los cálculos de todos los electrones sean viables.

Por ejemplo, en los métodos de elementos finitos (MEF), la función de onda se representa como una combinación lineal de un conjunto de polinomios por partes. Los polinomios de interpolación de Lagrange (PIL) son una base comúnmente utilizada para los cálculos de MEF. El error de interpolación local en la base PIL de orden${\displaystyle n}$es de la forma${\displaystyle h^{n+1}\max f^{(n+1)}(\xi )}$. El conjunto base completo se puede alcanzar yendo a elementos cada vez más pequeños (es decir, dividiendo el espacio en subdivisiones cada vez más pequeñas;${\displaystyle h}$-FEM adaptativo), cambiando al uso de polinomios de orden cada vez mayor (${\displaystyle p}$-FEM adaptativo), o mediante una combinación de ambas estrategias (${\displaystyle hp}$-FEM adaptativo). Se ha demostrado que el uso de LIP de alto orden es muy beneficioso para la precisión. ^{[ 18 ]}

• Lista de software de química cuántica y física del estado sólido

Todos los conjuntos de bases aquí analizados, junto con otros, se tratan en las referencias que figuran a continuación, las cuales a su vez remiten a los artículos originales de las revistas científicas:

• Levine, Ira N. (1991). Química cuántica . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. págs. 461–466 . ISBN  978-0-205-12770-2.
• Cramer, Christopher J. (2002). Fundamentos de química computacional . Chichester: John Wiley & Sons, Ltd. pp. 154–168 . ISBN  978-0-471-48552-0.
• Jensen, Frank (1999). Introducción a la química computacional . John Wiley and Sons. págs. 150–176 . ISBN  978-0-471-98085-8.
• Leach, Andrew R. (1996). Modelado molecular: principios y aplicaciones . Singapur: Longman. págs. 68–77 . ISBN  978-0-582-23933-3.
• Hehre, Warren J. (2003). Guía de mecánica molecular y cálculos de química cuántica . Irvine, California: Wavefunction, Inc. pp. 40–47 . ISBN  978-1-890661-18-2.
• https://web.archive.org/web/20070830043639/http://www.chem.swin.edu.au/modules/mod8/basis1.html
• Moran, Damian; Simmonett, Andrew C.; Leach, Franklin E.; Allen, Wesley D.; Schleyer, Paul v. R.; Schaefer, Henry F. (2006). "Métodos teóricos populares predicen que el benceno y los arenos no son planares". Journal of the American Chemical Society . 128 (29): 9342– 3. doi : 10.1021/ja0630285 . PMID 16848464 . 
• Choi, Sunghwan; Kwangwoo, Hong; Jaewook, Kim; Woo Youn, Kim (2015). "Precisión de las funciones de Lagrange-sinc como conjunto base para cálculos de estructura electrónica de átomos y moléculas". The Journal of Chemical Physics . 142 (9): 094116. Bibcode : 2015JChPh.142i4116C . doi : 10.1063/1.4913569 . PMID 25747070 . 

• Intercambio de conjuntos básicos de EMSL
• Biblioteca de conjuntos de bases TURBOMOLE
• CRYSTAL – Biblioteca de conjuntos básicos archivada el 11 de febrero de 2020 en Wayback Machine.
• Biblioteca de conjuntos básicos de Dyall
• Conjuntos de bases consistentes de correlación del grupo Peterson
• Biblioteca de conjuntos de bases gaussianas segmentadas de Sapporo
• Biblioteca de pseudopotenciales consistentes energéticamente (ab initio) de Stuttgart/Colonia
• ChemViz – Actividad de laboratorio sobre conjuntos básicos