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Articulo de referencia

El cubo del príncipe Rupert

Un cubo unitario con un agujero cortado en él, lo suficientemente grande como para permitir que pase el cubo del príncipe Rupert. En geometría , el cubo del príncipe Rupert es e...

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Un cubo unitario con un agujero cortado en él, lo suficientemente grande como para permitir que pase el cubo del príncipe Rupert.

En geometría , el cubo del príncipe Rupert es el cubo más grande que puede pasar a través de un agujero cortado en un cubo unitario sin dividirlo en piezas separadas. La longitud de su lado es aproximadamente 1,06, un 6 % mayor que la longitud del lado 1 del cubo unitario por el que pasa. El problema de encontrar el cuadrado más grande que se encuentra completamente dentro de un cubo unitario está estrechamente relacionado y tiene la misma solución.

El cubo del príncipe Rupert recibe su nombre del príncipe Rupert del Rin , quien preguntó si un cubo podía pasar a través de un agujero hecho en otro cubo del mismo tamaño sin que este se partiera en dos. John Wallis dio una respuesta afirmativa . Aproximadamente 100 años después, Pieter Nieuwland descubrió el cubo más grande posible que puede pasar a través de un agujero en un cubo unitario.

Se ha demostrado que muchos otros poliedros convexos , incluidos los cinco sólidos platónicos , poseen la propiedad de Rupert : una copia del poliedro, del mismo tamaño o mayor, puede pasar a través de un agujero en el poliedro. Se desconocía si esto era cierto para todos los poliedros convexos hasta finales de 2025, cuando los investigadores Jakob Steininger y Sergey Yurkevich lo refutaron tras desarrollar la forma del "noperthedron". [ 1 ]

Solución

Proyección trimétrica de un cubo con longitud de lado unitaria con dimensiones seleccionadas etiquetadas : la línea verde de puntos y rayas muestra un cuadrado unitario (sección transversal de un cubo unitario) en el agujero (línea azul discontinua).

Coloca dos puntos en dos aristas adyacentes de un cubo unitario, cada uno a una distancia de 3/4 del punto donde se unen las dos aristas, y dos puntos más simétricamente en la cara opuesta del cubo. Entonces, estos cuatro puntos forman un cuadrado con lado de longitud 324≈1.0606601.{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\approx 1.0606601.} Una forma de ver esto es observar primero que estos cuatro puntos forman un rectángulo, debido a las simetrías de su construcción. Las longitudes de los cuatro lados de este rectángulo son iguales.(32)/4{\textstyle (3{\sqrt {2}})/4}, por el teorema de Pitágoras o (equivalentemente) la fórmula para la distancia euclidiana en tres dimensiones. Por ejemplo, los dos primeros puntos, junto con el tercer punto donde se encuentran sus dos lados, forman un triángulo rectángulo isósceles con catetos de longitud3/4{\displaystyle 3/4}y la distancia entre los dos primeros puntos es la hipotenusa del triángulo. Como un rectángulo con cuatro lados iguales, la figura formada por estos cuatro puntos es un cuadrado. Extruyendo el cuadrado en ambas direcciones perpendicularmente a sí mismo se forma el agujero a través del cual pasa un cubo más grande que el original, hasta la longitud del lado(32)/4{\textstyle (3{\sqrt {2}})/4}, puede pasar. [ 2 ]

Las partes del cubo unitario que quedan, después de vaciar este agujero, forman dos prismas triangulares y dos tetraedros irregulares , conectados por puentes delgados en los cuatro vértices del cuadrado. Cada prisma tiene seis vértices: dos son vértices adyacentes del cubo, y los cuatro restantes se encuentran en las aristas del cubo, cada uno ubicado a una distancia de 1/4 de esos vértices del cubo. Cada tetraedro tiene como sus cuatro vértices un vértice del cubo, dos puntos a una distancia de 3/4 de él en dos de las aristas adyacentes, y un punto a una distancia de 3/16 del vértice del cubo a lo largo de la tercera arista adyacente. [ 3 ]

Un cubo unitario con un agujero que lo atraviesa (modelo 3D)

