Campo vectorial proyectivo

Matemáticamente, la condición para un campo vectorial${\displaystyle X}$Ser proyectivo es equivalente a la existencia de una forma única.${\displaystyle \psi }$satisfactorio

${\displaystyle X_{a;bc}\,=R_{abcd}X^{d}+2g_{a(b}\psi _{c)}}$

lo cual es equivalente a

${\displaystyle h_{ab;c}\,=2g_{ab}\psi _{c}+g_{ac}\psi _{b}+g_{bc}\psi _{a}}$

El conjunto de todos los campos vectoriales proyectivos globales sobre una variedad conexa o compacta forma un álgebra de Lie de dimensión finita denotada por${\displaystyle P(M)}$(el álgebra proyectiva ) y satisface para variedades conexas la condición:${\displaystyle \dim P(M)\leq n(n+2)}$Aquí, un campo vectorial proyectivo se determina de forma única especificando los valores de${\displaystyle X}$,${\displaystyle \nabla X}$y${\displaystyle \nabla \nabla X}$(equivalentemente, especificando${\displaystyle X}$,${\displaystyle h}$,${\displaystyle F}$y${\displaystyle \psi }$) en cualquier punto de${\displaystyle M}$(Para variedades no conexas, es necesario especificar estas 3 en un punto por componente conexa). Los proyectivos también satisfacen las propiedades:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R^{a}{}_{bcd}=\delta ^{a}{}_{d}\psi _{b;c}-\delta ^{a}{}_{c}\psi _{b;d}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R_{ab}=-3\psi _{a;b}}$

Los campos vectoriales afines (afines) satisfacen${\displaystyle \nabla h=0}$(equivalentemente,${\displaystyle \psi =0}$) y por lo tanto, cada afín es proyectivo. Los afines preservan la estructura geodésica de la variedad semi-Riem. (léase espaciotiempo) al tiempo que preservan el parámetro afín. El conjunto de todos los afines en${\displaystyle M}$forma una subálgebra de Lie de${\displaystyle P(M)}$denotado por${\displaystyle A(M)}$(el álgebra afín ) y satisface para M conexo ,${\displaystyle \dim A(M)\leq n(n+1)}$. Un vector afín se determina de forma única especificando los valores del campo vectorial y su primera derivada covariante (equivalentemente, especificando${\displaystyle X}$,${\displaystyle h}$y${\displaystyle F}$) en cualquier punto de${\displaystyle M}$. Los afines también conservan los tensores de Riemann, Ricci y Weyl, es decir

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R^{a}{}_{bcd}=0}$,${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R_{ab}=0}$,${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}C^{a}{}_{bcd}=0}$

Los campos vectoriales homotéticos (homotecias) preservan la métrica hasta un factor constante, es decir${\displaystyle h={\mathcal {L}}_{X}g=2cg}$. Como${\displaystyle \nabla h=0}$, cada homotecia es una homotecia afín y el conjunto de todas las homotecias en${\displaystyle M}$forma una subálgebra de Lie de${\displaystyle A(M)}$denotado por${\displaystyle H(M)}$(el álgebra homotética ) y satisface para M conexo

${\displaystyle \dim H(M)\leq {\frac {1}{2}}n(n+1)+1}$.

Un campo vectorial homotético se determina de forma única especificando los valores del campo vectorial y su primera derivada covariante (equivalentemente, especificando${\displaystyle X}$,${\displaystyle F}$y${\displaystyle c}$) en cualquier punto de la variedad.

Los campos vectoriales de eliminación (Killings) preservan la métrica, es decir${\displaystyle h={\mathcal {L}}_{X}g=0}$. Tomando${\displaystyle c=0}$En la propiedad definitoria de una homotecia, se observa que todo Killing es una homotecia (y por lo tanto una afín) y el conjunto de todos los campos vectoriales de Killing en${\displaystyle M}$forma una subálgebra de Lie de${\displaystyle H(M)}$denotado por${\displaystyle K(M)}$(el álgebra de Killing ) y satisface para M conexo

${\displaystyle \dim K(M)\leq {\frac {1}{2}}n(n+1)}$.

Un campo vectorial de Killing se determina de forma única especificando los valores del campo vectorial y su primera derivada covariante (equivalentemente, especificando${\displaystyle X}$y${\displaystyle F}$) en cualquier punto (para cada componente conectado) de${\displaystyle M}$.