Curva pseudoholomórfica

En matemáticas , específicamente en topología y geometría , una curva pseudoholomorfa (o curva J -holomorfa ) es una aplicación suave , de una superficie de Riemann a una variedad casi compleja , que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Introducidas en 1985 por Mikhail Gromov , las curvas pseudoholomorfas han revolucionado desde entonces el estudio de las variedades simplécticas . En particular, dan lugar a los invariantes de Gromov-Witten y a la homología de Floer , y desempeñan un papel fundamental en la teoría de cuerdas .

Dejar${\displaystyle X}$ser una variedad casi compleja con una estructura casi compleja${\displaystyle J}$. Dejar${\displaystyle C}$ser una superficie de Riemann suave (también llamada curva compleja ) con estructura compleja${\displaystyle j}$. Una curva pseudoholomórfica en${\displaystyle X}$es un mapa${\displaystyle f:C\to X}$que satisface la ecuación de Cauchy-Riemann

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=0.}$

Desde${\displaystyle J^{2}=-1}$, esta condición es equivalente a

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

lo que simplemente significa que el diferencial${\displaystyle df}$es complejo-lineal, es decir,${\displaystyle J}$mapea cada espacio tangente

${\displaystyle T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X}$

a sí mismo. Por razones técnicas, a menudo es preferible introducir algún tipo de término no homogéneo.${\displaystyle \nu }$y estudiar mapas que satisfacen la ecuación de Cauchy-Riemann perturbada

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f=\nu.}$

Una curva pseudoholomorfa que satisface esta ecuación puede llamarse, más específicamente, una${\displaystyle (j,J,\nu )}$-curva holomorfa . La perturbación${\displaystyle \nu }$A veces se supone que es generada por un hamiltoniano (particularmente en la teoría de Floer), pero en general no tiene por qué ser así.

Una curva pseudoholomorfa es, por definición, siempre parametrizada. En las aplicaciones, a menudo se está realmente interesado en curvas no parametrizadas, es decir, subvariedades de dos dimensiones incrustadas (o inmersas) de${\displaystyle X}$, por lo que se elimina mediante reparametrizaciones del dominio que preservan la estructura relevante. En el caso de los invariantes de Gromov-Witten, por ejemplo, consideramos solo dominios cerrados .${\displaystyle C}$de género fijo${\displaystyle g}$y presentamos${\displaystyle n}$puntos marcados (o pinchazos ) en${\displaystyle C}$. Tan pronto como se perforó la característica de Euler${\displaystyle 2-2g-n}$es negativo, solo hay un número finito de reparametrizaciones holomorfas de${\displaystyle C}$que preservan los puntos marcados. La curva del dominio${\displaystyle C}$es un elemento del espacio de módulos de curvas de Deligne-Mumford .

El caso clásico se produce cuando${\displaystyle X}$y${\displaystyle C}$son ambos simplemente el plano de los números complejos . En coordenadas reales

${\displaystyle j=J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},}$

y

${\displaystyle df={\begin{bmatrix}\partial u/\partial x&\partial u/\partial y\\\partial v/\partial x&\partial v/\partial y\end{bmatrix}},}$

dónde${\displaystyle f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))}$. Después de multiplicar estas matrices en dos órdenes diferentes, se ve inmediatamente que la ecuación

${\displaystyle J\circ df=df\circ j}$

Lo escrito anteriormente es equivalente a las ecuaciones clásicas de Cauchy-Riemann.

${\displaystyle {\begin{cases}\partial u/\partial x=\partial v/\partial y\\\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y.\end{cases}}}$

Aunque pueden definirse para cualquier variedad casi compleja, las curvas pseudoholomorfas son especialmente interesantes cuando${\displaystyle J}$interactúa con una forma simpléctica${\displaystyle \omega }$Una estructura casi compleja${\displaystyle J}$Se dice que${\displaystyle \omega }$-domesticar si y solo si

${\displaystyle \omega (v,Jv)>0}$

para todos los vectores tangentes distintos de cero${\displaystyle v}$La mansedumbre implica que la fórmula

${\displaystyle (u,v)={\frac {1}{2}}\left(\omega (u,Jv)+\omega (v,Ju)\right)}$

define una métrica riemanniana en${\displaystyle X}$Gromov demostró que, para un dado${\displaystyle \omega }$, el espacio de${\displaystyle \omega }$-domar${\displaystyle J}$es no vacío y contraíble . Gromov utilizó esta teoría para demostrar un teorema de no compresión relativo a las incrustaciones simplécticas de esferas en cilindros.

Gromov demostró que ciertos espacios de módulos de curvas pseudoholomorfas (que satisfacen condiciones adicionales específicas) son compactos y describió la forma en que las curvas pseudoholomorfas pueden degenerar cuando solo se asume energía finita. (La condición de energía finita se cumple de manera más notable para curvas con una clase de homología fija en una variedad simpléctica donde J es${\displaystyle \omega }$-domesticar o${\displaystyle \omega }$-compatible). Este teorema de compacidad de Gromov , ahora muy generalizado usando mapas estables , hace posible la definición de invariantes de Gromov-Witten, que cuentan curvas pseudoholomorfas en variedades simplécticas.

Los espacios de módulos compactos de curvas pseudoholomorfas también se utilizan para construir la homología de Floer , que Andreas Floer (y autores posteriores, de forma más general) utilizó para demostrar la famosa conjetura de Vladimir Arnol'd sobre el número de puntos fijos de los flujos hamiltonianos .

En la teoría de cuerdas de tipo II, se consideran superficies trazadas por cuerdas al viajar a lo largo de trayectorias en una variedad de Calabi-Yau de dimensión 3. Siguiendo la formulación de integral de trayectoria de la mecánica cuántica , se desea calcular ciertas integrales sobre el espacio de todas esas superficies. Debido a que dicho espacio es de dimensión infinita, estas integrales de trayectoria no están bien definidas matemáticamente en general. Sin embargo, bajo la torsión A se puede deducir que las superficies están parametrizadas por curvas pseudoholomorfas, por lo que las integrales de trayectoria se reducen a integrales sobre espacios de módulos de curvas pseudoholomorfas (o más bien mapas estables), que son de dimensión finita. En la teoría de cuerdas cerrada de tipo IIA, por ejemplo, estas integrales son precisamente los invariantes de Gromov-Witten .

• Curva holomorfa

• Dusa McDuff y Dietmar Salamon , Curvas J-holomorfas y topología simpléctica , publicaciones del coloquio de la Sociedad Matemática Americana, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
• Mikhail Leonidovich Gromov , Curvas pseudoholomorfas en variedades simplécticas. Inventiones Mathematicae vol. 82, 1985, págs. 307-347.
• Donaldson, Simon K. (octubre de 2005). "¿Qué es... una curva pseudoholomórfica?" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 52 (9): 1026–1027 . Recuperado el 17 de enero de 2008 .