Historia

El cubo del príncipe Rupert recibe su nombre del príncipe Rupert del Rin . Según una historia relatada en 1693 por el matemático inglés John Wallis , el príncipe Rupert apostó a que se podía abrir un agujero en un cubo, lo suficientemente grande como para que otro cubo del mismo tamaño pudiera pasar a través de él. Wallis demostró que, de hecho, tal agujero era posible (con algunos errores que no se corrigieron hasta mucho después), y el príncipe Rupert ganó su apuesta. [ 4 ] [ 5 ]

Wallis supuso que el agujero sería paralelo a una diagonal del cubo. La proyección del cubo sobre un plano perpendicular a esta diagonal es un hexágono regular , y el mejor agujero paralelo a la diagonal se puede encontrar dibujando el cuadrado más grande posible que se pueda inscribir en este hexágono. Calcular el tamaño de este cuadrado muestra cómo la longitud del lado de un cubo determina su volumen.

6−2≈1.03527,{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\approx 1.03527,}

ligeramente más grande que uno, es capaz de pasar a través del agujero. [ 4 ]

Aproximadamente 100 años después, el matemático neerlandés Pieter Nieuwland descubrió que se podía obtener una mejor solución utilizando un agujero con un ángulo diferente al de la diagonal del espacio. De hecho, la solución de Nieuwland es óptima. Nieuwland falleció en 1794, un año después de asumir un puesto como profesor en la Universidad de Leiden , y su solución fue publicada póstumamente en 1816 por su mentor, Jean Henri van Swinden . [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

Desde entonces, el problema se ha repetido en muchos libros sobre matemáticas recreativas , en algunos casos con la solución subóptima de Wallis en lugar de la solución óptima. [ 2 ] [ 3 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]

Modelos

Cubo del Príncipe Rubert impreso en 3D
Cubo del Príncipe Rupert impreso en 3D con una proporción 1:1 entre el cubo interior y el exterior.

La construcción de un modelo físico del cubo del Príncipe Rupert se ve dificultada por la precisión con la que se requiere medir dicho modelo y por la delgadez de las conexiones entre las partes restantes del cubo unitario tras realizar el orificio. Para el cubo interior de tamaño máximo, con una longitud de aproximadamente 1,06 en relación con la longitud del cubo exterior de 1, la construcción de un modelo es «matemáticamente posible, pero prácticamente imposible». [ 14 ] Por otro lado, al utilizar la orientación del cubo máximo, pero realizando un orificio más pequeño, lo suficientemente grande solo para un cubo unitario, se obtiene un grosor adicional que permite la integridad estructural. [ 15 ]

Para el ejemplo que utiliza dos cubos del mismo tamaño, como propuso originalmente el Príncipe Rupert, es posible construir un modelo. En un estudio del problema de 1950, DJE Schrek publicó fotografías de un modelo de un cubo que pasa a través de un agujero en otro cubo. [ 16 ] Martin Raynsford diseñó una plantilla para construir modelos de papel de un cubo con otro cubo que lo atraviesa; sin embargo, para tener en cuenta las tolerancias de la construcción del papel y evitar que se rasgue en las estrechas uniones entre las partes del cubo perforado, el agujero en el modelo de Raynsford solo permite el paso de cubos ligeramente más pequeños que el cubo exterior. [ 17 ]

Desde la llegada de la impresión 3D , la construcción de un cubo Prince Rupert a escala 1:1 completa se ha vuelto fácil. [ 18 ]

Generalizaciones

Otros poliedros

Un poliedroPAG{\displaystyle P}Se dice que tiene la propiedad de Rupert si un poliedro del mismo tamaño o mayor y de la misma forma quePAG{\displaystyle P}puede pasar a través de un agujero enPAG{\displaystyle P}. [ 19 ] Los cinco sólidos platónicos —el cubo, el tetraedro regular , el octaedro regular , [ 20 ] el dodecaedro regular y el icosaedro regular— tienen la propiedad de Rupert. De los 13 sólidos arquimedianos , se sabe que al menos estos diez tienen la propiedad de Rupert: el cuboctaedro , el octaedro truncado , el cubo truncado , el rombicuboctaedro , el icosidodecaedro , el cuboctaedro truncado , el icosaedro truncado , el dodecaedro truncado , [ 21 ] y el tetraedro truncado , [ 22 ] [ 23 ] así como el icosidodecaedro truncado . [ 24 ] [ 25 ]

