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Teorema de Perron-Frobenius

En teoría de matrices , el teorema de Perron-Frobenius , demostrado en su primera parte por Oskar Perron ( 1907 ) y extendido por Georg Frobenius ( 1912 ) , afirma que una matri...

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En teoría de matrices , el teorema de Perron-Frobenius , demostrado en su primera parte por Oskar Perron ( 1907 ) y extendido por Georg Frobenius ( 1912 ) , afirma que una matriz cuadrada real con entradas positivas tiene un único autovalor de máxima magnitud y que dicho autovalor es real. El autovector correspondiente puede elegirse de modo que tenga componentes estrictamente positivas, y también afirma una declaración similar para ciertas clases de matrices no negativas . Este teorema tiene importantes aplicaciones en la teoría de la probabilidad ( ergodicidad de las cadenas de Markov ); en la teoría de sistemas dinámicos ( subdesplazamientos de tipo finito ); en economía ( teorema de Okishio , [ 1 ] condición de Hawkins-Simon [ 2 ] ); en demografía ( modelo de distribución de edad de la población de Leslie ); [ 3 ] en redes sociales ( proceso de aprendizaje de DeGroot ); en motores de búsqueda de Internet ( PageRank ); [ 4 ] e incluso en la clasificación de equipos de fútbol americano. [ 5 ] El primero en analizar el ordenamiento de los jugadores dentro de los torneos utilizando los autovectores de Perron-Frobenius es Edmund Landau . [ 6 ] [ 7 ]  

Declaración

Sean positivo y no negativo respectivamente matrices con elementos exclusivamente reales positivos y matrices con elementos exclusivamente reales no negativos. Los autovalores de una matriz cuadrada real A son números complejos que conforman el espectro de la matriz. La tasa de crecimiento exponencial de las potencias de la matriz A k cuando k → ∞ está controlada por el autovalor de A con el mayor valor absoluto ( módulo ). El teorema de Perron-Frobenius describe las propiedades del autovalor principal y de los autovectores correspondientes cuando A es una matriz cuadrada real no negativa. Los primeros resultados se debieron a Oskar Perron ( 1907 ) y se referían a matrices positivas. Posteriormente, Georg Frobenius ( 1912 ) encontró su extensión a ciertas clases de matrices no negativas.  

Matrices positivas

DejarA=(aij){\displaystyle A=(a_{ij})}frijolnorte×norte{\displaystyle n\times n}matriz positiva:aij>0{\displaystyle a_{ij}>0}para1≤i,j≤norte{\displaystyle 1\leq i,j\leq n}Entonces, se cumplen las siguientes afirmaciones.

  1. Existe un número real positivo r , llamado raíz de Perron o autovalor de Perron-Frobenius (también llamado autovalor principal o autovalor dominante ), tal que r es un autovalor de A y cualquier otro autovalor λ (posiblemente complejo ) en valor absoluto es estrictamente menor que r , | λ | < r . Por lo tanto, el radio espectralρ(A){\displaystyle \rho (A)}es igual a r . Si los coeficientes de la matriz son algebraicos, esto implica que el valor propio es un número de Perron .
  2. El autovalor de Perron-Frobenius es simple: r es una raíz simple del polinomio característico de A. Por consiguiente, el autoespacio asociado a r es unidimensional. (Lo mismo ocurre con el autoespacio izquierdo, es decir, el autoespacio de AT , la transpuesta de A ).
  3. Existe un vector propio v = ( v 1 ,..., v n ) T de A con valor propio r tal que todos los componentes de v son positivos: A v = rv , v i > 0 para 1 ≤ i ≤ n . (Respectivamente, existe un vector propio izquierdo positivo w  : w T A = w T r, w i > 0.) Se conoce en la literatura con muchas variaciones como el vector de Perron , vector propio de Perron , vector propio de Perron-Frobenius , vector propio principal , vector propio dominante o vector propio dominante .
  4. No hay otros autovectores positivos (y además no negativos) excepto los múltiplos positivos de v (respectivamente, los autovectores izquierdos excepto w ), es decir, todos los demás autovectores deben tener al menos un componente negativo o no real.
  5. límitek→∞Ak/rk=vwT{\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }A^{k}/r^{k}=vw^{T}}donde los autovectores izquierdo y derecho de A se normalizan de modo que w T v = 1. Además, la matriz vw T es la proyección sobre el espacio propio correspondiente a r . Esta proyección se llama proyección de Perron . 
  6. Fórmula de Collatz -Wielandt: para todos los vectores x no negativos y distintos de cero, sea f ( x ) el valor mínimo de [ Ax ] i / xi tomado sobre todos aquellos i tales quexi ≠ 0. Entonces f es una función de valor real cuyo máximo sobre todos los vectores x no negativos y distintos de cero es el valor propio de Perron-Frobenius.
  7. Una fórmula de Collatz-Wielandt "Min-max" tiene una forma similar a la anterior: para todos los vectores estrictamente positivos x , sea g ( x ) el valor máximo de [ Ax ] i / xi tomado sobre i . Entonces g es una función de valor real cuyo mínimo sobre todos los vectores estrictamente positivos x es el valor propio de Perron-Frobenius.
  8. Fórmula de Birkhoff - Varga : Sean x e y vectores estrictamente positivos. Entonces, [ 8 ]r=sorberincógnita>0infy>0y⊤Aincógnitay⊤incógnita=infincógnita>0sorbery>0y⊤Aincógnitay⊤incógnita=infincógnita>0sorbery>0∑i,j=1norteyiaijincógnitaj/∑i=1norteyiincógnitai.{\displaystyle r=\sup _{x>0}\inf _{y>0}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\inf _{x>0}\sup _{y>0}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\inf _{x>0}\sup _{y>0}\sum _{i,j=1}^{n}y_{i}a_{ij}x_{j}/\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}.}
  9. Fórmula de Donsker – Varadhan – Friedland : Sea p un vector de probabilidad y x un vector estrictamente positivo. Entonces, [ 9 ] [ 10 ]r=sorberpaginfincógnita>0∑i=1nortepagi[Aincógnita]i/incógnitai.{\displaystyle r=\sup _{p}\inf _{x>0}\sum _{i=1}^{n}p_{i}[Ax]_{i}/x_{i}.}
  10. Fórmula de Fiedler : [ 11 ]r=sorberz>0 infincógnita>0, y>0, incógnita∘y=zy⊤Aincógnitay⊤incógnita=sorberz>0 infincógnita>0, y>0, incógnita∘y=z∑i,j=1norteyiaijincógnitaj/∑i=1norteyiincógnitai.{\displaystyle r=\sup _{z>0}\ \inf _{x>0,\ y>0,\ x\circ y=z}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\sup _{z>0}\ \inf _{x>0,\ y>0,\ x\circ y=z}\sum _{i,j=1}^{n}y_{i}a_{ij}x_{j}/\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}.}
  11. El autovalor de Perron-Frobenius satisface las desigualdadesmini∑jaij≤r≤máximoi∑jaij.{\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}

