Campo de conjuntos

La pareja${\displaystyle (Y,2^{Y})}$de un conjunto arbitrario${\displaystyle Y}$y su conjunto de potencia${\displaystyle 2^{Y}}$es un campo de conjuntos. Si${\displaystyle Y}$es finito (es decir,${\displaystyle n}$-elemento), entonces${\displaystyle 2^{Y}}$es finito (es decir,${\displaystyle 2^{n}}$-elemento). Parece que todo cuerpo finito de conjuntos (es decir,${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$con${\displaystyle {\mathcal {F}}}$finito, mientras que${\displaystyle X}$puede ser infinito) admite una representación de la forma${\displaystyle (Y,2^{Y})}$con finito${\displaystyle Y}$; significa una función${\displaystyle f:X\to Y}$que establece una correspondencia uno a uno entre${\displaystyle {\mathcal {F}}}$y${\displaystyle 2^{Y}}$mediante imagen inversa :${\displaystyle S=f^{-1}[B]=\{x\in X\mid f(x)\in B\}}$dónde${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$y${\displaystyle B\in 2^{Y}}$(eso es,${\displaystyle B\subset Y}$). Una consecuencia notable: el número de complejos, si es finito, siempre es de la forma${\displaystyle 2^{n}.}$

Para este fin se elige${\displaystyle Y}$ser el conjunto de todos los átomos del campo de conjuntos dado, y define${\displaystyle f}$por${\displaystyle f(x)=A}$cuando sea${\displaystyle x\in A}$por un punto${\displaystyle x\in X}$y un complejo${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$eso es un átomo; esto último significa que un subconjunto no vacío de${\displaystyle A}$diferente de${\displaystyle A}$no puede ser un complejo.

En otras palabras: los átomos son una partición de${\displaystyle X}$;${\displaystyle Y}$es el conjunto cociente correspondiente ; y${\displaystyle f}$es la sobreyección canónica correspondiente.

De manera similar, toda álgebra booleana finita puede representarse como un conjunto potencia: el conjunto potencia de su conjunto de átomos ; cada elemento del álgebra booleana corresponde al conjunto de átomos que se encuentra debajo (cuya unión es el elemento). Esta representación de conjunto potencia puede construirse de forma más general para cualquier álgebra booleana atómica completa .

En el caso de álgebras booleanas que no son completas ni atómicas, podemos generalizar la representación del conjunto potencia considerando cuerpos de conjuntos en lugar de conjuntos potencia completos. Para ello, observamos primero que los átomos de un álgebra booleana finita corresponden a sus ultrafiltros y que un átomo está por debajo de un elemento de un álgebra booleana finita si y solo si ese elemento está contenido en el ultrafiltro correspondiente al átomo. Esto nos lleva a construir una representación de un álgebra booleana tomando su conjunto de ultrafiltros y formando complejos asociando a cada elemento del álgebra booleana el conjunto de ultrafiltros que lo contienen. Esta construcción produce una representación del álgebra booleana como un cuerpo de conjuntos y se conoce como la representación de Stone . Es la base del teorema de representación de Stone para álgebras booleanas y un ejemplo de un procedimiento de completación en la teoría del orden basado en ideales o filtros , similar a los cortes de Dedekind .

Alternativamente, se puede considerar el conjunto de homomorfismos sobre el álgebra booleana de dos elementos y formar complejos asociando cada elemento del álgebra booleana con el conjunto de homomorfismos que lo mapean al elemento superior. (Este enfoque es equivalente, ya que los ultrafiltros de un álgebra booleana son precisamente las preimágenes de los elementos superiores bajo estos homomorfismos). Con este enfoque, se observa que la representación de Stone también puede considerarse una generalización de la representación de álgebras booleanas finitas mediante tablas de verdad .

• Un cuerpo de conjuntos se denomina separativo (o diferenciado ) si y solo si para cada par de puntos distintos existe un complejo que contiene a uno pero no al otro.
• Un campo de conjuntos se llama compacto si y solo si para cada filtro propio sobre${\displaystyle X}$La intersección de todos los complejos contenidos en el filtro no está vacía.