Los cubos y todos los sólidos rectangulares tienen pasajes de Rupert en todas las direcciones que no son paralelas a ninguna de sus caras. [ 26 ]

Otra forma de expresar el mismo problema es preguntar por el cuadrado más grande que se encuentra dentro de un cubo unitario. De manera más general, Jerrard y Wetzel (2004) muestran cómo encontrar el rectángulo más grande de una relación de aspecto dada que se encuentra dentro de un cubo unitario. Como observan, el rectángulo óptimo siempre debe estar centrado en el centro del cubo, con sus vértices en las aristas del cubo. Dependiendo de su relación de aspecto , la relación entre sus lados largo y corto, hay dos casos en los que se puede colocar dentro del cubo. Para una relación de aspecto de2{\displaystyle {\sqrt {2}}}o más, el rectángulo óptimo se encuentra dentro del rectángulo que conecta dos aristas opuestas del cubo, que tiene exactamente la misma relación de aspecto.2{\displaystyle {\sqrt {2}}}Para relaciones de aspecto más cercanas a 1 (incluida la relación de aspecto 1 para el cuadrado del cubo del Príncipe Rupert), dos de los cuatro vértices de un rectángulo óptimo son equidistantes de un vértice del cubo, a lo largo de dos de las tres aristas que tocan ese vértice. Los otros dos vértices del rectángulo son los reflejos de los dos primeros a través del centro del cubo. [ 5 ] Si la relación de aspecto no está restringida, el rectángulo con la mayor área que cabe dentro de un cubo es el de relación de aspecto2{\displaystyle {\sqrt {2}}}que tiene dos aristas opuestas del cubo como dos de sus lados, y dos diagonales de la cara como los otros dos lados. [ 27 ]

Se sabe que once de los 13 sólidos de Catalan y 87 de los 92 sólidos de Johnson poseen la propiedad de Rupert. Los sólidos de Catalan para los que se desconoce la propiedad de Rupert son el hexecontaedro deltoidal y el hexecontaedro pentagonal . [ 28 ] Los sólidos de Johnson para los que se desconoce la propiedad de Rupert son el rombicosidodecaedro giratorio.J72{\displaystyle J_{72}}, rombicosidodecaedro parabigiratoJ73{\displaystyle J_{73}}, rombicosidodecaedro de metabiguiratoJ74{\displaystyle J_{74}}, rombicosidodecaedro trigiradoJ75{\displaystyle J_{75}}y rombicosidodecaedro disminuido paragiradoJ77{\displaystyle J_{77}}.

Noperthedro y poliedros no-Rupert

El Noperthedron

En 2017 se conjeturó que todos los poliedros convexos tridimensionales tenían esta propiedad, [ 19 ] pero también, por el contrario, que el rombicosidodecaedro no tenía la propiedad de Rupert. [ 24 ] [ 25 ]

Más recientemente, un preimpreso de Steininger y Yurkevich (2025) describe un contraejemplo, al que llaman Noperthedron : un poliedro convexo explícito que no es Rupert. El Noperthedron es simétrico respecto a un punto y cuenta con 90 vértices, 240 aristas y 152 caras: 150 triángulos y dos pentadecágonos regulares , representados como las dos bases del poliedro. [ 29 ] [ 30 ]