Todas estas propiedades se extienden más allá de las matrices estrictamente positivas a las matrices primitivas (véase más adelante). Los hechos 1 a 7 se pueden encontrar en Meyer [ 12 ], capítulo 8, afirmaciones 8.2.11 a 15, página 667, y ejercicios 8.2.5, 7 y 9, páginas 668 a 669.

Los autovectores izquierdo y derecho w y v a veces se normalizan de modo que la suma de sus componentes sea igual a 1; en este caso, a veces se les llama autovectores estocásticos . A menudo se normalizan de modo que el autovector derecho v sume uno, mientras quewTv=1{\displaystyle w^{T}v=1}.

Matrices no negativas

Existe una extensión a matrices con entradas no negativas. Dado que cualquier matriz no negativa puede obtenerse como límite de matrices positivas, se obtiene la existencia de un vector propio con componentes no negativas; el valor propio correspondiente será no negativo y mayor o igual que , en valor absoluto, a todos los demás valores propios. [ 13 ] [ 14 ] Sin embargo, para el ejemploA=(0110){\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}, el valor propio máximo r = 1 tiene el mismo valor absoluto que el otro valor propio −1; mientras que paraA=(0100){\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}, el valor propio máximo es r = 0, que no es una raíz simple del polinomio característico, y el vector propio correspondiente (1, 0) no es estrictamente positivo.

Sin embargo, Frobenius encontró una subclase especial de matrices no negativas —matrices irreducibles— para las cuales es posible una generalización no trivial. Para una matriz de este tipo, aunque los autovalores que alcanzan el valor absoluto máximo pueden no ser únicos, su estructura está bajo control: tienen la formaωr{\displaystyle \omega r}, dónder{\displaystyle r}es un valor propio real estrictamente positivo, yω{\displaystyle \omega }abarca las raíces h' complejas de 1 para algún entero positivo h llamado período de la matriz. El vector propio correspondiente ar{\displaystyle r}Tiene componentes estrictamente positivas (a diferencia del caso general de matrices no negativas, donde las componentes son únicamente no negativas). Además, todos estos autovalores son raíces simples del polinomio característico. Otras propiedades se describen a continuación.

Clasificación de matrices

Sea A una matriz cuadrada de n  × n sobre el cuerpo F. La matriz A es irreducible si se cumple alguna de las siguientes propiedades equivalentes. 

Definición 1  : A no tiene subespacios de coordenadas invariantes no triviales . Aquí, un subespacio de coordenadas no trivial es un subespacio lineal generado por cualquier subconjunto propio no vacío de vectores base estándar de F n . Más explícitamente, para cualquier subespacio lineal generado por vectores base estándar e i 1 , ..., e i k , 0  < k  < n , su imagen bajo la acción de A no está contenida en el mismo subespacio. 

Definición 2: A no puede conjugarse en forma triangular superior por bloques mediante una matriz de permutación P :

PAGAPAG−1≠(miFOGRAMO),{\displaystyle PAP^{-1}\neq {\begin{pmatrix}E&F\\O&G\end{pmatrix}},}

donde E y G son matrices cuadradas no triviales (es decir, de tamaño mayor que cero).

Definición 3: Se puede asociar a una matriz A un cierto grafo dirigido G A . Tiene n vértices etiquetados del 1 al n , y hay una arista del vértice i al vértice j precisamente cuando a ij ≠ 0. Entonces la matriz A es irreducible si y solo si su grafo asociado G A es fuertemente conexo .

Si F es el campo de los números reales o complejos, entonces también tenemos la siguiente condición.

Definición 4: La representación grupal de(R,+){\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}o(do,+){\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}endonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}dado port↦exp⁡(tA){\displaystyle t\mapsto \exp(tA)}No posee subespacios de coordenadas invariantes no triviales. (En comparación, esta sería una representación irreducible si no existieran subespacios invariantes no triviales en absoluto, no solo considerando los subespacios de coordenadas).

Una matriz es reducible si no es irreducible.

Una matriz real A es primitiva si es no negativa y su m -ésima potencia es positiva para algún número natural m (es decir, todas las entradas de A m son positivas).

