Teorema de cierre de Poncelet

En geometría , el teorema de cierre de Poncelet , también conocido como porismo de Poncelet , establece que siempre que un polígono esté inscrito en una sección cónica y circunscriba otra, dicho polígono debe pertenecer a una familia infinita de polígonos que están inscritos y circunscriben las mismas dos cónicas. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Recibe su nombre del ingeniero y matemático francés Jean-Victor Poncelet , quien escribió sobre él en 1822; ^{[ 3 ]} sin embargo, el caso triangular fue descubierto mucho antes, en 1746 por William Chapple . ^{[ 4 ]}

El porismo de Poncelet se puede demostrar mediante un argumento que utiliza una curva elíptica , cuyos puntos representan una combinación de una línea tangente a una cónica y un punto de intersección de esa línea con la otra cónica.

Sean C y D dos cónicas planas. Si para un n  >  2 dado es posible encontrar un polígono de n lados que esté inscrito en C (es decir, que todos sus vértices pertenezcan a C ) y circunscrito a D (es decir, que todas sus aristas sean tangentes a D ), entonces es posible encontrar infinitos polígonos de este tipo. Cada punto de C o D es un vértice o una tangencia (respectivamente) de uno de estos polígonos.

Si las cónicas son círculos , los polígonos inscritos en un círculo y circunscritos al otro se denominan polígonos bicéntricos ; por lo tanto, este caso especial del porismo de Poncelet puede expresarse de forma más concisa diciendo que todo polígono bicéntrico forma parte de una familia infinita de polígonos bicéntricos con respecto a los mismos dos círculos. ^{[ 5 ] : p. 94}

Consideremos C y D como curvas en el plano proyectivo complejo P ² . Para simplificar, supongamos que C y D se intersecan transversalmente (lo que significa que cada punto de intersección de las dos es un simple cruce). Entonces, por el teorema de Bézout , la intersección C ∩ D de las dos curvas consta de cuatro puntos complejos. Para un punto arbitrario d en D , sea ℓ _d la recta tangente a D en d . Sea X la subvariedad de C × D que consta de ( c , d ) tal que ℓ _d pasa por c . Dado c , el número de d con ( c , d ) ∈ X es 1 si c ∈ C ∩ D y 2 en caso contrario. Por lo tanto, la proyección X → C ≃ P ¹ presenta X como una cubierta de grado 2 ramificada sobre 4 puntos, por lo que X es una curva elíptica (una vez que fijamos un punto base en X ). Sea${\displaystyle \sigma }$Sea la involución de X enviando un punto general ( c , d ) al otro punto ( c , d ') con la misma primera coordenada. Cualquier involución de una curva elíptica con un punto fijo, cuando se expresa en la ley de grupo, tiene la forma x → p − x para algún p , por lo que${\displaystyle \sigma }$tiene esta forma. De manera similar, la proyección X → D es un morfismo de grado 2 ramificado sobre los puntos de contacto en D de las cuatro líneas tangentes a C y D , y la involución correspondiente${\displaystyle \tau }$tiene la forma x → q − x para algún q . Por lo tanto, la composición${\displaystyle \tau \sigma }$es una traslación en X. Si una potencia de${\displaystyle \tau \sigma }$Si tiene un punto fijo, esa potencia debe ser la identidad. Traducido al lenguaje de C y D , esto significa que si un punto c ∈ C (equipado con un d correspondiente ) da lugar a una órbita que se cierra (es decir, da un n -gono), entonces lo mismo ocurre con todos los demás puntos. Los casos degenerados en los que C y D no son transversales se derivan de un argumento de límite.

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• Conjetura de Egan

• Bos, HJM ; Kers, C.; Oort, F .; Raven, DW "Teorema de cierre de Poncelet". Expositiones Mathematicae 5 (1987), núm.  4, 289–364.

• David Speyer sobre el porismo de Poncelet
• D. Fuchs, S. Tabachnikov, Compendio matemático: Treinta lecciones sobre matemáticas clásicas
• Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra los casos n  =  3,  4,  5,  6,  7,  8 (incluidos los casos convexos para n  =  7,  8) creado con GeoGebra .
• Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra el porismo de Poncelet para una elipse general y una parábola creada con GeoGebra .
• Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra el porismo de Poncelet para 2 elipses generales (orden 3) creadas con GeoGebra .
• Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra el porismo de Poncelet para 2 elipses generales (orden 5) creadas con GeoGebra .
• Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra el porismo de Poncelet para 2 elipses generales (orden 6) creadas con GeoGebra .
• Applet de Java que muestra el caso exterior para n = 3 en la Universidad Nacional Tsing Hua.
• Artículo sobre el porismo de Poncelet en Mathworld.