Dimensiones superiores

A pesar denorte≥2{\displaystyle n\geq 2}, elnorte{\displaystyle n}El hipercubo de dimensión también tiene la propiedad de Rupert. [ 31 ] Además, se puede preguntar por el mayormetro{\displaystyle m}hipercubo de -dimensiones que puede dibujarse dentro de unnorte{\displaystyle n}Hipercubo unitario de dimensión . La respuesta siempre es un número algebraico . Por ejemplo, el problema para(metro,norte)=(3,4){\displaystyle (m,n)=(3,4)}pregunta por el cubo (tridimensional) más grande dentro de un hipercubo de cuatro dimensiones. Después de que Martin Gardner planteara esta pregunta en Scientific American , Kay R. Pechenick DeVicci y varios otros lectores demostraron que la respuesta para el caso (3,4) es la raíz cuadrada de la menor de dos raíces reales del polinomio.4incógnita4−28incógnita3−7incógnita2+16incógnita+16{\displaystyle 4x^{4}-28x^{3}-7x^{2}+16x+16}, lo que equivale aproximadamente a 1,007435. [ 2 ] [ 32 ] Parametro=2{\displaystyle m=2}, la longitud óptima del lado del cuadrado más grande en unnorte{\displaystyle n}El hipercubo de -dimensiones es o biennorte/2{\textstyle {\sqrt {n/2}}}onorte/2−3/8{\textstyle {\sqrt {n/2-3/8}}}, dependiendo de sinorte{\displaystyle n}es par o impar respectivamente. [ 33 ]

Referencias

  1. ↑ Hasson, Emma R. (1 de diciembre de 2025). "Esta nueva forma rompe una regla de geometría 3D 'inquebrantable'" . Scientific American . Recuperado el 12 de abril de 2026 .
  2. 1 2 3 Gardner, Martin (2001), El libro colosal de las matemáticas: acertijos clásicos, paradojas y problemas : teoría de números, álgebra, geometría, probabilidad, topología, teoría de juegos, infinito y otros temas de matemáticas recreativas , WW Norton & Company, págs. 172–173 , ISBN   9780393020236
  3. 1 2 Wells, David (1997), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (3.ª ed.), Penguin, pág. 16, ISBN   9780140261493
  4. 1 2 3 Rickey, V. Frederick (2005), El cuadrado mágico de Durero, los anillos de Cardano, el cubo del príncipe Rupert y otras cosas interesantes (PDF) , archivado del original (PDF) el 5 de julio de 2010Notas para “Matemáticas recreativas: Un curso breve en honor al 300 aniversario del nacimiento de Benjamin Franklin”, Asociación Matemática de América, Albuquerque, Nuevo México, 2 y 3 de agosto de 2005.
  5. 1 2 3 Jerrard, Richard P.; Wetzel, John E. (2004), "Los rectángulos del príncipe Rupert", The American Mathematical Monthly , 111 (1): 22– 31, doi : 10.2307/4145012 , JSTOR 4145012 , MR 2026310  
  6. ^ Swinden, JH Van ( 1816), Grondbeginsels der Meetkunde (en holandés) (2ª ed.), Amsterdam: P. den Hengst en zoon, págs. 512–513  
  7. ↑ Ozanam, Jacques (1803), Montucla, Jean Étienne ; Hutton, Charles (eds.), Recreations in Mathematics and Natural Philosophy: Containing Amusing Dissertations and Enquiries Concerning a Variety of Subjects the Most Remarkable and Proper to Excite Curiosity and Attention to the Whole Range of the Mathematical and Philosophical Sciences , G. Kearsley, pp . 315–316 
  8. ↑ Dudeney, Henry Ernest (1936), Rompecabezas modernos y cómo resolverlos , pág. 149 
  9. ↑ Ogilvy, C. Stanley (1956), Through the Mathescope , Oxford University Press, págs . 54–55 Reimpreso como Ogilvy, C. Stanley (1994), Excursions in mathematics , Nueva York: Dover Publications Inc., ISBN 0-486-28283-X, MR 1313725 
  10. ↑ Ehrenfeucht, Aniela (1964), El cubo hecho interesante , traducido por Zawadowski, Wacław, Nueva York: The Macmillan Co., pág. 77, MR 0170242  
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  • Murphy, Tom VII (2025), "El cubo truncado de Rupert y otros agujeros matemáticos" (vídeo), Suckerpinch ; continuación de Murphy, Tom VII (2025) "Algunas cosas inquietantes sobre las formas (que ya sabíamos)" , SIGBOVIK 2025 , Association for Computational Heresy, pp. 342–368