Estas definiciones surgen al considerar la topología generada por los complejos de un cuerpo de conjuntos. (Es solo una de las topologías notables en el conjunto de puntos dado; a menudo sucede que se da otra topología, con propiedades bastante diferentes, en particular, no cero-dimensional). Dado un cuerpo de conjuntos${\displaystyle \mathbf {X} =(X,{\mathcal {F}})}$Los complejos forman una base para una topología. Denotamos por${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$el espacio topológico correspondiente,${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$dónde${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es la topología formada al tomar uniones arbitrarias de complejos. Entonces

• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$es siempre un espacio cero-dimensional .
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$es un espacio Hausdorff si y solo si${\displaystyle \mathbf {X} }$es separativo.
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$es un espacio compacto con conjuntos abiertos compactos${\displaystyle {\mathcal {F}}}$si y solo si${\displaystyle \mathbf {X} }$es compacto.
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$es un espacio booleano con conjuntos clopen${\displaystyle {\mathcal {F}}}$si y solo si${\displaystyle \mathbf {X} }$es a la vez separativo y compacto (en cuyo caso se describe como descriptivo ).

La representación de Stone de un álgebra booleana es siempre separativa y compacta; el espacio booleano correspondiente se conoce como el espacio de Stone del álgebra booleana. Los conjuntos clopen del espacio de Stone son, precisamente, los complejos de la representación de Stone. El área de las matemáticas conocida como dualidad de Stone se fundamenta en el hecho de que la representación de Stone de un álgebra booleana puede recuperarse exclusivamente a partir del espacio de Stone correspondiente, de donde surge una dualidad entre álgebras booleanas y espacios booleanos.

Si un álgebra sobre un conjunto es cerrada bajo uniones numerables (y, por lo tanto, también bajo intersecciones numerables ), se denomina álgebra sigma y el cuerpo de conjuntos correspondiente se denomina espacio medible . Los complejos de un espacio medible se denominan conjuntos medibles . El teorema de Loomis - Sikorski proporciona una dualidad de tipo Stone entre álgebras booleanas numerablemente completas (que pueden denominarse álgebras sigma abstractas ) y espacios medibles.

Un espacio de medida es un triple${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$dónde${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$es un espacio mensurable y${\displaystyle \mu }$es una medida definida en ella. Si${\displaystyle \mu }$En realidad, se trata de una medida de probabilidad; hablamos de un espacio de probabilidad y llamamos a su espacio medible subyacente espacio muestral . Los puntos de un espacio muestral se denominan puntos muestrales y representan resultados potenciales, mientras que los conjuntos medibles (complejos) se denominan eventos y representan propiedades de los resultados a los que deseamos asignar probabilidades. (Muchos utilizan el término espacio muestral simplemente para referirse al conjunto subyacente de un espacio de probabilidad, especialmente cuando cada subconjunto es un evento). Los espacios de medida y los espacios de probabilidad desempeñan un papel fundamental en la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad, respectivamente.

En las aplicaciones a la física, a menudo trabajamos con espacios de medida y espacios de probabilidad derivados de estructuras matemáticas complejas, como espacios de producto interno o grupos topológicos , que ya tienen una topología asociada; esto no debe confundirse con la topología generada al tomar uniones arbitrarias de complejos.

Un cuerpo topológico de conjuntos es una tripleta${\displaystyle (X,{\mathcal {T}},{\mathcal {F}})}$dónde${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$es un espacio topológico y${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$es un campo de conjuntos que es cerrado bajo el operador de cierre de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$o equivalentemente bajo el operador interior, es decir, el cierre y el interior de cada complejo también es un complejo. En otras palabras,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$forma una subálgebra del álgebra interior del conjunto potencia en${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}).}$

Los campos topológicos de conjuntos desempeñan un papel fundamental en la teoría de la representación de las álgebras interiores y las álgebras de Heyting . Estas dos clases de estructuras algebraicas proporcionan la semántica algebraica para la lógica modal S4 (una abstracción matemática formal de la lógica epistémica ) y la lógica intuicionista, respectivamente. Los campos topológicos de conjuntos que representan estas estructuras algebraicas proporcionan una semántica topológica relacionada para estas lógicas.

Toda álgebra interior puede representarse como un campo topológico de conjuntos, donde el álgebra booleana subyacente corresponde a los complejos del campo topológico de conjuntos y los operadores de interior y cierre del álgebra interior corresponden a los de la topología. Toda álgebra de Heyting puede representarse mediante un campo topológico de conjuntos, donde el retículo subyacente del álgebra de Heyting corresponde al retículo de complejos del campo topológico de conjuntos que son abiertos en la topología. Además, el campo topológico de conjuntos que representa un álgebra de Heyting puede elegirse de manera que los complejos abiertos generen todos los complejos como un álgebra booleana. Estas representaciones relacionadas proporcionan un aparato matemático bien definido para estudiar la relación entre las modalidades de verdad (posiblemente verdadero frente a necesariamente verdadero, estudiadas en lógica modal) y las nociones de demostrabilidad y refutación (estudiadas en lógica intuicionista), y por lo tanto están profundamente conectadas con la teoría de los compañeros modales de las lógicas intermedias .