Sea A una matriz real y no negativa. Fijemos un índice i y definamos su período como el máximo común divisor de todos los números naturales m tales que ( A m ) ii > 0. Cuando A es irreducible, el período de cada índice es el mismo y se denomina período de A. De hecho, cuando A es irreducible, el período puede definirse como el máximo común divisor de las longitudes de los caminos dirigidos cerrados en G A (véase Kitchens [ 15 ] página 16). El período también se denomina índice de imprimividad (Meyer [ 12 ] página 674) o orden de ciclicidad. Si el período es 1, A es aperiódica . Se puede demostrar que las matrices primitivas son iguales a las matrices irreducibles aperiódicas no negativas.

Todas las afirmaciones del teorema de Perron-Frobenius para matrices positivas siguen siendo válidas para matrices primitivas. Estas mismas afirmaciones también se cumplen para una matriz irreducible no negativa, salvo que esta puede poseer varios autovalores cuyo valor absoluto es igual a su radio espectral, por lo que las afirmaciones deben modificarse en consecuencia. De hecho, el número de dichos autovalores es igual al período.

Los primeros resultados para matrices no negativas fueron obtenidos por Frobenius en 1912.

Teorema de Perron-Frobenius para matrices no negativas irreducibles

DejarA{\displaystyle A}ser un no negativo irreduciblenorte×norte{\displaystyle N\times N}matriz con períodoh{\displaystyle h}y radio espectralρ(A)=r{\displaystyle \rho (A)=r}Entonces, se cumplen las siguientes afirmaciones.

  • El númeror∈R+{\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}es un número real positivo y es un valor propio de la matriz.A{\displaystyle A}Se denomina valor propio de Perron-Frobenius .
  • El valor propio de Perron-Frobeniusr{\displaystyle r}es simple . Tanto los autoespacios derechos como los izquierdos están asociados conr{\displaystyle r}son unidimensionales.
  • A{\displaystyle A}tiene vectores propios tanto a la derecha como a la izquierda, respectivamente.v{\displaystyle \mathbf {v} }yw{\displaystyle \mathbf {w} }, con valor propior{\displaystyle r}y cuyos componentes son todos positivos. Además, los únicos autovectores cuyos componentes son todos positivos son aquellos asociados con el autovalor.r{\displaystyle r}.
  • La matrizA{\displaystyle A}tiene exactamenteh{\displaystyle h}(dóndeh{\displaystyle h}es el período ) autovalores complejos con valor absolutor{\displaystyle r}Cada uno de ellos es una raíz simple del polinomio característico y es el producto der{\displaystyle r}con unh{\displaystyle h}raíz enésima de la unidad .
  • Dejarω=2π/h{\displaystyle \omega =2\pi /h}. Luego la matrizA{\displaystyle A}es similar amiiωA{\displaystyle e^{i\omega }A}, en consecuencia el espectro deA{\displaystyle A}es invariante bajo la multiplicación pormiiω{\displaystyle e^{i\omega }}(es decir, a rotaciones del plano complejo por el ánguloω{\displaystyle \omega }).
  • Sih>1{\displaystyle h>1}entonces existe una matriz de permutaciónPAG{\displaystyle P}de tal manera que
PAGAPAG−1=(OA1OO…OOOA2O…O⋮⋮⋮⋮⋮OOOO…Ah−1AhOOO…O),{\displaystyle PAP^{-1}={\begin{pmatrix}O&A_{1}&O&O&\ldots &O\\O&O&A_{2}&O&\ldots &O\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\O&O&O&O&\ldots &A_{h-1}\\A_{h}&O&O&O&\ldots &O\end{pmatrix}},}

dóndeO{\displaystyle O}denota una matriz nula y los bloques a lo largo de la diagonal principal son matrices cuadradas.

  • Fórmula de Collatz -Wielandt : para todos los vectores no negativos y no nulosincógnita{\displaystyle \mathbf {x} }dejarF(incógnita){\displaystyle f(\mathbf {x} )}sea ​​el valor mínimo de[Aincógnita]i/incógnitai{\displaystyle [A\mathbf {x} ]_{i}/x_{i}}tomados sobre todos esosi{\displaystyle i}de tal manera queincógnitai≠0{\displaystyle x_{i}\neq 0}. EntoncesF{\displaystyle f}es una función de valor real cuyo máximo es el valor propio de Perron-Frobenius.
  • El autovalor de Perron-Frobenius satisface las desigualdades
mini∑jaij≤r≤máximoi∑jaij.{\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}

El ejemploA=(001001110){\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&0&1\\0&0&1\\1&1&0\end{smallmatrix}}\right)}muestra que las matrices cero (cuadradas) a lo largo de la diagonal pueden ser de diferentes tamaños, los bloques A j no tienen por qué ser cuadrados y h no tiene por qué dividir a n . 

Otras propiedades

Sea A una matriz irreducible no negativa, entonces:

  1. (I+ A ) n −1 es una matriz positiva. (Meyer [ 12 ] afirmación 8.3.5 pág. 672 ). Para una A no negativa , esta también es una condición suficiente. [ 16 ]
  2. Teorema de Wielandt. [ 17 ] Si | B |< A , entonces ρ ( B )≤ ρ ( A ). Si se cumple la igualdad (es decir, si μ=ρ(A)e iφ es un valor propio de B ), entonces B = e iφ D AD −1 para alguna matriz unitaria diagonal D (es decir, los elementos diagonales de D son iguales a e iΘ l , los no diagonales son cero). [ 18 ]
  3. Si alguna potencia A q es reducible, entonces es completamente reducible, es decir, para alguna matriz de permutación P , se cumple que:PAGAqPAG−1=(A1OO…OOA2O…O⋮⋮⋮⋮OOO…Ad){\displaystyle PA^{q}P^{-1}={\begin{pmatrix}A_{1}&O&O&\dots &O\\O&A_{2}&O&\dots &O\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\O&O&O&\dots &A_{d}\\\end{pmatrix}}}donde A i son matrices irreducibles que tienen el mismo valor propio máximo. El número de estas matrices d es el máximo común divisor de q y h , donde h es el período de A. [ 19 ]
  4. Si c ( x ) = x n + c k 1 x n-k 1 + c k 2 x n-k 2 + ... + c k s x n-k s es el polinomio característico de A en el que solo se enumeran los términos distintos de cero, entonces el período de A es igual al máximo común divisor de k 1 , k 2 , ... , k s . [ 20 ]
  5. Cesàroaverages: limk→∞1/k∑i=0,...,kAi/ri=(vwT),{\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }1/k\sum _{i=0,...,k}A^{i}/r^{i}=(vw^{T}),} where the left and right eigenvectors for A are normalized so that wTv = 1. Moreover, the matrix v wT is the spectral projection corresponding to r, the Perron projection.[21]
  6. Let r be the Perron–Frobenius eigenvalue, then the adjoint matrix for (r-A) is positive.[22]
  7. If A has at least one non-zero diagonal element, then A is primitive.[23]
  8. If 0 ≤ A < B, then rA ≤ rB. Moreover, if B is irreducible, then the inequality is strict: rA < rB.

A matrix A is primitive provided it is non-negative and Am is positive for some m, and hence Ak is positive for all k ≥ m. To check primitivity, one needs a bound on how large the minimal such m can be, depending on the size of A:[24]

  • If A is a non-negative primitive matrix of size n, then An2 − 2n + 2 is positive. Moreover, this is the best possible result, since for the matrix M below, the power Mk is not positive for every k < n2 − 2n + 2, since (Mn2 − 2n+1)1,1 = 0.
M=(0100⋯00010⋯00001⋯0⋮⋮⋮⋮⋮0000⋯11100⋯0){\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0&\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1\\1&1&0&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right)}

Applications

Numerous books have been written on the subject of non-negative matrices, and Perron–Frobenius theory is invariably a central feature. The following examples given below only scratch the surface of its vast application domain.

Non-negative matrices

The Perron–Frobenius theorem does not apply directly to non-negative matrices. Nevertheless, any reducible square matrix A may be written in upper-triangular block form (known as the normal form of a reducible matrix)[25]

PAP−1 = (B1∗∗⋯∗0B2∗⋯∗⋮⋮⋮⋮000⋯∗000⋯Bh){\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}B_{1}&*&*&\cdots &*\\0&B_{2}&*&\cdots &*\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &*\\0&0&0&\cdots &B_{h}\end{smallmatrix}}\right)}

donde P es una matriz de permutación y cada B i es una matriz cuadrada que es irreducible o cero. Ahora bien, si A es no negativo, también lo es cada bloque de PAP −1 ; además, el espectro de A es simplemente la unión de los espectros de los B i .

También se puede estudiar la invertibilidad de A. La inversa de PAP −1 (si existe) debe tener bloques diagonales de la forma B i −1, por lo que si algún B i no es invertible, tampoco lo son PAP −1 ni A. Recíprocamente, sea D la matriz diagonal por bloques correspondiente a PAP −1 , es decir, PAP −1 con los asteriscos en cero. Si cada B i es invertible, también lo es D y D −1 ( PAP −1 ) es igual a la matriz identidad más una matriz nilpotente. Pero dicha matriz siempre es invertible (si N k = 0, la inversa de 1 − N es 1 + N + N 2 + ... + N k −1 ), por lo que tanto PAP −1 como A son invertibles.

Por lo tanto, muchas de las propiedades espectrales de A pueden deducirse aplicando el teorema al B i irreducible . Por ejemplo, la raíz de Perron es el máximo de ρ( B i ). Si bien seguirá habiendo autovectores con componentes no negativas, es muy posible que ninguno de ellos sea positivo.

Matrices estocásticas

Una matriz estocástica de filas (columnas) es una matriz cuadrada cuyas filas (columnas) están formadas por números reales no negativos cuya suma es igual a la unidad. El teorema no se puede aplicar directamente a dichas matrices porque no necesariamente son irreducibles.

Si A es estocástico por filas, entonces el vector columna con cada entrada 1 es un vector propio correspondiente al valor propio 1, que también es ρ( A ) según la observación anterior. Puede que no sea el único valor propio en el círculo unitario, y el espacio propio asociado puede ser multidimensional. Si A es estocástico por filas e irreducible, entonces la proyección de Perron también es estocástica por filas y todas sus filas son iguales.

Teoría algebraica de grafos

El teorema tiene una utilidad particular en la teoría algebraica de grafos . El "grafo subyacente" de una matriz n -cuadrada no negativa es el grafo con vértices numerados del 1 al n y arco ij si y solo si A ij ≠ 0. Si el grafo subyacente de dicha matriz es fuertemente conexo, entonces la matriz es irreducible y, por lo tanto, el teorema se aplica. En particular, la matriz de adyacencia de un grafo fuertemente conexo es irreducible. [ 26 ] [ 27 ]

Cadenas de Markov finitas

El teorema tiene una interpretación natural en la teoría de cadenas de Markov finitas (donde es el equivalente en teoría matricial de la convergencia de una cadena de Markov finita irreducible a su distribución estacionaria, formulada en términos de la matriz de transición de la cadena; véase, por ejemplo, el artículo sobre el subdesplazamiento de tipo finito ).

