Regla del producto

Tanto Leibniz como Newton dieron demostraciones que no son rigurosas según los estándares modernos. Leibniz razonó con " cantidades infinitamente menores ", interpretando los productos como áreas de rectángulos , mientras que Newton razonó con " cantidades fluidas ". ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Sea h ( x ) = f ( x ) g ( x ) y supongamos que f y g son diferenciables en x . Queremos demostrar que h es diferenciable en x y que su derivada, h ′ ( x ) , viene dada por f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Para ello,${\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}$(que es cero y, por lo tanto, no cambia el valor) se agrega al numerador para permitir su factorización, y luego se utilizan propiedades de límites. $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$$ El hecho de que${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}$Esto se deduce del hecho de que las funciones diferenciables son continuas.

Por definición, si${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$son diferenciables en${\displaystyle x}$, entonces podemos escribir aproximaciones lineales : $${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h)}$$y$${\displaystyle g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h),}$$ donde los términos de error son pequeños con respecto a h : es decir,${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,}$también escrito${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)}$. Entonces: $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-f(x)g(x)+{\text{error terms}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}}$$ Los "términos de error" consisten en elementos como:${\displaystyle f(x)\varepsilon _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}}$y${\displaystyle hf'(x)\varepsilon _{1}(h)}$que se ven fácilmente tener magnitud${\displaystyle o(h).}$Dividiendo por${\displaystyle h}$y tomando el límite${\displaystyle h\to 0}$da el resultado.

Esta demostración utiliza la regla de la cadena y la función del cuarto de cuadrado.${\displaystyle q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}}$con derivado${\displaystyle q'(x)={\tfrac {1}{2}}x}$. Tenemos: $${\displaystyle uv=q(u+v)-q(u-v),}$$ y diferenciando ambos lados se obtiene: $${\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}}$$

La regla del producto puede considerarse un caso especial de la regla de la cadena para varias variables, aplicada a la función de multiplicación.${\displaystyle m(u,v)=uv}$: $${\displaystyle {d(uv) \over dx}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)}{\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.}$$

Sean u y v funciones continuas en x , y sean dx , du y dv infinitesimales dentro del marco del análisis no estándar , específicamente los números hiperreales . Usando st para denotar la función parte estándar que asocia a un número hiperreal finito el real infinitamente cercano a él, esto da $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(u{\frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}}$$ Esta fue esencialmente la demostración de Leibniz, que explotó la ley trascendental de homogeneidad (en lugar de la parte estándar anterior).

En el contexto del enfoque de Lawvere sobre los infinitesimales, supongamos que${\displaystyle dx}$Sea un infinitesimal nilcuadrado. Entonces${\displaystyle du=u'\ dx}$y${\displaystyle dv=v'\ dx}$, de modo que $${\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\end{aligned}}}$$ desde${\displaystyle du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.}$Dividiendo por${\displaystyle dx}$luego da${\displaystyle {\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}}$o${\displaystyle (uv)'=u\cdot v'+v\cdot u'}$.

Dejar${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$. Tomando el valor absoluto de cada función y el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, $${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|}$$ Aplicando propiedades del valor absoluto y de los logaritmos, $${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|}$$ Tomando la derivada logarítmica de ambos lados y luego resolviendo para${\displaystyle h'(x)}$: $${\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}}$$ Resolver para${\displaystyle h'(x)}$y volviendo a sustituir${\displaystyle f(x)g(x)}$para${\displaystyle h(x)}$da: $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$$ Nota: Tomar el valor absoluto de las funciones es necesario para la diferenciación logarítmica de funciones que pueden tener valores negativos, ya que los logaritmos solo son reales para argumentos positivos. Esto funciona porque${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}}$, lo que justifica tomar el valor absoluto de las funciones para la diferenciación logarítmica.

La regla del producto se puede generalizar a productos de más de dos factores. Por ejemplo, para tres factores tenemos $${\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.}$$ Para un conjunto de funciones${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$, tenemos $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}$$

La derivada logarítmica proporciona una expresión más simple de la última forma, así como una demostración directa que no implica ninguna recursión . La derivada logarítmica de una función f , denotada aquí Logder( f ) , es la derivada del logaritmo de la función. De ello se deduce que $${\displaystyle \operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.}$$ Utilizando que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, la regla de la suma para derivadas da inmediatamente $${\displaystyle \operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i}).}$$ La última expresión anterior de la derivada de un producto se obtiene multiplicando ambos miembros de esta ecuación por el producto de los${\displaystyle f_{i}.}$

También se puede generalizar a la regla general de Leibniz para la n -ésima derivada de un producto de dos factores, mediante una expansión simbólica según el teorema del binomio : $${\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}$$

Aplicada en un punto específico x , la fórmula anterior da como resultado: $${\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}$$

Además, para la n -ésima derivada de un número arbitrario de factores, se tiene una fórmula similar con coeficientes multinomiales : $${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}$$

Para derivadas parciales , tenemos ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}$$ donde el índice S recorre todos los 2 ⁿ subconjuntos de {1, ..., n } , y | S | es la cardinalidad de S . Por ejemplo, cuando n = 3 , $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\\[-3ex]&\end{aligned}}}$$

Supongamos que X , Y y Z son espacios de Banach (que incluyen el espacio euclidiano ) y B  : X × Y → Z es un operador bilineal continuo . Entonces B es diferenciable, y su derivada en el punto ( x , y ) en X × Y es la aplicación lineal D _{( x , y )} B : X × Y → Z dada por  $${\displaystyle (D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.}$$

Este resultado puede extenderse ^{[ 9 ]} a espacios vectoriales topológicos más generales.

La regla del producto se extiende a varias operaciones de producto de funciones vectoriales en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$: ^{[ 10 ]}

• Para la multiplicación escalar :$${\displaystyle (f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '}$$
• Para el producto escalar :$${\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '}$$
• Para el producto vectorial de funciones vectoriales en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:$${\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '}$$

También existen análogos para otros análogos de la derivada: si f y g son campos escalares, entonces existe una regla de producto con el gradiente : $${\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}$$

Esta regla se cumplirá para cualquier operación de producto bilineal continua. Sea B  : X × Y → Z una aplicación bilineal continua entre espacios vectoriales, y sean f y g funciones diferenciables en X e Y , respectivamente. Las únicas propiedades de la multiplicación utilizadas en la demostración que emplea la definición de derivada por límite son que la multiplicación es continua y bilineal. Por lo tanto, para cualquier operación bilineal continua, $${\displaystyle H(f,g)'=H(f',g)+H(f,g').}$$ Este es también un caso especial de la regla del producto para aplicaciones bilineales en el espacio de Banach .

En álgebra abstracta , la regla del producto es la propiedad que define una derivación . En esta terminología, la regla del producto establece que el operador de derivada es una derivación sobre funciones.

En geometría diferencial , un vector tangente a una variedad M en un punto p puede definirse abstractamente como un operador sobre funciones de valor real que se comporta como una derivada direccional en p : es decir, un funcional lineal v que es una derivación,$${\displaystyle v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).}$$ Generalizando (y dualizando) las fórmulas del cálculo vectorial a una variedad n -dimensional M, se pueden tomar formas diferenciales de grados k y l , denotadas${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{\ell }(M)}$, con la operación de cuña o producto exterior${\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+\ell }(M)}$, así como el derivado exterior${\displaystyle d:\Omega ^{m}(M)\to \Omega ^{m+1}(M)}$. Entonces se tiene la regla de Leibniz graduada :$${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$$