Dado un espacio topológico, los conjuntos abiertos y cerrados forman trivialmente un cuerpo topológico de conjuntos, ya que cada conjunto abierto y cerrado constituye su propio interior y clausura. La representación de Stone de un álgebra booleana puede considerarse como tal cuerpo topológico de conjuntos; sin embargo, en general, la topología de un cuerpo topológico de conjuntos puede diferir de la topología generada al tomar uniones arbitrarias de complejos, y, en general, los complejos de un cuerpo topológico de conjuntos no tienen por qué ser abiertos o cerrados en la topología.

Un campo de preorden es una tripleta${\displaystyle (X,\leq ,{\mathcal {F}})}$dónde${\displaystyle (X,\leq )}$es un conjunto reservado y${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$es un campo de conjuntos.

Al igual que los campos topológicos de conjuntos, los campos de preorden desempeñan un papel importante en la teoría de representación de las álgebras interiores. Toda álgebra interior puede representarse como un campo de preorden con sus operadores de interior y de cierre correspondientes a los de la topología de Alexandrov inducida por el preorden. En otras palabras, para todo${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$: $${\displaystyle \mathrm {Int} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}y\leq x\}}$$y $${\displaystyle \mathrm {Cl} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}x\leq y\}}$$

De forma similar a los campos topológicos de conjuntos, los campos de preorden surgen de forma natural en la lógica modal, donde los puntos representan los mundos posibles en la semántica de Kripke de una teoría en la lógica modal S4 , el preorden representa la relación de accesibilidad en estos mundos posibles en dicha semántica, y los complejos representan conjuntos de mundos posibles en los que se cumplen las proposiciones individuales de la teoría, proporcionando una representación del álgebra de Lindenbaum-Tarski de la teoría. Son un caso especial de los marcos modales generales , que son campos de conjuntos con una relación de accesibilidad adicional que proporciona representaciones de álgebras modales.

La representación de álgebras interiores mediante cuerpos de preorden puede generalizarse a un teorema de representación para álgebras booleanas (normales) arbitrarias con operadores . Para ello, consideramos estructuras${\displaystyle (X,(R_{i})_{I},{\mathcal {F}})}$dónde${\displaystyle (X,(R_{i})_{I})}$es una estructura relacional, es decir, un conjunto con una familia indexada de relaciones definidas en él, y${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$es un cuerpo de conjuntos. El álgebra compleja (o álgebra de complejos ) determinada por un cuerpo de conjuntos.${\displaystyle \mathbf {X} =(X,\left(R_{i}\right)_{I},{\mathcal {F}})}$En una estructura relacional, es el álgebra booleana con operadores. $${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )=({\mathcal {F}},\cap ,\cup ,\prime ,\emptyset ,X,(f_{i})_{I})}$$ donde para todos${\displaystyle i\in I,}$si${\displaystyle R_{i}}$es una relación de aridad${\displaystyle n+1,}$entonces${\displaystyle f_{i}}$es un operador de aridad${\displaystyle n}$y para todos${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle f_{i}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\left\{x\in X:{\text{ there exist }}x_{1}\in S_{1},\ldots ,x_{n}\in S_{n}{\text{ such that }}R_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},x)\right\}}$$

Esta construcción puede generalizarse a campos de conjuntos sobre estructuras algebraicas arbitrarias que tengan tanto operadores como relaciones, ya que los operadores pueden considerarse un caso especial de relaciones.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es todo el conjunto de poder de${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )}$se denomina álgebra compleja completa o álgebra de potencias .

Toda álgebra booleana (normal) con operadores puede representarse como un cuerpo de conjuntos sobre una estructura relacional en el sentido de que es isomorfa al álgebra compleja correspondiente al cuerpo.

(Históricamente, el término complejo se utilizó por primera vez en el caso en que la estructura algebraica era un grupo y tiene su origen en la teoría de grupos del siglo XIX, donde un subconjunto de un grupo se denominaba complejo ).