Operadores compactos

De forma más general, puede extenderse al caso de operadores compactos no negativos , que, en muchos sentidos, se asemejan a matrices de dimensión finita. Estos se estudian comúnmente en física, bajo el nombre de operadores de transferencia , o a veces operadores de Ruelle-Perron-Frobenius (en honor a David Ruelle ). En este caso, el autovalor principal corresponde al equilibrio termodinámico de un sistema dinámico , y los autovalores menores a los modos de decaimiento de un sistema que no está en equilibrio. Así, la teoría ofrece una manera de descubrir la flecha del tiempo en lo que de otro modo parecerían ser procesos dinámicos reversibles y deterministas, cuando se examinan desde el punto de vista de la topología de conjuntos de puntos . [ 28 ]

Métodos de demostración

Un hilo conductor en muchas demostraciones es el teorema del punto fijo de Brouwer . Otro método popular es el de Wielandt (1950). Utilizó la fórmula de Collatz -Wielandt descrita anteriormente para extender y clarificar el trabajo de Frobenius. [ 29 ] Otra demostración se basa en la teoría espectral [ 30 ] de la cual se toman prestados algunos de los argumentos.

La raíz de Perron es estrictamente el valor propio máximo para matrices positivas (y primitivas).

Si A es una matriz positiva (o más generalmente primitiva), entonces existe un valor propio real positivo r (valor propio de Perron-Frobenius o raíz de Perron), que es estrictamente mayor en valor absoluto que todos los demás valores propios, por lo tanto r es el radio espectral de A.

This statement does not hold for general non-negative irreducible matrices, which have h eigenvalues with the same absolute eigenvalue as r, where h is the period of A.

Proof for positive matrices

Let A be a positive matrix, assume that its spectral radius ρ(A) = 1 (otherwise consider A/ρ(A)). Hence, there exists an eigenvalue λ on the unit circle, and all the other eigenvalues are less or equal 1 in absolute value. Suppose that λ ≠ 1. Then there exists a positive integer m such that Am is a positive matrix and the real part of λm is negative. Let ε be half the smallest diagonal entry of Am and set T = Am − εI which is yet another positive matrix. Moreover, if Ax = λx then Amx = λmx thus λm − ε is an eigenvalue of T. Because of the choice of m this point lies outside the unit disk consequently ρ(T) > 1. On the other hand, all the entries in T are positive and less than or equal to those in Am so by Gelfand's formulaρ(T) ≤ ρ(Am) ≤ ρ(A)m = 1. This contradiction means that λ=1. In particular, there can be no other eigenvalues on the unit circle.

Absolutely the same arguments can be applied to the case of primitive matrices; we just need to mention the following simple lemma, which clarifies the properties of primitive matrices.

Lemma

Given a non-negative A, assume there exists m, such that Am is positive, then Am+1, Am+2, Am+3,... are all positive.

(Proof: Am+1 = AAm, so it can have zero element only if some row of A is entirely zero, but in this case the same row of Am will be zero.)

Applying the same arguments as above for primitive matrices, prove the main claim.

Power method and the positive eigenpair

Para una matriz A positiva (o, más generalmente, irreducible y no negativa), el vector propio dominante es real y estrictamente positivo (o no negativo para matrices A no negativas).

Esto se puede establecer utilizando el método de potencias , que establece que para una matriz A suficientemente genérica (en el sentido que se indica a continuación), la secuencia de vectores b k +1 = Ab k / | Ab k | converge al vector propio con el valor propio máximo . (El vector inicial b 0 puede elegirse arbitrariamente, excepto para algún conjunto cero de medida). Partiendo de un vector no negativo b 0 se obtiene la secuencia de vectores no negativos b k . Por lo tanto, el vector límite también es no negativo. Mediante el método de potencias, este vector límite es el vector propio dominante para A , lo que demuestra la afirmación. El valor propio correspondiente es no negativo.

La demostración requiere dos argumentos adicionales. Primero, el método de la potencia converge para matrices que no tienen varios autovalores con el mismo valor absoluto que el máximo. El argumento de la sección anterior lo garantiza.

En segundo lugar, para asegurar la positividad estricta de todos los componentes del vector propio en el caso de matrices irreducibles. Esto se deduce del siguiente hecho, que es de interés independiente:

Lema: dada una matriz positiva (o más generalmente irreducible no negativa) A y v como cualquier vector propio no negativo para A , entonces es necesariamente estrictamente positivo y el valor propio correspondiente también es estrictamente positivo.

Demostración. Una de las definiciones de irreducibilidad para matrices no negativas es que para todos los índices i,j existe m tal que ( A m ) ij es estrictamente positivo. Dado un vector propio no negativo v , y que al menos uno de sus componentes, digamos el i -ésimo, es estrictamente positivo, el valor propio correspondiente es estrictamente positivo, de hecho, dado n tal que ( A n ) ii >0, por lo tanto: r n v i = A n v i ≥ ( A n ) ii v i >0. Por lo tanto, r es estrictamente positivo. El vector propio es estrictamente positivo. Entonces, dado m tal que ( A m ) ji >0, por lo tanto: r m v j = ( A m v ) j ≥ ( A m ) ji v i >0, por lo tanto v j es estrictamente positivo, es decir, el vector propio es estrictamente positivo.

Multiplicidad uno

Esta sección demuestra que el autovalor de Perron-Frobenius es una raíz simple del polinomio característico de la matriz. Por lo tanto, el autoespacio asociado al autovalor de Perron-Frobenius r es unidimensional. Los argumentos aquí presentados son similares a los de Meyer. [ 12 ]

Dado un vector propio estrictamente positivo v correspondiente a r y otro vector propio w con el mismo valor propio. (Los vectores v y w pueden elegirse reales, ya que A y r son ambos reales, por lo que el espacio nulo de Ar tiene una base formada por vectores reales). Suponiendo que al menos una de las componentes de w es positiva (de lo contrario, se multiplica w por −1). Dado el máximo posible α tal que u = v - α w es no negativo, entonces una de las componentes de u es cero, de lo contrario α no es máximo. El vector u es un vector propio. Es no negativo, por lo tanto, según el lema descrito en la sección anterior, la no negatividad implica positividad estricta para cualquier vector propio. Por otro lado, como se indicó anteriormente, al menos una componente de u es cero. La contradicción implica que w no existe.

Caso: No hay bloques de Jordan que correspondan al valor propio r de Perron-Frobenius y a todos los demás valores propios que tengan el mismo valor absoluto.

Si hay un bloque de Jordan, entonces la norma infinito (A/r) k ∞ tiende a infinito para k → ∞ , pero eso contradice la existencia del vector propio positivo.

Dado r = 1, o A/r . Sea v un vector propio estrictamente positivo de Perron-Frobenius, de modo que Av=v , entonces:

‖v‖∞=‖Akv‖∞≥‖Ak‖∞mini(vi),  ⇒  ‖Ak‖∞≤‖v‖/mini(vi){\displaystyle \|v\|_{\infty }=\|A^{k}v\|_{\infty }\geq \|A^{k}\|_{\infty }\min _{i}(v_{i}),~~\Rightarrow ~~\|A^{k}\|_{\infty }\leq \|v\|/\min _{i}(v_{i})} Por lo tanto, ‖ A k ‖ ∞ está acotado para todo k . Esto proporciona otra prueba de que no existen autovalores con un valor absoluto mayor que el de Perron-Frobenius. También contradice la existencia del bloque de Jordan para cualquier autovalor con un valor absoluto igual a 1 (en particular para el de Perron-Frobenius), ya que la existencia del bloque de Jordan implica que ‖ A k ‖ ∞ no está acotado. Para una matriz de dos por dos:

Jk=(λ10λ)k=(λkkλk−10λk),{\displaystyle J^{k}={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}^{k}={\begin{pmatrix}\lambda ^{k}&k\lambda ^{k-1}\\0&\lambda ^{k}\end{pmatrix}},}

Por lo tanto, ‖ J k ‖ ∞ = | k + λ | (para | λ | = 1), así que tiende a infinito cuando k lo hace. Dado que J k = C −1 A k C , entonces A k ≥ J k / ( C −1 C ), por lo que también tiende a infinito. La contradicción resultante implica que no hay bloques de Jordan para los autovalores correspondientes.

La combinación de las dos afirmaciones anteriores revela que el autovalor r de Perron-Frobenius es una raíz simple del polinomio característico. En el caso de matrices no primitivas, existen otros autovalores con el mismo valor absoluto que r . La misma afirmación es válida para ellos, pero requiere un análisis más detallado.

No hay otros autovectores no negativos

Dada una matriz A positiva (o, más generalmente , irreducible y no negativa) , el vector propio de Perron-Frobenius es el único vector propio no negativo (salvo multiplicación por una constante) para A.

Otros autovectores deben contener componentes negativas o complejas, ya que los autovectores para diferentes autovalores son ortogonales en cierto sentido, pero dos autovectores positivos no pueden ser ortogonales, por lo que deben corresponder al mismo autovalor, pero el espacio propio para el método de Perron-Frobenius es unidimensional.

Suponiendo que existe un par propio ( λ , y ) para A , tal que el vector y es positivo, y dado ( r , x ), donde x es el vector propio de Perron-Frobenius izquierdo para A (es decir, el vector propio para A T ), entonces rx T y = ( x T A ) y = x T ( Ay ) = λx T y , también x T y > 0, por lo que se tiene: r = λ . Dado que el espacio propio para el valor propio de Perron-Frobenius r es unidimensional, el vector propio no negativo y es un múltiplo del de Perron-Frobenius. [ 31 ]

Fórmula de Collatz-Wielandt

Dada una matriz positiva (o más generalmente irreducible no negativa) A , se define la función f en el conjunto de todos los vectores no negativos y no nulos x tales que f(x) es el valor mínimo de [ Ax ] i / x i tomado sobre todos aquellos i tales que x i ≠ 0. Entonces f es una función de valor real, cuyo máximo es el valor propio de Perron-Frobenius r .

Para la demostración, denotamos el máximo de f por el valor R. La demostración requiere mostrar que R = r . Insertando el vector propio de Perron-Frobenius v en f , obtenemos f(v) = r y concluimos que r ≤ R. Para la desigualdad opuesta, consideramos un vector no negativo arbitrario x y sea ξ = f(x) . La definición de f da 0 ≤ ξx ≤ Ax (componente por componente). Ahora, usamos el vector propio derecho positivo w para A para el valor propio de Perron-Frobenius r , entonces ξ w T x = w T ξx ≤ w T (Ax) = (w T A)x = rw T x . Por lo tanto, f(x) = ξ ≤ r , lo que implica R ≤ r . [ 32 ]

Proyección de Perron como límite: A k / r k

Sea A una matriz positiva (o, más generalmente, primitiva), y sea r su valor propio de Perron-Frobenius.

  1. Existe un límite A k /r k para k → ∞ , lo denotamos por P .
  2. P es un operador de proyección : P 2 = P , que conmuta con A : AP = PA .
  3. La imagen de P es unidimensional y está generada por el vector propio v de Perron-Frobenius (respectivamente para P T —por el vector propio w de Perron-Frobenius para A T ).
  4. P = vw T , donde v,w están normalizados de tal manera que w T v = 1.
  5. Por lo tanto, P es un operador positivo.

Por lo tanto, P es una proyección espectral para el autovalor r de Perron-Frobenius y se denomina proyección de Perron. La afirmación anterior no es válida para matrices irreducibles no negativas generales.

En realidad, las afirmaciones anteriores (excepto la afirmación 5) son válidas para cualquier matriz M tal que exista un valor propio r que sea estrictamente mayor que los demás valores propios en valor absoluto y sea la raíz simple del polinomio característico . (Estos requisitos se cumplen para matrices primitivas como se indicó anteriormente).

Dado que M es diagonalizable, M es conjugada a una matriz diagonal con valores propios r 1 , ... , r n en la diagonal (denotemos r 1 = r ). La matriz M k / r k será conjugada (1, ( r 2 / r ) k , ... , ( r n / r ) k ), que tiende a (1,0,0,...,0), para k → ∞ , por lo que el límite existe. El mismo método funciona para M general (sin suponer que M es diagonalizable).

Las propiedades de proyección y conmutatividad son corolarios elementales de la definición: MM k / r k = M k / r k M  ; P 2 = lim M 2 k / r 2 k = P . El tercer hecho también es elemental: M ( Pu ) = M lim M k / r k u = lim rM k +1 / r k +1 u , por lo que al tomar el límite se obtiene M ( Pu ) = r ( Pu ), por lo que la imagen de P se encuentra en el r -espacio propio para M , que es unidimensional por las suposiciones.

Denotando por v , r -vector propio para M (por w para M T ). Las columnas de P son múltiplos de v , porque la imagen de P está generada por él. Respectivamente, las filas de w . Entonces P toma una forma (avw T ) , para algún a . Por lo tanto, su traza es igual a (aw T v) . La traza del proyector es igual a la dimensión de su imagen. Se demostró antes que no es más que unidimensional. De la definición se ve que P actúa idénticamente sobre el r -vector propio para M . Por lo tanto, es unidimensional. Así que elegir ( w T v ) = 1, implica P = vw T .

Desigualdades para el valor propio de Perron-Frobenius

Para cualquier matriz no negativa A, su valor propio de Perron-Frobenius r satisface la desigualdad:

r≤máximoi∑jaij.{\displaystyle r\;\leq \;\max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}

Esto no es específico de matrices no negativas: para cualquier matriz A con un valor propioλ{\displaystyle \scriptstyle \lambda }es cierto que|λ|≤máximoi∑j|aij|{\displaystyle \scriptstyle |\lambda |\;\leq \;\max _{i}\sum _{j}|a_{ij}|}Esto es un corolario inmediato del teorema del círculo de Gershgorin . Sin embargo, existe otra demostración más directa:

Cualquier norma inducida por matriz satisface la desigualdad‖A‖≥|λ|{\displaystyle \scriptstyle \|A\|\geq |\lambda |}para cualquier valor propioλ{\displaystyle \scriptstyle \lambda }porque, siincógnita{\displaystyle \scriptstyle x}es un vector propio correspondiente,‖A‖≥|Aincógnita|/|incógnita|=|λincógnita|/|incógnita|=|λ|{\displaystyle \scriptstyle \|A\|\geq |Ax|/|x|=|\lambda x|/|x|=|\lambda |}La norma infinito de una matriz es el máximo de las sumas de sus filas:‖A‖∞=máximo1≤i≤metro∑j=1norte|aij|.{\displaystyle \scriptstyle \left\|A\right\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|.}Por lo tanto, la desigualdad deseada es exactamente ‖A‖∞≥|λ|{\displaystyle \scriptstyle \|A\|_{\infty }\geq |\lambda |}aplicado a la matriz no negativa A.

Otra desigualdad es:

mini∑jaij≤r.{\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\;\leq \;r.}

Este hecho es específico de matrices no negativas; para matrices generales no existe nada similar. Dado que A es positiva (no solo no negativa), existe un vector propio positivo w tal que Aw = rw y el componente más pequeño de w (digamos w i ) es 1. Entonces r = ( Aw ) i ≥ la suma de los números en la fila i de A . Por lo tanto, la suma mínima de filas proporciona una cota inferior para r , y esta observación puede extenderse a todas las matrices no negativas por continuidad.

Otra forma de argumentarlo es mediante la fórmula de Collatz -Wielandt. Se toma el vector x  =  (1,  1,  ...,  1) y se obtiene inmediatamente la desigualdad.

Pruebas adicionales

Proyección de Perron

La demostración continúa ahora mediante la descomposición espectral . El truco consiste en separar la raíz de Perron de los demás autovalores. La proyección espectral asociada a la raíz de Perron se denomina proyección de Perron y posee la siguiente propiedad:

La proyección de Perron de una matriz cuadrada irreducible no negativa es una matriz positiva.

Los hallazgos de Perron y también los puntos (1)–(5) del teorema son corolarios de este resultado. El punto clave es que una proyección positiva siempre tiene rango uno. Esto significa que si A es una matriz cuadrada irreducible no negativa, entonces las multiplicidades algebraica y geométrica de su raíz de Perron son ambas uno. Además, si P es su proyección de Perron, entonces AP = PA = ρ( A ) P, por lo que cada columna de P es un vector propio derecho positivo de A y cada fila es un vector propio izquierdo positivo. Además, si Ax = λ x, entonces PAx = λ Px = ρ( A ) Px, lo que significa que Px = 0 si λ ≠ ρ( A ). Por lo tanto, los únicos vectores propios positivos son aquellos asociados con ρ( A ). Si A es una matriz primitiva con ρ( A ) = 1, entonces se puede descomponer como P ⊕ (1  − P ) A de modo que A n = P + (1 − P ) A n . A medida que n aumenta, el segundo de estos términos decae a cero, dejando P como el límite de A n cuando n → ∞.     

El método de potencias es una forma práctica de calcular la proyección de Perron de una matriz primitiva. Si v y w son los vectores fila y columna positivos que genera, la proyección de Perron es simplemente wv / vw . Las proyecciones espectrales no se presentan de forma tan definida como en la forma de Jordan. Aquí se superponen y, por lo general, cada una tiene entradas complejas que se extienden a los cuatro vértices de la matriz cuadrada. No obstante, conservan su ortogonalidad mutua, lo que facilita la descomposición.

Proyección periférica

El análisis cuando A es irreducible y no negativo es, en líneas generales, similar. La proyección de Perron sigue siendo positiva, pero ahora puede haber otros autovalores de módulo ρ( A ) que anulen el uso del método de potencias e impidan que las potencias de (1  − P ) A decaigan como en el caso primitivo cuando ρ( A ) = 1. Por lo tanto, consideramos la proyección periférica , que es la proyección espectral de A correspondiente a todos los autovalores que tienen módulo ρ ( A ). Se puede demostrar entonces que la proyección periférica de una matriz cuadrada irreducible no negativa es una matriz no negativa con una diagonal positiva. 

Ciclicidad

Supongamos además que ρ( A ) = 1 y que A tiene h autovalores en el círculo unitario. Si P es la proyección periférica, entonces la matriz R = AP = PA es no negativa e irreducible, R h = P , y el grupo cíclico P , R , R 2 , ..., R h −1 representa los armónicos de A . La proyección espectral de A en el autovalor λ en el círculo unitario viene dada por la fórmulah−1∑1hλ−kRk{\displaystyle \scriptstyle h^{-1}\sum _{1}^{h}\lambda ^{-k}R^{k}}Todas estas proyecciones (incluida la proyección de Perron) tienen la misma diagonal positiva; además, al elegir cualquiera de ellas y luego tomar el módulo de cada entrada, invariablemente se obtiene la proyección de Perron. Aún se necesita algo de trabajo para establecer las propiedades cíclicas (6)–(8), pero es esencialmente solo cuestión de girar la manivela. La descomposición espectral de A viene dada por A  = R ⊕ (1 − P ) A , por lo que la diferencia entre A n y R n es A n − R n = (1 − P ) A n, que representa los transitorios de A n que finalmente decaen a cero. P puede calcularse como el límite de A nh cuando n → ∞.            

Contraejemplos

Las matrices L =(100100111){\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&1&1\end{smallmatrix}}\right)}, P =(100100−111){\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0\\1&0&0\\\!-1&1&1\end{smallmatrix}}\right)}, T =(011101110){\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{smallmatrix}}\right)}, M =(0100010000000100000100100){\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right)}Proporcionar ejemplos sencillos de lo que puede salir mal si no se cumplen las condiciones necesarias. Es fácil ver que las proyecciones de Perron y periféricas de L son ambas iguales a P , por lo tanto, cuando la matriz original es reducible, las proyecciones pueden perder la no negatividad y no hay posibilidad de expresarlas como límites de sus potencias. La matriz T es un ejemplo de una matriz primitiva con diagonal cero. Si la diagonal de una matriz cuadrada irreducible no negativa es distinta de cero, entonces la matriz debe ser primitiva, pero este ejemplo demuestra que lo contrario es falso. M es un ejemplo de una matriz con varios dientes espectrales faltantes. Si ω = e iπ/3 entonces ω 6 = 1 y los valores propios de M son {1,ω 2 ,ω 3 =-1,ω 4 } con un espacio propio de dimensión 2 para +1, por lo que ω y ω 5 están ambos ausentes. Más precisamente, dado que M es cíclico diagonal por bloques, entonces los autovalores son {1,-1} para el primer bloque y {1,ω 2 ,ω 4 } para el inferior.

Terminología

Un problema que genera confusión es la falta de estandarización en las definiciones. Por ejemplo, algunos autores utilizan los términos «estrictamente positivo» y «positivo» para referirse a > 0 y ≥ 0 respectivamente. En este artículo, «positivo» significa > 0 y «no negativo» significa ≥ 0. Otro aspecto controvertido se refiere a la descomponibilidad y la reducibilidad : «irreducible» es un término sobrecargado. Para evitar dudas, una matriz cuadrada no negativa y distinta de cero A tal que 1  + A es primitiva se denomina a veces « conexa» . En ese caso, las matrices cuadradas no negativas irreducibles y las matrices conexas son sinónimas. [ 33 ] 

El vector propio no negativo a menudo se normaliza de manera que la suma de sus componentes sea igual a la unidad; en este caso, el vector propio es el vector de una distribución de probabilidad y a veces se le llama vector propio estocástico .

El autovalor de Perron-Frobenius y el autovalor dominante son nombres alternativos para la raíz de Perron. Las proyecciones espectrales también se conocen como proyectores espectrales e idempotentes espectrales . El período a veces se denomina índice de imprimividad u orden de ciclicidad .

Véase también

Notas

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  33. ↑ Para consultar estudios sobre resultados de irreductibilidad, véanse Olga Taussky-Todd y Richard A. Brualdi .

Referencias

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  • Frobenius, Georg (1909), "Über Matrizen aus Positiven Elementen, 2", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 514– 518
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  • Romanovsky, V. (1933), "Sur les zéros des matrices stocastiques", Bulletin de la Société Mathématique de France , 61 : 213– 219, doi : 10.24033/bsmf.1206
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Lecturas adicionales

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